2020-2021学年浙江省湖州市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省湖州市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省湖州市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∪B＝（　　）
A．{0，1} B．{﹣1，2，3} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．（5分）设命题p：∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0，则命题p的否定为（　　）
A．∀x∉[0，+∞），x2﹣2x+2＞0 B．∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0
C．∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0 D．∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0
3．（5分）已知θ∈R，则“sinθ＞0”是“角θ为第一或第二象限角”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数图象（　　）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
5．（5分）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．（5分）如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（　　）

A．
B．
C．
D．
7．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在33℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在22℃时的保鲜时间是（　　）
A．40小时 B．44小时 C．48小时 D．52小时
8．（5分）设函数f（x）＝，若存在实数k使得方程f（x）＝k有3个不相等的实数解，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，+∞） B．（﹣5，+∞） C．（﹣5，﹣3] D．（﹣5，﹣3）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．（5分）设全集U＝R，若集合M⊆N，则下列结论正确的是（　　）
A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．∁UM⊆∁UN D．（M∪N）⊆N
10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．函数f（x）的周期为2
B．函数f（x）的对称轴为
C．函数f（x）的单调增区间为
D．函数f（x）的图象可由函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍得到
11．（5分）已知a＞0，b＞0，若4a+b＝1，则（　　）
A．的最小值为9
B．的最小值为9
C．（4a+1）（b+1）的最大值为
D．（a+1）（b+1）的最大值为
12．（5分）存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（　　）
A．f（sinx）＝cosx B．f（sinx）＝sin2x
C．f（cosx）＝cos2x D．f（sinx）＝sin3x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为　 　．
14．（5分）已知幂函数在区间（0，+∞）上递增，则实数m＝　 　．
15．（5分）已知，则的值是　 　．
16．（5分）候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a+log2（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要　 　个单位．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知tanα＝2．
（1）求值：；
（2）求值：．
18．（12分）已知a∈R，在①B＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，②B＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]≤0}这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，进行求解．
问题：已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，_____，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）用定义证明：函数f（x）为奇函数；
（2）写出函数f（x）的单调区间（无需证明）；
（3）若f（t﹣1）+f（t）＞0，求实数t的取值范围．
20．（12分）设函数f（x）＝sin2x﹣cos（2x﹣）．
（1）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；
（2）设α是锐角，f（+）＝，求sinα的值．
21．（12分）为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地ABCD，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边（圆心分别为A和C）均落在平行四边形ABCD的边上，圆弧均与BD相切，其中扇形的圆心角为120°，扇形的半径为12米．
（1）求两块花卉景观扇形的面积；
（2）记∠BDA＝θ，求平行四边形绿地ABCD占地面积S关于θ的函数解析式，并求面积S的最小值．

22．（12分）已知a，m∈R，函数和函数h（x）＝mx2﹣（2m+1）x+4．
（1）若函数f（x）图象的对称中心为点（0，3），求满足不等式f（log3t）＞3的t的最小整数值；
（2）当a＝﹣4时，对任意的实数x∈R，若总存在实数t∈[0，4]使得f（x）＝h（t）成立，求正实数m的取值范围．

2020-2021学年浙江省湖州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∪B＝（　　）
A．{0，1} B．{﹣1，2，3} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，
∴A∪B＝{﹣1，0，1，2，3}．
故选：D．
2．（5分）设命题p：∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0，则命题p的否定为（　　）
A．∀x∉[0，+∞），x2﹣2x+2＞0 B．∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0
C．∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0 D．∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0
【解答】解：命题p：∀x∈[0，+∞），x2﹣2x+2＞0，
根据含有量词的命题的否定，可知p的否定为∃x∈[0，+∞），x2﹣2x+2≤0．
故选：C．
3．（5分）已知θ∈R，则“sinθ＞0”是“角θ为第一或第二象限角”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：根据题意，若“θ是第一或第二象限角”，则有sinθ＞0，
反之，若sinθ＞0，则θ的终边可能在第一或第二象限，也有可能在y轴正半轴上．
故“sinθ＞0”是“角θ是第一或第二象限角”的必要不充分条件，
故选：B．
4．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数图象（　　）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【解答】解：＝cos（x+﹣+））＝cos[（x+）﹣]，
即将函数图象向左平移个长度单位，即可，
故选：A．
5．（5分）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除D，
当x→+∞，f（x）→1，排除B，
当x＝1时，y＝＝＞1，排除C，
故选：A．
6．（5分）如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（　　）

A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，设舱座距离地面最近的位置为P，
以轴心Q为原点，与底面平行的直线为x轴，建立直角坐标系，
设t＝0min时，游客甲位于点P（0，﹣55），以OP为终边的角为，
根据转一周大约需要20min，可知座舱转动的角速度为，
则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是：
H＝55sin（）+65（0≤t≤20）．
故选：B．
7．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在33℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在22℃时的保鲜时间是（　　）
A．40小时 B．44小时 C．48小时 D．52小时
【解答】解：将x＝0，y＝192和x＝33，y＝24代入函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），
得到192＝eb，24＝e33k+b，
两式相除可得e33k＝，故e11k＝，
将x＝22代入函数关系式可得y＝e22k+b＝，
故该食品在22℃时的保鲜时间是48小时．
故选：C．
8．（5分）设函数f（x）＝，若存在实数k使得方程f（x）＝k有3个不相等的实数解，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，+∞） B．（﹣5，+∞） C．（﹣5，﹣3] D．（﹣5，﹣3）
【解答】解：根据f（x）＝，可知f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝﹣3，
在直角坐标系中画出函数f（x）＝和y＝k的图象如下：

∵存在实数k使得方程f（x）＝k有3个不相等的实数解，
∴只需函数y＝f（x）与函数y＝k有且仅有3个交点，
∴只需﹣4＜，∴﹣5＜a＜﹣3，
∴a的取值范围为（﹣5，﹣3）．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．（5分）设全集U＝R，若集合M⊆N，则下列结论正确的是（　　）
A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．∁UM⊆∁UN D．（M∪N）⊆N
【解答】解：因为M⊆N，则M∩N＝M，M∪N＝N，所以A，B正确，
且∁UM⊇∁UN，（M∪N）⊆N，所以C错误，D正确，
故选：ABD．
10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．函数f（x）的周期为2
B．函数f（x）的对称轴为
C．函数f（x）的单调增区间为
D．函数f（x）的图象可由函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍得到
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，
可得A＝2，T＝2[﹣（﹣）]＝2，故A正确；
所以ω＝＝π，
由五点作图法可知﹣π+φ＝0，解得φ＝，
所以f（x）＝2sin（πx+），
令πx+＝kπ+，k∈Z，可得f（x）的对称轴为x＝+k，k∈Z，故B正确；
令﹣+2kπ≤πx+≤+2kπ，k∈Z，解得2k﹣≤x≤2k+，k∈Z，
即函数f（x）的单调增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，故C正确；
函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍可得y＝2sin（+），故D错误．
故选：ABC．
11．（5分）已知a＞0，b＞0，若4a+b＝1，则（　　）
A．的最小值为9
B．的最小值为9
C．（4a+1）（b+1）的最大值为
D．（a+1）（b+1）的最大值为
【解答】解：对于A，+＝（+）（4a+b）＝2++≥4，故A错误，
对于B，+＝（+）（4a+b）＝5++≥9，故B正确，
对于C，由于a＞0，b＞0，（4a+1）+（b+1）＝3，所以（4a+1）（b+1）≤（）2＝，当且仅当4a+1＝b+1＝时取等号，故C正确；
对于D，由于a＞0，b＞0，（4a+4）+（b+1）＝6，所以（a+1）（b+1）＝（4a+4）（b+1）≤（）2＝，当且仅当4a+4＝b+1＝3时取等号．即a＝，b＝2，故等号取不到，故D错误．
故选：BC．
12．（5分）存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（　　）
A．f（sinx）＝cosx B．f（sinx）＝sin2x
C．f（cosx）＝cos2x D．f（sinx）＝sin3x
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（sinx）＝cosx，当sinx＝0时，cosx＝±1，不符合题意函数的定义，A错误，
对于B，f（sinx）＝sin2x，则f（sinx）＝2sinxcosx，当sinx＝时，cosx＝±，sin2x＝±，不符合题意函数的定义，B错误，
对于C，f（cosx）＝cos2x，则f（cosx）＝2cos2x﹣1，存在函数f（x）＝2x2﹣1，符合题意，C正确，
对于D，f（sinx）＝sin3x，则f（sinx）＝sin（2x+x）＝sin2xcosx+cos2xsinx＝3sinx﹣4sin3x，存在函数f（x）＝3x﹣4x3，符合题意，D正确，
故选：CD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为　[1，+∞）　．
【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1．
∴函数的定义域是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
14．（5分）已知幂函数在区间（0，+∞）上递增，则实数m＝　﹣1　．
【解答】解：∵幂函数在区间（0，+∞）上递增，
∴，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（5分）已知，则的值是　﹣3　．
【解答】解：∵，
∴两边平方，可得1+2sinθcosθ＝，可得sinθcosθ＝﹣，
∴＝+＝＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（5分）候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a+log2（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要　80　个单位．
【解答】解：由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为20个单位，
故有a+log2＝0，即a＝﹣1．
∴v＝﹣1+log2，
要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，
即﹣1+log2≥2，也就是log2≥3，解得Q≥80，
即飞行的速度不低于2 m/s，则其耗氧量至少要80个单位．
故答案为：80．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知tanα＝2．
（1）求值：；
（2）求值：．
【解答】解：tanα＝2．
（1）＝（﹣sinα）（﹣sinα）＝＝＝＝；
（2）＝tan（+α）＝﹣＝﹣．
18．（12分）已知a∈R，在①B＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，②B＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]≤0}这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，进行求解．
问题：已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，_____，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解答】解：选①：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，
B＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，A∩B＝B，∴B⊆A，
当B＝∅时，1﹣a＞1+a，解得a＜0，满足B⊆A；
当B≠∅时，，解得0≤a≤3，
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
选②：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，
B＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，
∵A∩B＝B，∴B⊆A，
∴，解得﹣1≤a≤3，
∴实数a的取值范围是[﹣1，3]．
19．（12分）已知函数．
（1）用定义证明：函数f（x）为奇函数；
（2）写出函数f（x）的单调区间（无需证明）；
（3）若f（t﹣1）+f（t）＞0，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，函数，必有＞0，
解可得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），
又由f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，
（2）函数，其定义域为（﹣1，1），
f（x）的递减区间为（﹣1，1），
（3）若f（t﹣1）+f（t）＞0，即f（t﹣1）＞﹣f（t）＝f（﹣t），
则有，解可得0＜t＜，
即t的取值范围为（0，）．
20．（12分）设函数f（x）＝sin2x﹣cos（2x﹣）．
（1）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；
（2）设α是锐角，f（+）＝，求sinα的值．
【解答】解：（1）f（x）＝sin2x﹣cos（2x﹣）＝sin2x﹣cos2x﹣sin2x
＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），
当x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，﹣≤f（x）≤1．
∴f（x）在区间[0，]上的最大值为f（）＝1，最小值为f（0）＝﹣；
（2）f（+）＝sin（）＝sin（）＝，
若＞，则由α是锐角，则（，），此时sin（）∈（，1），
而＞不可能，故0＜＜，
∴sinα＝sin（）＝sin（）cos﹣cos（）sin
＝﹣＝．
21．（12分）为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地ABCD，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边（圆心分别为A和C）均落在平行四边形ABCD的边上，圆弧均与BD相切，其中扇形的圆心角为120°，扇形的半径为12米．
（1）求两块花卉景观扇形的面积；
（2）记∠BDA＝θ，求平行四边形绿地ABCD占地面积S关于θ的函数解析式，并求面积S的最小值．

【解答】解：（1）米2，
所以两块花卉景观扇形的面积为96π米2；
（2）连接A与切点O，则△AOD中，AD＝OA•＝，
在△OAB中，AB＝，
在△ABE中，BE＝ABsin60°，
平行四边形绿地ABCD占地面积S＝AD•BE＝•sin60°＝，0°＜θ＜60°，
令
＝
＝
＝
＝，，
所以，当时，f（θ）取最大值，面积S的最小值米2．

22．（12分）已知a，m∈R，函数和函数h（x）＝mx2﹣（2m+1）x+4．
（1）若函数f（x）图象的对称中心为点（0，3），求满足不等式f（log3t）＞3的t的最小整数值；
（2）当a＝﹣4时，对任意的实数x∈R，若总存在实数t∈[0，4]使得f（x）＝h（t）成立，求正实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数＝4+，
若函数f（x）图象的对称中心为点（0，3），
则f（x）+f（﹣x）＝8+（a﹣4）（+）＝8+（a﹣4）•＝a+4＝6，
解得a＝2，
即有f（x）＝4﹣，
不等式f（log3t）＞3，即为4﹣＞3，
即1﹣＞0，解得t＞1或t＜﹣1，
又t＞0，可得t＞1，则t的最小正整数为2；
（2）当a＝﹣4时，f（x）＝4﹣在R上递增，可得f（x）＜4，
又1+3x＞1，可得f（x）＞﹣4，
则f（x）的值域为（﹣4，4），
设h（t）的值域为B，由题意可得（﹣4，4）⊆B．
函数h（t）＝mt2﹣（2m+1）t+4的对称轴为t＝（m＞0），
当≥4，即0＜m≤时，h（t）在[0，4]递减，可得h（t）的值域B＝[8m，4]，
由（﹣4，4）⊆[8m，4]，可得8m＜﹣4，即m＜﹣，与m＞0矛盾，此时m不存在；
当0＜＜4，即m＞时，h（t）的最小值为h（）＝＝4﹣，
由（﹣4，4）⊆B，可得4﹣＜﹣4，解得m＞+2或m＜﹣2，
又m＞，可得m＞+2，
由h（t）在[0，4]的最大值为h（0）或h（4），
可得8m＞4，即h（t）在[0，4]的最大值为8m，
由（﹣4，4）⊆B．可得m＞+2，
则正实数m的取值范围是（+2，+∞）．
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日期：2022/1/1 11:33:25；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983