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2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）
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这是一份2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题必考题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合M＝{x|x2−3x−10<0}，，则(∁RN)∩M为（ ）
A.{x|35}
C.{x|−3≤x≤−2}D.{x|−3
2. i(2+3i)=( )
A.3−2iB.3+2iC.−3−2iD.−3+2i
3. 已知点A(−2, 3)在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（ ）
A.1B.2C.4D.8
4. 已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（ ）
A.B.C.−26D.58
5. 从点P(m, 3)向圆(x−2)2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（ ）
A.B.5C.D.
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A.6B.8C.12D.24
7. 已知函数f(x)＝sin(2x+φ)其中φ∈(0, 2π)，若对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是（ ）
A.B.
C.D.
8. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)＝f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝lg(x2+2)，则f(−2021)＝（ ）
A.−lg3B.lg9C.lg3D.0
9. 直线y＝kx+1与曲线f(x)＝alnx+b相切于点P(1, 2)，则2a+b＝（ ）
A.4B.3C.2D.1
10. 设图F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|⋅|PF2|=94ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A.43B.53C.94D.3
11. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（ ）年．
A.己巳B.甲申C.戊寅D.丙戌
12. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（ ）
A.正方体的外接球的表面积为12π
B.正方体的内切球的体积为
C.正方体的棱长为2
D.线段MN的最大值为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
已知向量，，若，则k＝________．
二项式(x−1x)6展开式中的常数项是________．（用数字回答）
已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值________．
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝+1，则数列{an}的前16项和S16＝________．
三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．
（1）若，求角B；
（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．
为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．
（1）估计该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数；
（2）若以图中年龄在71∼80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71∼80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC // EB，DC=EB=2，AB=4．
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；
(2)当AC与平面ABE所成角为45∘时，求二面角C−AE−B的余弦值．
已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．
已知函数f(x)＝ex(x+a)，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）设g(x)＝f(x−a)−x2，讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由．
（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcsθ+11＝0．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝x2+1，g(x)＝|x−a|−|2x−1|，a≥．
（1）当a＝时，解不等式g(x2)<−；
（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）
一、选择题：本题共12小题，每小题，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．
【解答】
解：i(2+3i)=2i+3i2=−3+2i．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
等差数列与等比数列的综合
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
求函数的值
函数的求值
抽象函数及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
要求离心率，即求系数a，c间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解．
【解答】
由双曲线的定义得：|PF1|−|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）
又|PF1|+|PF2|＝3b，所以|PF1|=12(2a+3b),|PF2|=12(3b−2a)，
两式相乘得14(9b2−4a2)=94ab．结合c2＝a2+b2得ca=53．
故e=53．
11.
【答案】
C
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
棱锥的结构特征
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】
12
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−20
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，再求展开式的常数项．
【解答】
二项式(x−1x)6＝[x+(−x−1)]6，
其展开式的通项公式为：
Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(−x−1)r＝(−1)r⋅C6r⋅x6−2r，
当6−2r＝0时，得r＝3，
所以展开式的常数项为：
T4＝(−1)3⋅C63=−20．
【答案】
9
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
84
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
【答案】
因为，
所以＝＝，整理可得a2+c5−b2＝ac，
可得csB＝＝＝，
因为B∈(7, π)，
可得B＝．
在△ABC中，b2＝a2+c2−2accsB，c＝4b，
所以csB＝≥，当且仅当b＝，此时B＝，
所以△ABC的面积S＝ab＝＝．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题知该地区居民约为2000万，由图1知，
该地区年龄在71∼80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．
由图3知．年龄在71∼80岁的居民签概率为0.7．
所以该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×8.7＝56万．
由题知此地区年龄段在71∼80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，
且每个居民之间是否签约是独立的，
所以设“从该地区年龄在71∼80岁居民中随机抽取三人”为事件B，
随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：
．
数学期望E(X)＝3×0.7＝5.1，
方差D(X)＝3×5.7×0.3＝0.63．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
频率分布直方图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：(1)∵ AB是圆O的直径，∴ AC⊥BC，
∵ DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ DC⊥BC，
又DC∩AC=C，
∴ BC⊥平面ACD.
∵ DC // EB，DC=EB，
∴ 四边形DCBE是平行四边形，
∴ DE // BC，
∴ DE⊥平面ACD，
又DE⊂平面ADE，
∴ 平面ACD⊥平面ADE．
解：(2)AC与平面ABE所成角为45∘，即∠CAB=45，
∴ AC=BC=22，以C为原点，
以CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则C(0, 0, 0)，E(0,22,2)，
A(22, 0, 0)，B(0,22,0)，
∴ CA→=(22,0,0)，CE→=(0,22,2)，
设平面CAE的一个法向量为n→=(x,y,z)，
则n→⋅CA→=22x=0,n→⋅CE→=22y+2z=0,
令z=−2，则n→=(0,1,−2)，
CO→=(2,2,0)为平面ABE的一个法向量，
设二面角C−AE−B的平面角为θ，
则csθ=23×2=66，
∴ 二面角C−AE−B的余弦值为66.
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得BC⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE // BC，故而DE // 平面ACD，于是平面ADE⊥平面ACD；
（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
【解答】
证明：(1)∵ AB是圆O的直径，∴ AC⊥BC，
∵ DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ DC⊥BC，
又DC∩AC=C，
∴ BC⊥平面ACD.
∵ DC // EB，DC=EB，
∴ 四边形DCBE是平行四边形，
∴ DE // BC，
∴ DE⊥平面ACD，
又DE⊂平面ADE，
∴ 平面ACD⊥平面ADE．
解：(2)AC与平面ABE所成角为45∘，即∠CAB=45，
∴ AC=BC=22，以C为原点，
以CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则C(0, 0, 0)，E(0,22,2)，
A(22, 0, 0)，B(0,22,0)，
∴ CA→=(22,0,0)，CE→=(0,22,2)，
设平面CAE的一个法向量为n→=(x,y,z)，
则n→⋅CA→=22x=0,n→⋅CE→=22y+2z=0,
令z=−2，则n→=(0,1,−2)，
CO→=(2,2,0)为平面ABE的一个法向量，
设二面角C−AE−B的平面角为θ，
则csθ=23×2=66，
∴ 二面角C−AE−B的余弦值为66.
【答案】
设椭圆C的半焦距为c，根据题意，
，解得，
所以椭圆的方程为+＝1．
证明：由（1）知A(−3, 3)，0)，0)，
设T(x6, y0)，P(x1, y3)，Q(x2, y2)，
由kTA＝kPA，得＝，
kTB＝kQB，得＝，
两式相除得＝•，
又+＝1，
故−1＝-•，
故＝-，
于是＝•＝-•，
由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，
联立椭圆的方程可得(5m3+9)y2+20my−25＝8，
所以，
所以＝-••＝-••＝，
解得x0＝，
所以点T横坐标为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为f(x)＝ex(x+a)，
所以f′(x)＝ex(x+a+1)．……………………………………………………………
由f′(x)>0，得x>−a−1；
由f′(x)<0，得x<−a−1．……………………………………………………………
所以f(x)的增区间是(−a−1, +∞)，减区间是(−∞, −a−1)．……………………
因为g(x)＝f(x−a)−x2＝xex−a−x2＝x(ex−a−x)．
由g(x)＝0，得x＝0或ex−a−x＝0．……………………………………………………………………
设h(x)＝ex−a−x，
又h(0)＝e−a≠0，即x＝0不是h(x)的零点，
故只需再讨论函数h(x)零点的个数．
因为h′(x)＝ex−a−1，
所以当x∈(−∞, a)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(a, +∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．………………………………………
所以当x＝a时，h(x)取得最小值h(a)＝1−a．……………………………………
①当h(a)>0，即a<1时，h(x)>0，h(x)无零点；………………………………
②当h(a)＝0，即a＝1时，h(x)有唯一零点；………………………………………
③当h(a)<0，即a>1时，
因为h(0)＝e−a>0，
所以h(x)在(−∞, a)上有且只有一个零点．…………………………………………
令x＝2a，则h(2a)＝ea−2a．
设φ(a)＝h(2a)＝ea−2a(a>1)，则φ′(a)＝ea−2>0，
所以φ(a)在(1, +∞)上单调递增，
所以，∀a∈(1, +∞)，都有φ(a)≥φ(1)＝e−2>0．
所以h(2a)＝φ(a)＝ea−2a>0．……………………………………………………
所以h(x)在(a, +∞)上有且只有一个零点．
所以当a>1时，h(x)有两个零点．……………………………………………………
综上所述，当a<1时，g(x)有一个零点；
当a＝1时，g(x)有两个零点；
当a>1时，g(x)有三个零点．…………………………………………………………
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）求导，解关于导函数的不等式即可得出结论；
（2）分析可知，只需讨论函数h(x)＝ex−a−x零点的个数，然后分类讨论即可得出结论．
【解答】
因为f(x)＝ex(x+a)，
所以f′(x)＝ex(x+a+1)．……………………………………………………………
由f′(x)>0，得x>−a−1；
由f′(x)<0，得x<−a−1．……………………………………………………………
所以f(x)的增区间是(−a−1, +∞)，减区间是(−∞, −a−1)．……………………
因为g(x)＝f(x−a)−x2＝xex−a−x2＝x(ex−a−x)．
由g(x)＝0，得x＝0或ex−a−x＝0．……………………………………………………………………
设h(x)＝ex−a−x，
又h(0)＝e−a≠0，即x＝0不是h(x)的零点，
故只需再讨论函数h(x)零点的个数．
因为h′(x)＝ex−a−1，
所以当x∈(−∞, a)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(a, +∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．………………………………………
所以当x＝a时，h(x)取得最小值h(a)＝1−a．……………………………………
①当h(a)>0，即a<1时，h(x)>0，h(x)无零点；………………………………
②当h(a)＝0，即a＝1时，h(x)有唯一零点；………………………………………
③当h(a)<0，即a>1时，
因为h(0)＝e−a>0，
所以h(x)在(−∞, a)上有且只有一个零点．…………………………………………
令x＝2a，则h(2a)＝ea−2a．
设φ(a)＝h(2a)＝ea−2a(a>1)，则φ′(a)＝ea−2>0，
所以φ(a)在(1, +∞)上单调递增，
所以，∀a∈(1, +∞)，都有φ(a)≥φ(1)＝e−2>0．
所以h(2a)＝φ(a)＝ea−2a>0．……………………………………………………
所以h(x)在(a, +∞)上有且只有一个零点．
所以当a>1时，h(x)有两个零点．……………………………………………………
综上所述，当a<1时，g(x)有一个零点；
当a＝1时，g(x)有两个零点；
当a>1时，g(x)有三个零点．…………………………………………………………
（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ6代入ρ2+12ρcsθ+11＝0，
得x6+y2+12x+11＝0，即(x+7)2+y2＝25，
所以圆C的圆心坐标为(−4, 0)；
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ4，
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcsα+11＝0．
于是ρ3+ρ2＝−12csα，ρ1ρ6＝11，
，
由，得，，tanα＝＝，
所以l的斜率为或．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
当时，，
不等式g(x7)<−，即，即，
解得x2>4或x8<−3（舍去），
由x2>2，解得x<−2或x>2，
所以不等式的解集是(−∞, +∞)．
由题意知，只需满足f(x)mix≥g(x)max即可，
因为f(x)＝x7+1，所以f(x)min＝1，
依题意，当时，g(x)＝，
得f(x)min≥g(x)max，得，即，
所以，
即a的取值范围是[，]．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支纪年
甲子年
乙丑年
丙寅年
丁卯年
戊辰年
己巳年
庚午年
辛未年
壬申年
癸酉年
甲戌年
乙亥年
丙子年
…
1. 已知集合M＝{x|x2−3x−10<0}，，则(∁RN)∩M为（ ）
A.{x|3
C.{x|−3≤x≤−2}D.{x|−3
2. i(2+3i)=( )
A.3−2iB.3+2iC.−3−2iD.−3+2i
3. 已知点A(−2, 3)在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（ ）
A.1B.2C.4D.8
4. 已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（ ）
A.B.C.−26D.58
5. 从点P(m, 3)向圆(x−2)2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（ ）
A.B.5C.D.
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A.6B.8C.12D.24
7. 已知函数f(x)＝sin(2x+φ)其中φ∈(0, 2π)，若对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是（ ）
A.B.
C.D.
8. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)＝f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝lg(x2+2)，则f(−2021)＝（ ）
A.−lg3B.lg9C.lg3D.0
9. 直线y＝kx+1与曲线f(x)＝alnx+b相切于点P(1, 2)，则2a+b＝（ ）
A.4B.3C.2D.1
10. 设图F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|⋅|PF2|=94ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A.43B.53C.94D.3
11. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（ ）年．
A.己巳B.甲申C.戊寅D.丙戌
12. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（ ）
A.正方体的外接球的表面积为12π
B.正方体的内切球的体积为
C.正方体的棱长为2
D.线段MN的最大值为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
已知向量，，若，则k＝________．
二项式(x−1x)6展开式中的常数项是________．（用数字回答）
已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值________．
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝+1，则数列{an}的前16项和S16＝________．
三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．
（1）若，求角B；
（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．
为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．
（1）估计该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数；
（2）若以图中年龄在71∼80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71∼80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC // EB，DC=EB=2，AB=4．
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；
(2)当AC与平面ABE所成角为45∘时，求二面角C−AE−B的余弦值．
已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．
已知函数f(x)＝ex(x+a)，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）设g(x)＝f(x−a)−x2，讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由．
（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcsθ+11＝0．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝x2+1，g(x)＝|x−a|−|2x−1|，a≥．
（1）当a＝时，解不等式g(x2)<−；
（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）
一、选择题：本题共12小题，每小题，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．
【解答】
解：i(2+3i)=2i+3i2=−3+2i．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
等差数列与等比数列的综合
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
求函数的值
函数的求值
抽象函数及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
要求离心率，即求系数a，c间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解．
【解答】
由双曲线的定义得：|PF1|−|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）
又|PF1|+|PF2|＝3b，所以|PF1|=12(2a+3b),|PF2|=12(3b−2a)，
两式相乘得14(9b2−4a2)=94ab．结合c2＝a2+b2得ca=53．
故e=53．
11.
【答案】
C
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
棱锥的结构特征
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】
12
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−20
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，再求展开式的常数项．
【解答】
二项式(x−1x)6＝[x+(−x−1)]6，
其展开式的通项公式为：
Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(−x−1)r＝(−1)r⋅C6r⋅x6−2r，
当6−2r＝0时，得r＝3，
所以展开式的常数项为：
T4＝(−1)3⋅C63=−20．
【答案】
9
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
84
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
【答案】
因为，
所以＝＝，整理可得a2+c5−b2＝ac，
可得csB＝＝＝，
因为B∈(7, π)，
可得B＝．
在△ABC中，b2＝a2+c2−2accsB，c＝4b，
所以csB＝≥，当且仅当b＝，此时B＝，
所以△ABC的面积S＝ab＝＝．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题知该地区居民约为2000万，由图1知，
该地区年龄在71∼80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．
由图3知．年龄在71∼80岁的居民签概率为0.7．
所以该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×8.7＝56万．
由题知此地区年龄段在71∼80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，
且每个居民之间是否签约是独立的，
所以设“从该地区年龄在71∼80岁居民中随机抽取三人”为事件B，
随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：
．
数学期望E(X)＝3×0.7＝5.1，
方差D(X)＝3×5.7×0.3＝0.63．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
频率分布直方图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：(1)∵ AB是圆O的直径，∴ AC⊥BC，
∵ DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ DC⊥BC，
又DC∩AC=C，
∴ BC⊥平面ACD.
∵ DC // EB，DC=EB，
∴ 四边形DCBE是平行四边形，
∴ DE // BC，
∴ DE⊥平面ACD，
又DE⊂平面ADE，
∴ 平面ACD⊥平面ADE．
解：(2)AC与平面ABE所成角为45∘，即∠CAB=45，
∴ AC=BC=22，以C为原点，
以CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则C(0, 0, 0)，E(0,22,2)，
A(22, 0, 0)，B(0,22,0)，
∴ CA→=(22,0,0)，CE→=(0,22,2)，
设平面CAE的一个法向量为n→=(x,y,z)，
则n→⋅CA→=22x=0,n→⋅CE→=22y+2z=0,
令z=−2，则n→=(0,1,−2)，
CO→=(2,2,0)为平面ABE的一个法向量，
设二面角C−AE−B的平面角为θ，
则csθ=23×2=66，
∴ 二面角C−AE−B的余弦值为66.
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得BC⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE // BC，故而DE // 平面ACD，于是平面ADE⊥平面ACD；
（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
【解答】
证明：(1)∵ AB是圆O的直径，∴ AC⊥BC，
∵ DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ DC⊥BC，
又DC∩AC=C，
∴ BC⊥平面ACD.
∵ DC // EB，DC=EB，
∴ 四边形DCBE是平行四边形，
∴ DE // BC，
∴ DE⊥平面ACD，
又DE⊂平面ADE，
∴ 平面ACD⊥平面ADE．
解：(2)AC与平面ABE所成角为45∘，即∠CAB=45，
∴ AC=BC=22，以C为原点，
以CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则C(0, 0, 0)，E(0,22,2)，
A(22, 0, 0)，B(0,22,0)，
∴ CA→=(22,0,0)，CE→=(0,22,2)，
设平面CAE的一个法向量为n→=(x,y,z)，
则n→⋅CA→=22x=0,n→⋅CE→=22y+2z=0,
令z=−2，则n→=(0,1,−2)，
CO→=(2,2,0)为平面ABE的一个法向量，
设二面角C−AE−B的平面角为θ，
则csθ=23×2=66，
∴ 二面角C−AE−B的余弦值为66.
【答案】
设椭圆C的半焦距为c，根据题意，
，解得，
所以椭圆的方程为+＝1．
证明：由（1）知A(−3, 3)，0)，0)，
设T(x6, y0)，P(x1, y3)，Q(x2, y2)，
由kTA＝kPA，得＝，
kTB＝kQB，得＝，
两式相除得＝•，
又+＝1，
故−1＝-•，
故＝-，
于是＝•＝-•，
由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，
联立椭圆的方程可得(5m3+9)y2+20my−25＝8，
所以，
所以＝-••＝-••＝，
解得x0＝，
所以点T横坐标为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为f(x)＝ex(x+a)，
所以f′(x)＝ex(x+a+1)．……………………………………………………………
由f′(x)>0，得x>−a−1；
由f′(x)<0，得x<−a−1．……………………………………………………………
所以f(x)的增区间是(−a−1, +∞)，减区间是(−∞, −a−1)．……………………
因为g(x)＝f(x−a)−x2＝xex−a−x2＝x(ex−a−x)．
由g(x)＝0，得x＝0或ex−a−x＝0．……………………………………………………………………
设h(x)＝ex−a−x，
又h(0)＝e−a≠0，即x＝0不是h(x)的零点，
故只需再讨论函数h(x)零点的个数．
因为h′(x)＝ex−a−1，
所以当x∈(−∞, a)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(a, +∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．………………………………………
所以当x＝a时，h(x)取得最小值h(a)＝1−a．……………………………………
①当h(a)>0，即a<1时，h(x)>0，h(x)无零点；………………………………
②当h(a)＝0，即a＝1时，h(x)有唯一零点；………………………………………
③当h(a)<0，即a>1时，
因为h(0)＝e−a>0，
所以h(x)在(−∞, a)上有且只有一个零点．…………………………………………
令x＝2a，则h(2a)＝ea−2a．
设φ(a)＝h(2a)＝ea−2a(a>1)，则φ′(a)＝ea−2>0，
所以φ(a)在(1, +∞)上单调递增，
所以，∀a∈(1, +∞)，都有φ(a)≥φ(1)＝e−2>0．
所以h(2a)＝φ(a)＝ea−2a>0．……………………………………………………
所以h(x)在(a, +∞)上有且只有一个零点．
所以当a>1时，h(x)有两个零点．……………………………………………………
综上所述，当a<1时，g(x)有一个零点；
当a＝1时，g(x)有两个零点；
当a>1时，g(x)有三个零点．…………………………………………………………
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）求导，解关于导函数的不等式即可得出结论；
（2）分析可知，只需讨论函数h(x)＝ex−a−x零点的个数，然后分类讨论即可得出结论．
【解答】
因为f(x)＝ex(x+a)，
所以f′(x)＝ex(x+a+1)．……………………………………………………………
由f′(x)>0，得x>−a−1；
由f′(x)<0，得x<−a−1．……………………………………………………………
所以f(x)的增区间是(−a−1, +∞)，减区间是(−∞, −a−1)．……………………
因为g(x)＝f(x−a)−x2＝xex−a−x2＝x(ex−a−x)．
由g(x)＝0，得x＝0或ex−a−x＝0．……………………………………………………………………
设h(x)＝ex−a−x，
又h(0)＝e−a≠0，即x＝0不是h(x)的零点，
故只需再讨论函数h(x)零点的个数．
因为h′(x)＝ex−a−1，
所以当x∈(−∞, a)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(a, +∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．………………………………………
所以当x＝a时，h(x)取得最小值h(a)＝1−a．……………………………………
①当h(a)>0，即a<1时，h(x)>0，h(x)无零点；………………………………
②当h(a)＝0，即a＝1时，h(x)有唯一零点；………………………………………
③当h(a)<0，即a>1时，
因为h(0)＝e−a>0，
所以h(x)在(−∞, a)上有且只有一个零点．…………………………………………
令x＝2a，则h(2a)＝ea−2a．
设φ(a)＝h(2a)＝ea−2a(a>1)，则φ′(a)＝ea−2>0，
所以φ(a)在(1, +∞)上单调递增，
所以，∀a∈(1, +∞)，都有φ(a)≥φ(1)＝e−2>0．
所以h(2a)＝φ(a)＝ea−2a>0．……………………………………………………
所以h(x)在(a, +∞)上有且只有一个零点．
所以当a>1时，h(x)有两个零点．……………………………………………………
综上所述，当a<1时，g(x)有一个零点；
当a＝1时，g(x)有两个零点；
当a>1时，g(x)有三个零点．…………………………………………………………
（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ6代入ρ2+12ρcsθ+11＝0，
得x6+y2+12x+11＝0，即(x+7)2+y2＝25，
所以圆C的圆心坐标为(−4, 0)；
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ4，
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcsα+11＝0．
于是ρ3+ρ2＝−12csα，ρ1ρ6＝11，
，
由，得，，tanα＝＝，
所以l的斜率为或．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
当时，，
不等式g(x7)<−，即，即，
解得x2>4或x8<−3（舍去），
由x2>2，解得x<−2或x>2，
所以不等式的解集是(−∞, +∞)．
由题意知，只需满足f(x)mix≥g(x)max即可，
因为f(x)＝x7+1，所以f(x)min＝1，
依题意，当时，g(x)＝，
得f(x)min≥g(x)max，得，即，
所以，
即a的取值范围是[，]．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支纪年
甲子年
乙丑年
丙寅年
丁卯年
戊辰年
己巳年
庚午年
辛未年
壬申年
癸酉年
甲戌年
乙亥年
丙子年
…
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