2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（4分）若一个球的直径为2，则此球的表面积为（　　）
A．2π B．16π C．8π D．4π
2．（4分）“2x2+x＝0”是“x＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（4分）两圆x2+y2﹣6y＝0和x2+y2﹣8x+12＝0的位置关系为（　　）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
4．（4分）设A为圆x2+y2﹣2x＝0上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是（　　）
A．（x﹣1）2+y2＝4 B．y2＝2x
C．（x﹣1）2+y2＝2 D．y2＝﹣2x
5．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
6．（4分）三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（　　）
A．若a∥α，a∥β，则α∥β
B．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γ
C．若a⊂α，b⊂α，c⊂β，c⊥a，c⊥b，则α⊥β
D．若α∩β＝a，c⊂γ，c∥α，c∥β，则a∥γ
7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（4分）抛物线y2＝2x上的点到直线距离的最小值是（　　）
A．3 B． C． D．
9．（4分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将△ABD绕对角线BD旋转，令二面角A﹣BD﹣C的平面角为α，则在旋转过程中有（　　）

A．∠EFK≤α B．∠EFK≥α C．∠EDK≤α D．∠EDK≥α
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.
11．（6分）已知双曲线﹣＝1，则该双曲线的渐近线方程为　 　，焦点坐标为　 　．
12．（6分）若直线m：2x﹣4y﹣3＝0与n：3x+ay﹣12＝0平行，则a＝　 　，两直线间的距离是 　 　．
13．（6分）圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0上的点到直线y＝x﹣1的最近距离为 　 　，最远距离为 　 　．
14．（6分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，则λ＝　 　，若，，共面，则λ＝　 　．
15．（4分）已知圆x2+y2﹣6x﹣7＝0与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线相切，则p＝　 　．
16．（4分）如图，三棱锥S﹣ABC中，若AC＝2，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为 　 　．

17．（4分）已知一个圆经过直线l：2x+y+4＝0与圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为　 　．
三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（1，2）在抛物线C上．
（1）求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，若AB的中点为M（3，﹣2），求△OAB的面积．














19．（15分）如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
（1）证明：直线PA∥平面EDB；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．







20．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC．
（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．




21．（15分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0），F1，F2分别为左、右焦点，B为短轴的一个端点，且S＝，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为1，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆上一点，＝1，求点P的坐标．









22．（15分）已知两定点，，点P是曲线E上任意一点，且满足条件．
①求曲线E的轨迹方程；
②若直线y＝kx﹣1与曲线E交于不同两点A，B两点，求k的范围．

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（4分）若一个球的直径为2，则此球的表面积为（　　）
A．2π B．16π C．8π D．4π
【解答】解：∵球的直径为2，
∴该球的半径为1，可得该球的表面积为S＝4πR2＝4π×12＝4π．
故选：D．
2．（4分）“2x2+x＝0”是“x＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由2x2+x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，
故“x＝0或x＝﹣2“是“x＝0”的必要不充分条件，
故“2x2+x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，
故选：B．
3．（4分）两圆x2+y2﹣6y＝0和x2+y2﹣8x+12＝0的位置关系为（　　）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【解答】解：圆x2+y2﹣6y＝0的圆心（0，3）半径为3；x2+y2﹣8x+12＝0圆心（4，0）半径为2，
圆心距为＝5，半径和为3+2＝5，
两个圆的位置关系是外切．
故选：B．
4．（4分）设A为圆x2+y2﹣2x＝0上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是（　　）
A．（x﹣1）2+y2＝4 B．y2＝2x
C．（x﹣1）2+y2＝2 D．y2＝﹣2x
【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0可化为（x﹣1）2+y2＝1，由题意可得圆心C（1，0）到P点的距离为，
所以点P在以（1，0）为圆心， 为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是（x﹣1）2+y2＝2．
故选：C．

5．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面半径为，高为2的圆柱的，挖去一个半径为的半球；
故：V＝．
故选：A．
6．（4分）三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（　　）
A．若a∥α，a∥β，则α∥β
B．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γ
C．若a⊂α，b⊂α，c⊂β，c⊥a，c⊥b，则α⊥β
D．若α∩β＝a，c⊂γ，c∥α，c∥β，则a∥γ
【解答】解：①在正方体中可以判断，A命题不正确；
②设作a′⊥γ，a′是过a直线上一点O的直线，
∵α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，
∴a′⊂α，a′⊂β，
∴a′＝α∩β，
∵α∩β＝a，而2个平面的交线只有一条，
∴a与a′重合，
故a⊥γ，故答案B是 正确的命题．
③当a∥b时，C命题不正确；
④当α，β，γ两两相交于同一条直线a时，
也存在α∩β＝a，c⊂γ，c∥α，c∥β，这种情况，故D命题不正确，
故选：B．

7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），
∴＝（1，1，2），＝（﹣2，0，﹣2），
∴cos＜，＞＝＝＝
∴异面直线DE与B1C所成角的余弦值为
∴异面直线DE与B1C所成角的大小为：30°
故选：B．
8．（4分）抛物线y2＝2x上的点到直线距离的最小值是（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：因为点P在抛物线y2＝2x上，设，则点P到直线的距离

∵y0∈R，∴当时，．
故选：C．
9．（4分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：
∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，
∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，
∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，
所以P0O＜OF2，即b＜c，
∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，
∴e＞，
∵0＜e＜1，
∴＜e＜1．
故选：B．

10．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将△ABD绕对角线BD旋转，令二面角A﹣BD﹣C的平面角为α，则在旋转过程中有（　　）

A．∠EFK≤α B．∠EFK≥α C．∠EDK≤α D．∠EDK≥α
【解答】解：法一（考虑特殊位置）考虑初始位置，α＝180°，排除D；考虑重叠位置，α＝0°，排除AC，故选：B．
法二（二面角最大原理）如图，θ＝∠E′FK＝π﹣∠E′FE，α＝∠E′HM＝π﹣∠E′HE，
在二面角A′﹣BD﹣A中，根据二面角最大角原理得，∠E′HE＞∠E′FE，故α≤θ．
故选：B．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.
11．（6分）已知双曲线﹣＝1，则该双曲线的渐近线方程为　y＝±x　，焦点坐标为　（±，0）　．
【解答】解：双曲线﹣＝1，可得a＝2，b＝，c＝，
则该双曲线的渐近线方程为：y＝±x．
焦点坐标为：（±，0）．
故答案为：y＝±x；（±，0）．
12．（6分）若直线m：2x﹣4y﹣3＝0与n：3x+ay﹣12＝0平行，则a＝　﹣6　，两直线间的距离是 　　．
【解答】解：因为直线m：2x﹣4y﹣3＝0与n：3x+ay﹣12＝0平行，
所以，解得a＝﹣6，
所以直线m：2x﹣4y﹣3＝0，直线n：3x﹣6y﹣12＝0，
取直线n上一点P（4，0），
则点P到直线m的距离为＝，
所以两直线间的距离是．
故答案为：﹣6；．
13．（6分）圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0上的点到直线y＝x﹣1的最近距离为 　　，最远距离为 　　．
【解答】解：由题意可知，圆的方程为x2+y2+4x﹣2y+4＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝1，
圆心（﹣2，1）到直线y＝x﹣1的距离 d＝，
∴圆的点到直线的最近距离为d﹣r＝，最远的距离为．
故答案为：，．
14．（6分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，则λ＝　﹣3　，若，，共面，则λ＝　　．
【解答】解：由题意，可知：
①⊥⇔2×7+（﹣1）×5+3λ＝0，解得λ＝﹣3．
②，，共面⇔存在两个实数m、n，使得＝m+n，
即，解得．
∴λ＝3×﹣2×＝．
故答案为：﹣3；．
15．（4分）已知圆x2+y2﹣6x﹣7＝0与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线相切，则p＝　2　．
【解答】解：抛物线y2＝2px （p＞0）的准线为 x＝﹣，圆x2+y2﹣6x﹣7＝0，即（x﹣3）2+y2＝16，
表示以（3，0）为圆心，半径等于4的圆．
由题意得 3+＝4，∴p＝2，
故答案为2．
16．（4分）如图，三棱锥S﹣ABC中，若AC＝2，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为 　　．

【解答】解：取SA的中点F，连接EF，BF，
∵E为棱SC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠BEF（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，
∵AC＝2，SA＝SB＝AB＝BC＝SC＝4，
∴BE＝BF＝2，EF＝，
在等腰△BEF中，cos∠BEF＝＝＝．
故答案为：．

17．（4分）已知一个圆经过直线l：2x+y+4＝0与圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为　x2+y2+x﹣y+＝0　．
【解答】解：可设圆的方程为x2+y2+2x﹣4y+λ（2x+y+4）＝0，
即x2+y2+2（1+λ）x+（λ﹣4）y+4λ＝0，
此时圆心坐标为（﹣1﹣λ，），
显然当圆心在直线2x+y+4＝0上时，圆的半径最小，从而面积最小，
∴2（﹣1﹣λ）++4＝0，
解得：λ＝，
则所求圆的方程为：x2+y2+x﹣y+＝0．
故答案为：x2+y2+x﹣y+＝0．
三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（1，2）在抛物线C上．
（1）求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，若AB的中点为M（3，﹣2），求△OAB的面积．
【解答】解：（1）将点代入抛物线得p＝2，
则抛物线的方程为：y2＝4x，焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），
，
所以直线l的斜率为﹣1，
直线l的方程为y＝﹣x+1，|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8，
点O到直线l的距离，
所以．
19．（15分）如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
（1）证明：直线PA∥平面EDB；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵E是PC的中点，∴OE∥PA，
∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴直线PA∥平面EDB．
解：（2）∵直线PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，PD＝DC，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，
设PD＝DC＝a，则BD＝＝，
∴tan∠PBD＝＝＝．
∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．

20．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC．
（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．

【解答】（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题（4分），第（2）小题（8分）．
解：（1）因为AB⊥BC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB⊥BCC1B1，从而A1B1是四棱锥A1﹣BCC1B1的高．…（2分）
四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V＝×2×2×2＝…（4分）
（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），
B1（0，0，2），C1（0，2，2），…（6分）
设AC的中点为M，∵BM⊥AC，NM⊥CC1，
∴BM⊥平面A1C1C，
即＝（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的一个法向量是＝（x，y，z），＝（﹣2，2，﹣2），＝（﹣2，0，0）…（8分）
∴＝﹣2x＝0，，
令z＝1，解得x＝0，y＝1.＝（0，1，1），…（9分）
设法向量与的夹角为β，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．
∵cosθ＝|cosβ|＝，∴θ＝．
二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为…（12分）

21．（15分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0），F1，F2分别为左、右焦点，B为短轴的一个端点，且S＝，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为1，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆上一点，＝1，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得a﹣c＝1，，⇒⇒
∴椭圆C的方程：．
（2）设P（x0，y0），由S，
⇒h＝1，∴y0＝±1，代入椭圆方程可得．
∴P（﹣，﹣1），（﹣），（，1），（，﹣1）．
22．（15分）已知两定点，，点P是曲线E上任意一点，且满足条件．
①求曲线E的轨迹方程；
②若直线y＝kx﹣1与曲线E交于不同两点A，B两点，求k的范围．
【解答】解：①由双曲线的定义可知，曲线E是以，为焦点的双曲线的左支，且，a＝1，
∴b＝＝1
故曲线E的方程为：x2﹣y2＝1（x＜0）
②设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0
已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有 解得：

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日期：2022/1/5 13:06:08；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983