专题06 立体几何初步（难点）

专题06立体几何初步（难点）

一、单选题

1．如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起的过程中，下列结论能成立的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

2．在棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在长方形中，，现将沿折至，使得二面角为锐二面角，设直线与直线所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

4．如图，正方形和正方形成的二面角，将绕旋转，在旋转过程中

（1）对任意位置，总有直线与平面相交；

（2）对任意位置，平面与平面所成角大于或等于；

（3）存在某个位置，使平面；

（4）存在某个位置，使.

其中正确的是（    ）.

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）

5．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

6．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（　　）

①AC∥平面BEF；

②B、C、E、F四点可能共面；

③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；

④平面BCE与平面BEF可能垂直

A．0 B．1 C．2 D．3

7．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且，则线段长度的取值范围是

A． B．

C． D．

8．如图，已知在中，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上，则二面角的正切的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

二、多选题

9．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，M为线段的中点，点N为底面内的动点，则下列结论正确的是

A．若，则平面平面

B．若，则直线与平面所成的角的正弦值为

C．若直线和异面，则点N不可能为底面的中心

D．若平面平面，且点N为底面的中心，则

10．如图，在直三棱柱中，，，，点M是棱的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．异面直线BC与所成的角为 B．在上存在点D，使平面ABC

C．二面角的大小为 D．

11．已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为

B．无论点在上怎么运动，都有

C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且

D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°

12．如图，线段为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面垂直，且，，则下述正确的是（    ）

A．平面

B．平面

C．点到平面的距离为

D．三棱锥外接球的体积为

三、填空题

13．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，与底面成角，是平面内任意一点，则的最小值是________.

14．线段分别交两平行平面于A，B两点，线段分别交平面于C，D两点，线段分别交平面于F，E两点，若，，，的面积为72，则的面积为________．

15．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：

①三棱锥体积的最大值为；

②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；

③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；

④直线BQ与AP所成角的最大值为；

其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）

16．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______.

四、解答题

17．如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，.

（1）若平面交平面于直线，求证：；

（2）若直线平面，

①求三棱锥的表面积；

②试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积.

18．如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，，点在上，点在上，，为的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求直线与直线所成角的余弦值；

（3）求二面角的正切值.

19．如图1所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20．如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.

（1）求证：平面；

（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.

21．已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．

（1）求证：平面；

（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．

22．如图，三棱柱ABC–A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D为BB1的中点．

（1）求证：A1D⊥平面AB1H；

（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的体积．

23．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．

（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；

（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；

（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．