2021年陕西省汉中市高考数学一模试卷（理科）

这是一份2021年陕西省汉中市高考数学一模试卷（理科），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A＝{x|x2+x−2>0}，B＝{−1, 0, 2}，则(∁RA)∩B＝（ ）
A.{2}B.{−1, 0}C.{0, 2}D.{−1, 0, 2}

2. 设复数z=5i4+3i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 设x=θ是函数f(x)=3csx+sinx的一个极值点，则tanθ=( )
A.−3B.−13C.13D.3

4. 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数．埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（ ）
A.12+14+18+116+132+164＝6364
B.122−1+142−1+162−1+…+1502−1＝5051
C.12+14+16＝1112
D.11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+50＝4951

5. 已知直线l1:ax+(a+2)y+1＝0，l2:x+ay+2＝0(a∈R)，则“”是“l1 // l2”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 过三点A(3, 1)，B(−7, 1)，C(2, 4)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（ ）
A.8B.10C.D.

7. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（ ）
A.B.C.D.

8. 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB.若l⊥α，l⊥m，则m // α
C.若l⊥α，l // m，则m⊥αD.若l // α，m // α，则l // m

9. 设F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A.45B.54C.35D.53

10. 三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90∘，AB＝1，BC＝＝2，则三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为（ ）

A.32πB.16πC.12πD.8π

11. 若lnx−lny<1lnx−1lny(x>1, y>1)，则（ ）
A.ey−x>1B.ey−x<1C.ey−x−1>1D.ey−x−1<1

12. 已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：×＝(aybz−azby)+(azbx−axbz)+(axby−aybx)＝＝（，-，），其中行列式计算表示为，若向量，则＝（ ）
A.(−4, −8, −1)B.(−1, 4, −8)C.(−2, 8, −1)D.(−1, −4, −8)
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

已知，向量，，与的夹角为，则＝________．

设等比数列{an}的第四项是的展开式中的常数项，且首项a1＝3，则{an}通项公式为an＝________．

为了弘扬张骞开拓进取精神，传承中华优秀传统文化，第四届中国古筝日“盛世国乐，筝韵天下”汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛大举行．其中有《百人齐奏》、《二重奏》、《独奏》、《小合唱》、《伴唱》和《茶艺》六个表演节目，如果《百人齐奏》必须排第一个，《小合唱》和《伴唱》不能连续出场，那么出场顺序的排法种数为________.（用数字作答）

已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(x+8)＝f(x)+f(4)，当x1，x2∈[0, 4]且x1≠x2时，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0．给出下列命题：
①f(4)＝0；
②函数y＝f(x)在[−12, −8]上是递增的；
③函数y＝f(x)的图象关于直线x＝−8对称；
④函数y＝f(x)在[−12, 12]上有四个零点．
其中所有真命题的序号是________．
三、解答题:共70分，解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题是必考题，每个考生都必须作答.第22、23题是选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c＝a+2bcsA．
（1）求角B；

（2）若△ABC的面积为，，求△ABC的周长．

为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车．生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查．在20∼60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：

（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？

（2）若以44岁为分界点，从不接受“纯电动汽车”的人群中，按分层抽样的方法抽取8人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人．记抽到44岁以下的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
附：．

如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；

（2）当，E为PB的中点时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．

已知椭圆的离心率为，椭圆的中心O到直线x+y−2b＝0的距离为．
（1）求椭圆C的方程；

（2）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45∘的直线l和椭圆交于A，B两点，对于椭圆C上任意一点M，若，求λμ的最大值．

已知函数f(x)＝xex−2ax+a(a∈R)．
（1）当a＝0时，求f(x)在[−2, 2]上的最值；

（2）设g(x)＝2ex−ax2，若h(x)＝f(x)−g(x)有两个零点，求a的取值范围．
选考题:共10分.考生从22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第--题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acsθ(a>0)，直线l交曲线C于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为(−1, −2)，若点M到A，B两点的距离之积是16，求a的值．
[选修4-5:不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x−4|+|x+1|．
（1）求不等式f(x)≥6的解集；

（2）若不等式f(x)≥a2+2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年陕西省汉中市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
化简z，求出z在复平面内对应的点位于的象限即可．
【解答】
∵ z=5i4+3i=5i(4−3i)(4+3i)(4−3i)=4i+35=35+45i，
故复数z在复平面内对应的点位于第一象限，
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
利用连续光滑曲线的极值点处的导数为0，即可求出tanθ的值．
【解答】
解：f′x=−3sinx+csx，
因为x=θ是函数fx=3csx+sinx的一个极值点，
所以f′θ=−3sinθ+csθ=0，
所以tanθ=sinθcsθ=13．
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
对于A利用等比数列的求和公式即可求出；
对于B，利用裂项相消法即可求出；
对于C，直接计算即可；
对于D根据等差数列的求和公式和裂项相消法即可求出．
【解答】
对于A，12+14+18+116+132+164=12(1−126)1−12=1−164=6364；故A正确；
对于B，122−1+142−1+162−1+...+1502−1=11×3+13×5+15×7+...+149×51=12(1−13+13−15+...+149−151)=12(1−151)=2551，故B不正确；
对于C，12+14+16=612+312+212=1112，故C正确；
对于D，∵ 1+2+3+...+n=n(n+1)2，
∴ 11+2+3+…+n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
∴ 11+2+11+2+3+...+11+2+3+…+50=2(12−13+13−14+...+150−151)=2(12−151)=4951，故D正确．
5.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
圆的一般方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用线面平行和线面垂直，面面平行的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】
对于A：若l⊥m，m⊆α，则l⊥α也可能l⊂α，故A错误；
对于B：若l⊥α，l⊥m，则m // α或m⊂α，故错误；
对于C：若l⊥α，l // m，则m⊥α，故正确；
对于D：若l // α，m // α，则l // m或异面也可能相交，故错误．
9.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．
【解答】
依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知
可知|PF1|＝24c2−4a2=4b
根据双曲定义可知4b−2c＝2a，整理得c＝2b−a，代入c2＝a2+b2整理得3b2−4ab＝0，求得ba=43；
∴ e=ca=c2a2=a2+b2a2=53．
10.
【答案】
所以长方体的外接球即是三棱柱ABC﹣A​1B​1C​4的外接球，∵ AB＝1，BC＝
【考点】
平面与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
直线与平面平行
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
依题意， lnx−1lnx令ft=t−1tt≠0，则f′t=1+1t2>0
所以ft函数在−∞,0,0,+∞上单调递增；
又x>1,y>1，得lnx>0,lny>0
又lnx−1lnx又ft函数在0,+∞上单调递增，则lnx即y−x>0所以ey−x>e0=1 选项A正确，B不正确；
又y−x−1无法确定与0的关系，故CD不正确；
12.
【答案】
C
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
3
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
微积分基本定理
定积分
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
3×2n−1
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
72
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
①③④
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题:共70分，解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题是必考题，每个考生都必须作答.第22、23题是选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.
【答案】
由正弦定理可得2sinC＝sinA+2sinBcsA，
∴ 5sin(A+B)＝sinA+2sinBcsA，
∴ 2sinAcsB＝sinA，
在△ABC中，∵ sinA≠3，
∴ ．
又∵ B∈(5, π)，∴ ，
∵ ．
∴ ac＝4．
由余弦定理b3＝a2+c2−2accsB得b2＝a2+c4−ac＝(a+c)2−3ac．
∵ ，
∴ a+c＝5，
∴ △ABC的周长为．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题可得2×2联表如下：
∵ ．
∴ 能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异．
由题意可知，抽取的8人中44岁以下的有8人，所以X的可能取值有0，1，6，
，，，
所以随机变量X的分布列为：
．
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AC⊥BD．
∵ PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴ PD⊥AC∵ BD，PD⊂平面PDB，
∴ AC⊥平面PDB．
又∵ AC⊂平面AEC，
∴ 平面AEC⊥平面PDB．
以D为坐标原点，以DA，DP所在的直线分
别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系O−xyz．
设AB＝1，则．∵ ，
∴ BP的中点．∵ A(2，0，C(0，8
∴ ．
设平面PBC的法向量为，
∵ ，∴ ，令，解得
设直线AE与平面PBC所成角为θ，．
∴ 直线AE与平面PBC所成角的正弦值为．
【考点】
平面与平面垂直
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 椭圆的中心O到直线x+y−2b＝0的距离为，
∴ ，
∴ b＝8．∴ b2＝25，a2＝6b2＝100，
∴ 椭圆C的方程为．
由（1）可知，由题可知直线AB的方程为
的方程联立，∴ ．
设A(x1, y1)，B(x4, y2)，则有．
设M(x, y)，由，
得(x, y)＝λ(x1, y2)+μ(x2, y2)＝(λx2+μx2, λy1+μy4)，
∴
又∵ 点M在椭圆上，∴ x2+5y2＝100，∴ ，
∴ ．①
∵ 点A，B在椭圆上，∴ ．②
∵ ．③
将②③代入①可得，∵ ，
∴ ，当且仅当λ＝μ时取“＝”．
∴ λμ的最大值为．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
当a＝0时，f(x)＝xex.∴ f′(x)＝ex(x+1)，
当x<−3时，f′(x)<0，f′(x)>0，−4)上递减，+∞)上递增，
∵ ，∴ ．
∵ h(x)＝f(x)−g(x)＝(x−2)ex+a(x−2)2，∴ h′(x)＝(x−1)(ex+6a)．
①当a＝0时，h(x)＝(x−2)ex，此时h(x)只有一个零点，
②当a>7时，h(x)在(−∞，在(1．
∵ h(1)＝−e<0，h(2)＝a>4．
当a≥2时，h(0)＝−2+a≥5；
当0∴ h(x)有两个不同的零点；
③当a<0时，令h′(x)＝0．
当时，h′(x)＝(x−1)(ex−e)，h′(x)≥0恒成立，
∴ h(x)在R上单调递增．
当时，即ln(−2a)<1．
若x1，则h′(x)>0，则h′(x)<4．
∴ h(x)在（−∞, ln(−2a)）和(1，在(ln(−7a)．
当时，即ln(−2a)>8，则h′(x)>0．
若1∴ h(x)在(−∞, 1)和(ln(−6a)，在(1．
当a<0时，∵ h(1)＝−e<5
＝(−2a)[ln(−2a)−3]+a[ln(−2a)−1]2
＝a[(ln(−2a)−2)2+1]<0．
∴ h(x)仅有一个零点，不合题意，
综上，h(x)＝f(x)−g(x)有两个零点，+∞)．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
选考题:共10分.考生从22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第--题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]
【答案】
直线l的参数方程为（t为参数）．
∴ 直线l的极坐标方程为ρcsθ−ρsinθ＝1，根据，
把方程整理得ρsin2θ＝3acsθ，
得ρ2sin2θ＝5aρcsθ．
∴ 曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>3)．
将直线l的参数坐标方程代入y2＝2ax(a>3)中，
得．
设A，B对应的参数分别为t5，t2，
则t1t8＝4a+8．
∵ |t4t2|＝|4a+4|＝16，
∴ a＝2或a＝−6，
又∵ a>5，
∴ a＝2．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5:不等式选讲]
【答案】
，
不等式f(x)≥6等价于，
解得x≤−1或x∈⌀或x≥6，
则原不等式的解集为(−∞, −1]∪[3．
由（1）知当x≤−5时，f(x)≥6，3≤f(x)<5；
当x>2时，f(x)>3．
故函数为f(x)的值域[2, +∞)．
由不等式f(x)≥a2+2a对一切实数x恒成立，
可得a6+2a≤3，解得−5≤a≤1，
故实数a的取值范围是[−3, 5]．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答年龄
[20, 28)
[28, 36)
[36, 44)
[44, 52)
[52, 60)
接受的人数
14
6
15
28
17
44岁以下
44岁及44岁以上
总计
接受
不接受
总计
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
44岁以下
44岁及44岁以上
总计
接受
35
45
80
不接受
15
3
20
总计
50
50
100
X
0
3
2
P