2020-2021学年浙江省杭州市七县市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省杭州市七县市高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市七县市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
2．（4分）tan240°＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．（4分）已知a＞1，函数y＝a﹣x与y＝loga（﹣x）的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A． B． C． D．120
5．（4分）为了得到函数y＝3sin（2x﹣）的图象，只要把函数y＝3sin2x图象上所有的点（　　）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
6．（4分）设a，b∈R，则“（2a﹣2b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）若cos（α+）＝，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）已知a＞0，设函数（x∈[﹣a，a]）的最大值为M，最小值为m，那么M+m＝（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的或不选的得0分.
9．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝cosx B．y＝x2+|x| C．y＝log2|x| D．
10．（5分）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（　　）

A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3
11．（5分）下列命题正确的是（　　）
A．命题：“∀x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“∃x∈（﹣∞，1]，使得x2≤1”
B．设定义在R上函数，则f（1）＝1
C．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，则abc＞0
D．已知a＝log36，b＝log510，，则a，b，c的大小关系为c＞a＞b
12．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣3）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使得f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（4分）函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必过定点　 　．
14．（4分）函数f（x）＝2sin（2x﹣）在x∈[﹣，]上的最大值为　 　．
15．（4分）计算：lg2+lg5+log23•log34﹣eln2＝　 　．
16．（4分）设a＞0，函数f（x）＝﹣b恰有三个不同的零点x1，x2，b，则实数b的值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）已知集合M＝{x|x2+x﹣2＜0}，N＝{x|（x+1）（x﹣a）≥0（a＞0）}．
（Ⅰ）当a＝2时，求（∁RM）∩N；
（Ⅱ）若M∪N＝R，求实数a的取值范围．










18．（8分）已知函数f（x）＝sin（﹣x）（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调递减区间．











19．（10分）已知函数f（x）＝+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及其值域；
（Ⅱ）若方程x﹣mf（x）＝0有两个不同的实数根，求m的取值范围．











20．（12分）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x∈N且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加（4x）%，技术人员的年人均投入调整为万元．
（Ⅰ）要使这100﹣x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（Ⅱ）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：
①技术人员的年人均投入始终不减少；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．



















21．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣2a|，g（x）＝|x﹣（a+1）|+1，x∈R．
（Ⅰ）若a＝0，试求不等式f（2x）≥g（x）的解集；
（Ⅱ）若a∈[0，6]，求函数h（x）＝max{f（x），g（x）}在x∈[2，6]上的最小值．

2020-2021学年浙江省杭州市七县市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，
∴A∩B＝{2，3}．
故选：B．
2．（4分）tan240°＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【解答】解：tan240°＝tan（180°+60°）＝tan60°＝
故选：D．
3．（4分）已知a＞1，函数y＝a﹣x与y＝loga（﹣x）的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：a＞1，则y＝a﹣x＝（）x为减函数，排除A，B，
y＝loga（﹣x）定义域为（﹣∞，0），函数为减函数，排除C，
故选：D．
4．（4分）《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A． B． C． D．120
【解答】解：扇形中，弧长为l＝30，直径为d＝16，
面积为S＝30×16÷4＝120；
扇形的圆心角弧度数是α＝＝＝．
故选：B．
5．（4分）为了得到函数y＝3sin（2x﹣）的图象，只要把函数y＝3sin2x图象上所有的点（　　）
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
【解答】解：把函数y＝3sin2x图象上所有的点向右平行移动个单位长度，
可得到函数y＝3sin（2x﹣）的图象，
故选：A．
6．（4分）设a，b∈R，则“（2a﹣2b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若（2a﹣2b）a2＜0，则2a＜2b且a≠0，所以a＜b且a≠0，
若a＜b，不妨取a＝0，则（2a﹣2b）a2＝0，
故“（2a﹣2b）a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要条件．
故选：A．
7．（4分）若cos（α+）＝，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵cos（α+）＝，
∴cosαcos﹣sinαsin＝，即 （cosα﹣sinα）＝，
∴cosα﹣sinα＝，两边平方得：（cosα﹣sinα）2＝，
即cos2α+sin2α﹣2sinαcosα＝，
∵cos2α+sin2α＝1，2sinαcosα＝sin2α，
∴1﹣sin2α＝，可得sin2α＝1﹣＝．
故选：C．
8．（4分）已知a＞0，设函数（x∈[﹣a，a]）的最大值为M，最小值为m，那么M+m＝（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【解答】解：＝＝2021﹣，
f（﹣x）＝2021﹣，
则f（x）+f（﹣x）＝4042﹣（+）
＝4042﹣＝4042﹣2019＝2023，
又y＝f（x）是[﹣a，a]上的增函数，
∴M+N＝f（a）+f（﹣a）＝2023，
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的或不选的得0分.
9．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝cosx B．y＝x2+|x| C．y＝log2|x| D．
【解答】解：对于A，y＝cosx为偶函数，但在（0，+∞）上不单调，故A不符合题意；
对于B，y＝x2+|x|为偶函数，且在（0，+∞）上，函数y＝x2+x为增函数，故B符合题意；
对于C，y＝log2|x|为偶函数，且在（0，+∞）上，函数y＝log2x为增函数，故C符合题意；
对于D，y＝的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，是非奇非偶函数，故D不符合题意．
故选：BC．
10．（5分）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（　　）

A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3
【解答】解：图象可知，函数过点（1，3），
∴a＝3，
∴函数解析式为y＝3t，
∴浮萍每月的增长率为：，故选项A正确，
∵函数y＝3t是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当t＝4时，y＝34＝81＞80，故选项C错误，
对于D选项，∵，∴t1＝log32，t2＝log34，t3＝log38，
又∵2log34＝log316＝log32+log38，∴2t2＝t1+t3，故选项D正确，
故选：AD．
11．（5分）下列命题正确的是（　　）
A．命题：“∀x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“∃x∈（﹣∞，1]，使得x2≤1”
B．设定义在R上函数，则f（1）＝1
C．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，则abc＞0
D．已知a＝log36，b＝log510，，则a，b，c的大小关系为c＞a＞b
【解答】解：命题：“∀x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“∃x∈（1，+∞），使得x2≤1”，故A错误；
设定义在R上函数，则f（1）＝f（2）＝f（3）＝f（4）＝log3（4﹣1）＝1，故B正确；
已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，即﹣1，2为方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根，
则﹣1+2＝﹣，﹣1×2＝，即b＝﹣a＜0，c＝﹣2a＜0，故abc＜0，故C正确；
由a＝log36＝1+log32＝1+∈（1，2），b＝log510＝1+log52＝1+∈（1，2），＜，＞2，
则a，b，c的大小关系为c＞a＞b，故D正确．
故选：BCD．
12．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣3）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使得f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，f（x）＝（x﹣3）2•sin（ωx），则f（x+a）＝（x+a﹣3）2sin[ω（x+a）]，
若f（x+a）为偶函数，则a﹣3＝0且sin[ω（x+a）]＝sin[ω（﹣x+a）]，
则a＝3，sinωxcosωa+cosωxsinωa＝cosωxsinωa﹣sinωxcosωa，
必有cosωa＝0，则3ω＝kπ+，必有ω＝+，（k∈Z）
当k＝0时，ω＝，当k＝1时，ω＝，
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（4分）函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必过定点　（1，2）　．
【解答】解：令x﹣1＝0，求得 x＝1，且y＝2，
故函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2），
故答案为 （1，2）．
14．（4分）函数f（x）＝2sin（2x﹣）在x∈[﹣，]上的最大值为　　．
【解答】解：∵x∈[﹣，]，
∴（2x﹣）∈[﹣，]，
∴2sin（2x﹣）∈[﹣2，]，
∴函数f（x）＝2sin（2x﹣）在x∈[﹣，]上的最大值为，
故答案为：．
15．（4分）计算：lg2+lg5+log23•log34﹣eln2＝　1　．
【解答】解：原式＝1+log24﹣2＝1+2﹣2＝1，
故答案为：1．
16．（4分）设a＞0，函数f（x）＝﹣b恰有三个不同的零点x1，x2，b，则实数b的值为　　．
【解答】解：函数f（x）＝﹣b，
则f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，
又函数f（x）＝﹣b恰有三个不同的零点x1，x2，b，
所以三个零点必关于原点对称，则有f（0）＝0，可得b＝，
令，
当﹣a≤x≤a时，，
又，
所以2a≤g2（x）≤4a，则，
当等号成立的条件是当且仅当x＝0，
当x＞a时，在（a，+∞）上单调递增，
当时，g（x）＝；
当x＜﹣a时，在（﹣∞，﹣a）上单调递减，
当时，，
又因为b是其中的一个零点，
所以，
又b＝，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）已知集合M＝{x|x2+x﹣2＜0}，N＝{x|（x+1）（x﹣a）≥0（a＞0）}．
（Ⅰ）当a＝2时，求（∁RM）∩N；
（Ⅱ）若M∪N＝R，求实数a的取值范围．
【解答】解：由题意知M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|x≤﹣1或x≥a}，
（Ⅰ）因为∁RM＝{x|x≤﹣2或x≥1}，N＝{x|x≤﹣1或x≥2}，
所以（∁RM）∩N＝{x|x≤﹣2或x≥2}；
（Ⅱ）因为M∪N＝R，所以0＜a≤1．
18．（8分）已知函数f（x）＝sin（﹣x）（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）因为＝，
所以函数f（x）的最小正周期T＝π．
（Ⅱ）方法一：令，，则
因为，的单调递减区间是，且由，得，
所以函数f（x）的单调递减区间为．
方法二：由，k∈Z，得，k∈Z，
令k＝0，得，又，
所以函数f（x）的单调递减区间为．
19．（10分）已知函数f（x）＝+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及其值域；
（Ⅱ）若方程x﹣mf（x）＝0有两个不同的实数根，求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，
所以，解得，
所以函数f（x）的定义域为，
因为，
所有函数f（x）的值域为[1，+∞）．
（Ⅱ）∵，
∴，
令（t≥1），可得，
所以原方程可化为t2﹣（m+2）t+2＝0（t≥1），
即方程t2﹣（m+2）t+2＝0在[1，+∞）上有两个不同的实数根，
记h（t）＝t2﹣（m+2）t+2（t≥1），
所以，解得，
所以当时，函数y＝2x﹣mf（x）两个零点．
20．（12分）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x∈N且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加（4x）%，技术人员的年人均投入调整为万元．
（Ⅰ）要使这100﹣x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（Ⅱ）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：
①技术人员的年人均投入始终不减少；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，（100﹣x）[1+（4x）%]a≥100a（a＞0），
解得0＜x≤75，
因为45≤x≤75，所以45≤x≤75，
所以调整后的技术人员的人数最多75人．
（Ⅱ）因为技术人员年人均投入不减少，
所以，解得，
因为研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
所以，
两边同除以ax，得，
整理，得，
故有，
因为，当且仅当＝，即x＝50时，等号成立，
所以m≤7，
又因为45≤x≤75，当x＝75时，取得最大值7，
所以m≥7，
综上所述，m＝7，
故存在m满足条件，其范围为m∈{7}．
21．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣2a|，g（x）＝|x﹣（a+1）|+1，x∈R．
（Ⅰ）若a＝0，试求不等式f（2x）≥g（x）的解集；
（Ⅱ）若a∈[0，6]，求函数h（x）＝max{f（x），g（x）}在x∈[2，6]上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）若a＝0，不等式f（2x）≥g（x）可化为|2x|≥|x﹣1|+1
当x≥1时，不等式化为2x≥x，x≥0，∴x≥1；
当0≤x＜1时，不等式化为2x≥2﹣x，得，∴；
当x＜0时，不等式化为﹣2x≥2﹣x，得x≤﹣2，∴x≤﹣2．
综上，不等式f（2x）≥g（x）的解集为{x|x≤﹣2，或x≥}；
（Ⅱ）函数h（x）＝max{f（x），g（x）}＝max{|x﹣2a|，|x﹣（a+1）|+1}．
（1）当2a≤a+1≤2，即0≤a≤1时，h（x）＝max{x﹣2a，x﹣a}＝x﹣a≥2﹣a，h（x）min＝2﹣a；
（2）当2＜a+1＜2a≤6，即1＜a≤3时，
①当1＜a≤2时，h（x）＝|x﹣（a+1）|+1≥1，当x＝a+1时，取“＝”，h（x）min＝1；
②当2＜a≤3时，，当时，；
（3）当2＜a+1≤6＜2a，即3＜a≤5时，
①当3＜a≤4时，，当时，；
②当4＜a≤5时，h（x）＝﹣x+2a，2≤x≤6，当x＝6时，h（x）min＝2a﹣6；
（4）当a+1＞6，即5＜a≤6时，h（x）＝﹣x+2a，2≤x≤6，当x＝6时，h（x）min＝2a﹣6．
综上，h（x）min＝．
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日期：2022/1/1 11:32:14；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983