2021年黑龙江省某校高考数学一模试卷（理科）

展开

这是一份2021年黑龙江省某校高考数学一模试卷（理科），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数＝（）
A.1+iB.1−iC.iD.−i

2. 设全集为R，集合A＝{y|y＝2x, x<1}，，则A∩B＝（）
A.{x|−1C.⌀D.{x|1≤x<2}

3. 已知向量，满足||＝1，||＝，且，则＝（）
A.−1B.0C.1D.2

4. 已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是．则这种产品的一级品率为（）
A.B.C.D.

5. 某程序框图如图所示，若输入的a＝4，，则输出的n＝（）

A.2B.3C.4D.5

6. 已知命题p:∀x∈R，x2+x−1>0；命题q:∃x∈R，2x>3x，则下列命题中为真命题的是（）
A.p∧qB.p∨(￢q)C.(￢p)∨qD.(￢p)∧(￢q)

7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30∘，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式是（）

A.B.
C.D.

8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（）
A.81种B.72种C.36种D.24种

9. 若sinα+csα＝，α∈(0, π)，则＝（）
A.−3B.C.D.3

10. 已知椭圆E与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，且，过椭圆E的右焦点F2做倾斜角为的直线交椭圆E于A，B两点，且，则λ可以取（）
A.4B.5C.7D.8

11. 已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥P−ABCD的外接球表面积为（）
A.B.C.D.

12. 已知定义在R上的函数f(x)满足：，则f(2020)+f(2021)的值等于（）
A.−5B.−4C.−3D.−2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

直线l:x−y＝0与圆C：(x−1)2+y2＝1交于A、B两点，则|AB|＝________．

在(x2−）5的二项展开式中，x7的系数为________．（用数值作答）

人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，从点F出发的光线经抛物线上第一象限内的一点P反射后的光线所在直线方程为，若入射光线FP的斜率为，则抛物线方程为________．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分

已知公差d>0的等差数列{an}，Sn是{an}的前n项和，a2＝8，S2+1是a1和S4+6的等比中项．
（1）求{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足，且{bn}的前n项和为Tn，求证：．

已知梯形BFEC如图1所示，其中BF // EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．

（1）求证：平面AEC⊥平面BDE；

（2）若点H在线段BD上，且EH与平面BEF所成角的正弦值为，求线段DH的长度．

宁夏西海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一．为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区．为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，如表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计：

（1）现要建立y关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一：，模型二：，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为．请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程；

（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为．
附：参考数据：，其中．
参考公式：对于一组数据(u1, v1)，(u2, v2)，…，(un, vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

已知平面内的两个定点F1，F2，，平面内的动点M满足|MF1|+|MF2|＝4．记M的轨迹为曲线E．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求E的方程；

（2）过F2做直线l交曲线E于A，B两点，若点O是线段F1F2的中点，点C满足，求△ABC面积的最大值，并求出此时直线l的方程．

已知函数为R上的偶函数．
（1）求a的值，并求出f(x)的最大值；

（2）若对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）设p，q>0，且p+q＝1，求证：．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρ(2csθ+3sinθ)＝8．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)＝|x+1|+|x−3|．
（1）求不等式f(x)≤x+3的解集；

（2）若f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c＝m，求证：．
参考答案与试题解析
2021年黑龙江省某校高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
n次独立重复试验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
根据条件判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可，
【解答】
∵ 判别式△=1−4(−1)=5>0，∴ ∀x∈R，x2+x−1>0不成立，即命题p是假命题，
当x=−1时，2−1>3−1，即命题q:∃x∈R，2x>3x，是真命题，
则(￢p)∨q是真命题，其余为假命题，
7.
【答案】
A
【考点】
三角函数模型的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
异面直线及其所成的角
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
D
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
2
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
利用重径定理可求弦长．
【解答】
解：圆心到直线的距离为1−02=22，故|AB|=21−12=2，
故答案为： 2 .
【答案】
−15
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
y2＝2x
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
【答案】
由题设可得：，即，
解得：或(舍)，
∴ an＝3+5(n−8)＝5n−2；
证明：由（1）可得：＝＝(-)，
∴ Tn＝(-+-+•••+-(-)<×＝．
【考点】
等差数列与等比数列的综合
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
∵ 平面EDAF⊥平面，DE⊂平面 ,
平面EDAF∩平面，DE⊥AD,
∴ DE⊥平面ABCD,
∵ AC⊂平面ABCD,
∵ 四边形ABCD，∴ AC⊥BD,
∵ DE、BD⊂平面，DE∩BD＝DBDE,
∵ AC⊂平面ACEAEC⊥平面．
建立如图所示的空间直角坐标系，
平面BEF＝(1，1，E(6，0，
设H(a，a，＝(a，a，
，
解得a＝或a＝，
∴ DH＝．
【考点】
平面与平面垂直
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
令ti＝，则，
∴ ＝＝(13+22+52+44+52)＝11,＝(1.3+2.8+2.7+8.3+13.8)＝6.6，
＝≈0.5，＝，
∴ ．
当x＝1时，＝3.5×14+0.8＝2.3，
当x＝2时，＝6.5×23+0.8＝3.8，
当x＝3时，＝3.5×33+0.8＝6.3，
当x＝4时，＝3.5×48+0.8＝2.8，
当x＝5时，＝8.5×57+0.8＝13.3，
模型二的残差平方和为＝(1.3−5.3)2+(6.8−2.8)2+(5.5−5.3)3+(8.9−4.8)2+(13.8−13.3)2＝8.42，
∵ 0.42<3.3，∴ 模型二的拟合效果更好．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
M满足|MF1|+|MF2|＝3>|F1F2|,
根据椭圆的定义可知动点M的轨迹为椭圆，
以F3F2的中点为原点，直线F1F5为x轴，以过F1F2的中点且垂直F7F2的直线为y轴建立平面直角坐标系，
因为，所以8c＝，
因为|MF7|+|MF2|＝4，所以8a＝4，
,所以b2＝a3−c2＝1,
故E的方程为．
，设直线1，y3)，B(x2, y2)，
，直线l代入得：
由于△＝16(m2+1)>2恒成立，
则有，，
，
点O到直线l的距离．
则，
当且仅当：，即时取等号，
又由于，知，
此时．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为函数为R上的偶函数，
所以f(−x)＝f(x)，即对x∈R恒成立，
所以a(ex−e−x)＝ex−e−x，所以a＝1，
所以，则，
当x<0时，f′(x)>7，当x>0时，则f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)取得最大值为f(0)＝3；
由题意知，对任意x∈R恒成立对任意x∈R恒成立，
设g(x)＝λx2−ln3+ln(ex+e−x)，
由于g(x)，只需时，g(x)≤0恒成立，
又g(0)＝0，，
令，则，
①当时，当x≥8时，所以g′(x)，
则对∀x≥0，g′(x)≤g′(0)＝0，g(x)，
故g(x)≤g(0)＝3，即对∀x≥0恒成立；
②当λ≥0时，当x≥3时，所以g′(x)，
则对∀x≥0，g′(x)≥g′(0)＝0，g(x) 单调递增，
故g(x)≥g(0)＝5，即对∀x≥0，故不符合题意；
③当时，当x∈时，
所以当x∈时，g′(x)≥g′(0)＝0单调递增，
所以当x∈时，g(x)≥g(0)＝6；
综上所述，实数λ的取值范围为；
证明：设h(x)＝，由对称性x≥0时，
因为，
又，
所以当x≥0时，h′(x)，则h′(x)≤h′(0)＝0，
故当x≥4时，h(x)单调，则h(x)≤h(0)＝0，即，
所以，则不等式．
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数奇偶性的性质与判断
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【答案】
设曲线C的参数方程为（θ为参数）．
直线l的极坐标方程为ρ(4csθ+3sinθ)＝8，根据直角坐标方程为5x+3y−8＝3．
由参数方程设点P(2csθθ)，
则点P到直线l，其中
所以，此时，
所以点P的坐标为P．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【答案】
∵ f(x)＝|x+1|+|x−3|，f(x)≤x+2，
∴ 当x≤−1时，∴ 无解；
当−1当x>3时，∴ 无解；
综上，不等式的解集为{x|1≤x≤3}．
证明：∵ f(x)＝|x+1|+|x−3|≥|x+4−x+3|＝4，∴ m＝8，
∴ a+b+c＝m＝4，
＝
＝
≥＝，
当且仅当时取等号，
∴ ．
【考点】
不等式的证明
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
人均年收入（千元）
1.3
2.8
5.7
8.9
13.8

2021年黑龙江省某校高考数学一模试卷（理科）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网