2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）

这是一份2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题必考题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A＝{x|x2−4x−5<0}，B＝{−1, 0, 1, 2, 3, 5}，则A∩B＝（ ）
A.{−1, 0}B.{−1, 0, 1}C.{0, 1, 2}D.{0, 1, 2, 3}

2. i(2+3i)=( )
A.3−2iB.3+2iC.−3−2iD.−3+2i

3. 已知点A(−2, 3)在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（ ）
A.1B.2C.4D.8

4. 已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（ ）
A.B.C.−26D.58

5. 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）
A.B.C.D.

6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A.6B.8C.12D.24

7. 已知函数f(x)＝sin(2x+φ)其中φ∈(0, 2π)，若对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是（ ）
A.B.
C.D.

8. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)＝f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝lg(x2+2)，则f(−2021)＝（ ）
A.−lg3B.lg9C.lg3D.0

9. 直线y＝kx+1与曲线f(x)＝alnx+b相切于点P(1, 2)，则2a+b＝（ ）
A.4B.3C.2D.1

10. 设F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|⋅|PF2|=94ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A.43B.53C.94D.3

11. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（ ）年．
A.己巳B.甲申C.戊寅D.丙戌

12. 三棱柱ABC−A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A.8B.10πC.12πD.π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

已知x，y满足约束条件，则2x−y的最大值为________．

某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c由大到小的顺序为________．

已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值________．

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝+1，则数列{an}的前16项和S16＝________．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．
（1）若，求角B；

（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．

某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：

（1）求y关于t的线性回方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝-．

如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点.

(1)证明：BD⊥PF；

(2)若M是棱PB上一点，三棱锥M−PAD与三棱锥P−DEF的体积相等，求M点的位置．

已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．

设函数f(x)＝(x−a)(x−b)(x−c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．
（1）若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；

（2）若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{−3, 1, 3}中，求f(x)的极小值；

（3）若a＝0，0（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcsθ+11＝0．
（1）求圆心C的直角坐标；

（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝x2+1，g(x)＝|x−a|−|2x−1|，a≥．
（1）当a＝时，解不等式g(x2)<−；

（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】
∵ A＝{x|−1∴ A∩B＝{0, 1, 2, 3}．
2.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．
【解答】
解：i(2+3i)=2i+3i2=−3+2i．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
等差数列与等比数列的综合
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
【解析】
本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据些规律选择正确的答案．
【解答】
解：观察已知的8个图象，
每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，
根据这些规律观察四个答案，
发现B符合要求．
故选B
6.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
求函数的值
函数的求值
抽象函数及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex−a，结合条件可得a=34b，从而c=a2+b2=54b，即可求出双曲线的离心率．
解法二：根据已知条件和定义，就可以求得|PF1|，|PF2|，然后代入|PF1|⋅|PF2|=94ab，即可得出．
【解答】
解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x
由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex−a，
∵ |PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|⋅|PF2|=94ab，
∴ 2ex＝3b，(ex)2−a2=94ab
∴ 94b2−a2=94ab，即9b2−4a2−9ab＝0，
∴ (3b−4a)(3b+a)＝0
∴ a=34b，
∴ c=a2+b2=54b，
∴ e=ca=53．
解法二：不妨设不妨设右支上P点，则|PF1|−|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝3b，
联立解得：|PF1|=2a+3b2，|PF2|=3b−2a2，然后代入|PF1|⋅|PF2|=94ab，可得：2a+3b2×3b−2a2=94ab，
∴ 9b2−4a2−9ab＝0，
∴ (3b−4a)(3b+a)＝0
∴ a=34b，
∴ c=a2+b2=54b，
∴ e=ca=53．
11.
【答案】
C
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
画出三棱柱，然后求解几何体的外接球的半径，即可得到外接球的表面积．
【解答】
如图：底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，
所以三棱柱ABC−A1B1C1可以补充成边长为2的正方体，
其外接球半径为：，
所以球O的表面积为，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】
4
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，令z＝2x−y，则y＝2x−z，作直线y＝2x，平移可得，当直线经过点(2, 0)时z最大，则答案可求．
【解答】
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示．
令z＝2x−y，则y＝2x−z，作直线y＝2x，向下平移，
可知当直线经过点(2, 0)时z最大，
∴ zmax＝2×2−0＝4．
【答案】
c>b>a
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
根据平均数，中位数，众数的定义即可求解．
【解答】
平均数＝14.7，
中位数b＝15，众数c＝17，则c>b>a，
【答案】
9
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
84
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
【答案】
因为，
所以＝＝，整理可得a2+c5−b2＝ac，
可得csB＝＝＝，
因为B∈(7, π)，
可得B＝．
在△ABC中，b2＝a2+c2−2accsB，c＝4b，
所以csB＝≥，当且仅当b＝，此时B＝，
所以△ABC的面积S＝ab＝＝．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由所给数据计算得＝，
＝．
，．．
．
所求回归方程为．
由（1）知，b＝0.5>0，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．
将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．
故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程．
（2）将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程求解预报值，即可．
【解答】
由所给数据计算得＝，
＝．
，．．
．
所求回归方程为．
由（1）知，b＝0.5>0，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．
将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．
故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．
【答案】
(1)证明：连接AC，如图，
∵ △PAD为正三角形，E是AD的中点，
∴ PE⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD．
∴ PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴ BD⊥PE．
∵ ABCD为菱形，且E，F分别为棱AD、CD的中点，
∴ EF // AC，BD⊥AC，
∴ BD⊥EF.
∵ BD⊥PE，PE∩EF=E，
PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，
∴ BD⊥平面PEF.
∵ PF⊂平面PEF，
∴ BD⊥PF.
(2)连接MA，MD,
设PMMB=λ，则PMPB=λλ+1，
∴ VM−PAD=λλ+1VB−PAD=λλ+1VP−ABD.
∵ VP−DEF=14VP−ACD=14VP−ABD，VM−PAD=VP−DEF，
所以λλ+1=14，解得λ=13，
即M点在PB上靠近P点的四等分点处．
【考点】
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
（1）连接AC，证明PE⊥AD．推出PE⊥平面ABCD，然后证明BD⊥PE．证明EF // AC．结合BD⊥AC，推出BD⊥EF，BD⊥PE，即可证明BD⊥平面PEF；推出BD⊥PF．
（2）连接MA、MD，设PMMB=λ，利用VM−PAD=λλ+1VB−PAD=λλ+1VP−ABD，转化求解λ，即可得到结果．
【解答】
(1)证明：连接AC，如图，
∵ △PAD为正三角形，E是AD的中点，
∴ PE⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD．
∴ PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴ BD⊥PE．
∵ ABCD为菱形，且E，F分别为棱AD、CD的中点，
∴ EF // AC，BD⊥AC，
∴ BD⊥EF.
∵ BD⊥PE，PE∩EF=E，
PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，
∴ BD⊥平面PEF.
∵ PF⊂平面PEF，
∴ BD⊥PF.
((2)连接MA，MD,
设PMMB=λ，则PMPB=λλ+1，
∴ VM−PAD=λλ+1VB−PAD=λλ+1VP−ABD.
∵ VP−DEF=14VP−ACD=14VP−ABD，VM−PAD=VP−DEF，
所以λλ+1=14，解得λ=13，
即M点在PB上靠近P点的四等分点处．
【答案】
设椭圆C的半焦距为c，根据题意，
，解得，
所以椭圆的方程为+＝1．
证明：由（1）知A(−3, 3)，0)，0)，
设T(x6, y0)，P(x1, y3)，Q(x2, y2)，
由kTA＝kPA，得＝，
kTB＝kQB，得＝，
两式相除得＝•，
又+＝1，
故−1＝-•，
故＝-，
于是＝•＝-•，
由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，
联立椭圆的方程可得(5m3+9)y2+20my−25＝8，
所以，
所以＝-••＝-••＝，
解得x0＝，
所以点T横坐标为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
∵ a＝b＝c，∴ f(x)＝(x−a)3，
∵ f(4)＝8，∴ (4−a)3＝8，
∴ 4−a＝2，解得a＝2．
a≠b，b＝c，设f(x)＝(x−a)(x−b)2．
令f(x)＝(x−a)(x−b)2＝0，解得x＝a，或x＝b．
f′(x)＝(x−b)2+2(x−a)(x−b)＝(x−b)(3x−b−2a)．
令f′(x)＝0，解得x＝b，或x=2a+b3．
∵ f(x)和f′(x)的零点均在集合A＝{−3, 1, 3}中，
若：a＝−3，b＝1，则2a+b3=−6+13=−53∉A，舍去．
a＝1，b＝−3，则2a+b3=2−33=−13∉A，舍去．
a＝−3，b＝3，则2a+b3=−6+33=−1∉A，舍去．．
a＝3，b＝1，则2a+b3=6+13=73∉A，舍去．
a＝1，b＝3，则2a+b3=53∉A，舍去．
a＝3，b＝−3，则2a+b3=6−33=1∈A，．
因此a＝3，b＝−3，2a+b3=1∈A，
可得：f(x)＝(x−3)(x+3)2．
f′(x)＝3[x−(−3)](x−1)．
可得x＝1时，函数f(x)取得极小值，f(1)＝−2×42＝−32．
证明：a＝0，0f(x)＝x(x−b)(x−1)．
f′(x)＝(x−b)(x−1)+x(x−1)+x(x−b)＝3x2−(2b+2)x+b．
△＝4(b+1)2−12b＝4b2−4b+4＝4(b−12)2+3≥3．
令f′(x)＝3x2−(2b+2)x+b＝0．
解得：x1=b+1−b2−b+13∈(0,13]，x2=b+1+b2−b+13．x1x1+x2=2b+23，x1x2=b3，
可得x＝x1时，f(x)取得极大值为M，
∵ f′(x1)=3x12−(2b+2)x1+b＝0，可得：x12=13[(2b+2)x1−b]，
M＝f(x1)＝x1(x1−b)(x1−1)
＝(x1−b)(x12−x1)＝(x1−b)((2b+2)x1−b3−x1)=13[(2b−1)x12−2b2x1+b2]
=13[(2b−1)⋅(2b+2)x1−b3−2b2x1+b2]=19[(−2b2+2b−2)x1+b2+b]，
∵ −2b2+2b−2＝−2(b−12)2−32<0，
∴ M在x1∈(0, 13]上单调递减，
∴ M≤19(−2b2+5b−23+b2+b)=b2+5b−227≤427．
∴ M≤427．
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）由a＝b＝c，可得f(x)＝(x−a)3，根据f(4)＝8，可得(4−a)3＝8，解得a．
（2）a≠b，b＝c，设f(x)＝(x−a)(x−b)2．令f(x)＝(x−a)(x−b)2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′(x)＝(x−b)(3x−b−2a)．令f′(x)＝0，解得x＝b，或x=2a+b3．根据f(x)和f′(x)的零点均在集合A＝{−3, 1, 3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝−3，可得2a+b3=6−33=1∈A，可得：f(x)＝(x−3)(x+3)2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f(x)取得极小值．
（3）a＝0，00．令f′(x)＝3x2−(2b+2)x+b＝0．解得：x1=b+1−b2−b+13∈(0,13]，x2=b+1+b2−b+13．x1【解答】
∵ a＝b＝c，∴ f(x)＝(x−a)3，
∵ f(4)＝8，∴ (4−a)3＝8，
∴ 4−a＝2，解得a＝2．
a≠b，b＝c，设f(x)＝(x−a)(x−b)2．
令f(x)＝(x−a)(x−b)2＝0，解得x＝a，或x＝b．
f′(x)＝(x−b)2+2(x−a)(x−b)＝(x−b)(3x−b−2a)．
令f′(x)＝0，解得x＝b，或x=2a+b3．
∵ f(x)和f′(x)的零点均在集合A＝{−3, 1, 3}中，
若：a＝−3，b＝1，则2a+b3=−6+13=−53∉A，舍去．
a＝1，b＝−3，则2a+b3=2−33=−13∉A，舍去．
a＝−3，b＝3，则2a+b3=−6+33=−1∉A，舍去．．
a＝3，b＝1，则2a+b3=6+13=73∉A，舍去．
a＝1，b＝3，则2a+b3=53∉A，舍去．
a＝3，b＝−3，则2a+b3=6−33=1∈A，．
因此a＝3，b＝−3，2a+b3=1∈A，
可得：f(x)＝(x−3)(x+3)2．
f′(x)＝3[x−(−3)](x−1)．
可得x＝1时，函数f(x)取得极小值，f(1)＝−2×42＝−32．
证明：a＝0，0f(x)＝x(x−b)(x−1)．
f′(x)＝(x−b)(x−1)+x(x−1)+x(x−b)＝3x2−(2b+2)x+b．
△＝4(b+1)2−12b＝4b2−4b+4＝4(b−12)2+3≥3．
令f′(x)＝3x2−(2b+2)x+b＝0．
解得：x1=b+1−b2−b+13∈(0,13]，x2=b+1+b2−b+13．x1x1+x2=2b+23，x1x2=b3，
可得x＝x1时，f(x)取得极大值为M，
∵ f′(x1)=3x12−(2b+2)x1+b＝0，可得：x12=13[(2b+2)x1−b]，
M＝f(x1)＝x1(x1−b)(x1−1)
＝(x1−b)(x12−x1)＝(x1−b)((2b+2)x1−b3−x1)=13[(2b−1)x12−2b2x1+b2]
=13[(2b−1)⋅(2b+2)x1−b3−2b2x1+b2]=19[(−2b2+2b−2)x1+b2+b]，
∵ −2b2+2b−2＝−2(b−12)2−32<0，
∴ M在x1∈(0, 13]上单调递减，
∴ M≤19(−2b2+5b−23+b2+b)=b2+5b−227≤427．
∴ M≤427．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ6代入ρ2+12ρcsθ+11＝0，
得x6+y2+12x+11＝0，即(x+7)2+y2＝25，
所以圆C的圆心坐标为(−4, 0)；
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ4，
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcsα+11＝0．
于是ρ3+ρ2＝−12csα，ρ1ρ6＝11，
，
由，得，，tanα＝＝，
所以l的斜率为或．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
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【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
当时，，
不等式g(x7)<−，即，即，
解得x2>4或x8<−3（舍去），
由x2>2，解得x<−2或x>2，
所以不等式的解集是(−∞, +∞)．
由题意知，只需满足f(x)mix≥g(x)max即可，
因为f(x)＝x7+1，所以f(x)min＝1，
依题意，当时，g(x)＝，
得f(x)min≥g(x)max，得，即，
所以，
即a的取值范围是[，]．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
函数恒成立问题
【解析】
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【解答】
此题暂无解答天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支纪年
甲子年
乙丑年
丙寅年
丁卯年
戊辰年
己巳年
庚午年
辛未年
壬申年
癸酉年
甲戌年
乙亥年
丙子年
…
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9