2020-2021学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|1＜x≤3}，则A∪B＝（　　）
A．{x|1≤x≤2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1≤x≤3}
2．（3分）“x＝1”是“x2＝1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（3分）已知sinα+cosα＝，则sinα•cosα＝（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）设m，n都是正整数，且n＞1，若a＞0，则不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．a0＝1
5．（3分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）

A．f（x）＝（ex+e﹣x）sin2x B．f（x）＝（ex﹣e﹣x）sin2x
C．f（x）＝（ex+e﹣x）cos2x D．f（x）＝（ex﹣e﹣x）cos2x
6．（3分）已知，b＝log32，，则（　　）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
7．（3分）已知m＞0，n＞0，且（m+1）（n+4）＝9，则（　　）
A．mn有最大值1，m+n有最小值2
B．mn有最大值1，m+n有最小值1
C．mn有最大值1，m+n无最小值
D．mn无最大值，m+n无最小值
8．（3分）已知a，b，c∈R，a+b+c＝0，若函数f（x）＝3ax2+2bx+c（a≠0）的两个零点是x1，x2，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．（3分）已知α是第二象限角，则可以是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
10．（3分）设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则（　　）
A．若α，r确定，则L，S唯一确定
B．若α，l确定，则L，S唯一确定
C．若S，L确定，则α，r唯一确定
D．若S，l确定，则α，r唯一确定
11．（3分）已知函数f（x）＝loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）g1（x）＝f（|x|），g2（x）＝|f（x）|，g3（x）＝|f（|x|）|（　　）
A．函数g1（x），g2（x），g3（x）都是偶函数
B．若g1（x1）＝g1（x2）＝a（x1＜x2），则x2﹣x1＞4
C．若g2（x1）＝g2（x2）＝a（x1＜x2），则
D．若g3（x1）＝g3（x2）＝g3（x3）＝g3（x4）（x1＜x2＜x3＜x4），则
12．（3分）已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，函数y＝f（x）图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x+c）为偶函数，则（　　）
A．函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（﹣1，2）
B．函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（1，4）
C．函数有对称轴
D．函数无对称轴
三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知函数，则＝　 　．
14．（3分）若点绕坐标原点按逆时针方向旋转30°到达点B，则点B的横坐标是　 　．
15．（3分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[﹣1，0）时，，则当x∈（2，3]时，f（x）＝　 　．
16．（3分）对任意，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间上单调递增，则实数ω的取值范围是　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17．（8分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．
（1）求集合B；
（2）求（∁RA）∩B．
18．（8分）已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求f（x）的值域．
19．（8分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，a∈R．
（1）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值区间；
（2）求关于x的不等式f（x）≤0的解集．
20．（8分）如图，某超市的平面图为矩形ABCD，超市门EF在边AD上，其中AD＝8m，AB＝5m，AE＝5.5m，EF＝1.6m．
（1）求∠ECF的正切值；
（2）若要在边CD上找一点M安装安防摄像头，使得对超市门的摄像视角∠EMF最大，求DM的长．

21．（10分）已知函数．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若对任意x∈（0，π），恒有≥0，求实数a的取值范围．
22．（10分）已知函数f（x）＝（a＞0，b＞0）．
（1）若b＝1，且f（x）是减函数，求a的取值范围；
（2）若a＝1，关于x的方程|f（x）﹣2|＝﹣b（x﹣1）有三个互不相等的实根，求b的取值范围．

2020-2021学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|1＜x≤3}，则A∪B＝（　　）
A．{x|1≤x≤2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1≤x≤3}
【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|1＜x≤3}，
∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}．
故选：D．
2．（3分）“x＝1”是“x2＝1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当x＝1成立则“x2＝1”一定成立
反之，当“x2＝1”成立则x＝±1即x＝1不一定成立
∴“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件
故选：A．
3．（3分）已知sinα+cosα＝，则sinα•cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：已知sinα+cosα＝，
两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα＝，整理得：1+2sinα•cosα＝，
解得：sinα•cosα＝．
故选：C．
4．（3分）设m，n都是正整数，且n＞1，若a＞0，则不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．a0＝1
【解答】解：对于选项A，根据根式与有理指数幂的互化可得，故选项A正确；
对于选项B，+2，故选项B错误；
对于选项C，根据根式与有理指数幂的互化可得，故选项C正确；
对于选项D，a0＝1，故选项D正确．
故选：B．
5．（3分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）

A．f（x）＝（ex+e﹣x）sin2x B．f（x）＝（ex﹣e﹣x）sin2x
C．f（x）＝（ex+e﹣x）cos2x D．f（x）＝（ex﹣e﹣x）cos2x
【解答】解：函数为偶函数，排除A，D，
当x＝0时，f（0）＝0，
排除C，∵C中f（0）＝2，
故选：B．
6．（3分）已知，b＝log32，，则（　　）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【解答】解：∵0＜＜（）1＝，
b＝log32＞＝，
＜log1＝0，
∴c＜a＜b．
故选：A．
7．（3分）已知m＞0，n＞0，且（m+1）（n+4）＝9，则（　　）
A．mn有最大值1，m+n有最小值2
B．mn有最大值1，m+n有最小值1
C．mn有最大值1，m+n无最小值
D．mn无最大值，m+n无最小值
【解答】解：因为（m+1）（n+4）＝9，m＞0，n＞0，
所以mn+4m+n＝5，
则4m+n＝5﹣mn，解得0＜mn≤1，当且仅当4m＝n时，mn取得最大值为1，
而m+n，当且仅当m＝n时，mn有最大值，
两式等号成立的条件不一样，所以m+n无最小值，
故选：C．
8．（3分）已知a，b，c∈R，a+b+c＝0，若函数f（x）＝3ax2+2bx+c（a≠0）的两个零点是x1，x2，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数f（x）＝3ax2+2bx+c（a≠0）的两个零点是x1，x2，
∴3ax2+2bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，
则x1+x2＝﹣．x1x2＝，
≥2＝2＝2＝2，
∵a+b+c＝0，∴4a+4b+4c＝0，
则原式≥2＝2＝2，
即的最小值是2，
故选：D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．（3分）已知α是第二象限角，则可以是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：因为α是第二象限角，即k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z；
所以k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z；
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
故选：AC．
10．（3分）设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则（　　）
A．若α，r确定，则L，S唯一确定
B．若α，l确定，则L，S唯一确定
C．若S，L确定，则α，r唯一确定
D．若S，l确定，则α，r唯一确定
【解答】解：由弧长公式得l＝αr，S＝lr＝αr2，周长L＝l+2r，
若α，r确定，则l确定，则L，S唯一确定，故A正确，
若α，l确定，则r确定，则L，S唯一确定，故B正确，
若S，L确定，则，则α，r不一定唯一确定，故C错误，
若S，l确定，则r确定，则α唯一确定，故D正确，
故选：ABD．
11．（3分）已知函数f（x）＝loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）g1（x）＝f（|x|），g2（x）＝|f（x）|，g3（x）＝|f（|x|）|（　　）
A．函数g1（x），g2（x），g3（x）都是偶函数
B．若g1（x1）＝g1（x2）＝a（x1＜x2），则x2﹣x1＞4
C．若g2（x1）＝g2（x2）＝a（x1＜x2），则
D．若g3（x1）＝g3（x2）＝g3（x3）＝g3（x4）（x1＜x2＜x3＜x4），则
【解答】解：选项A：因为g2（x）＝|loga（x﹣1）|的定义域为（1，+∞），不关于原点对称，所以不是偶函数，故A错误，
选项B：因为g1（x）＝loga|x﹣1|，当x＞1时，由g1（x1）＝g1（x2）＝a（x1＜x2）可得：
x，同理可得x，所以x，当a＝时，x+2＜4，故B错误，
选项C：当|f（x）|＝a时，有f（x）＝a或﹣a，则x，x，（a＞0），
所以＝，故C正确，
选项D：由g3（x1）＝g3（x2）＝g3（x3）＝g3（x4）（x1＜x2＜x3＜x4），
设g3（x1）＝1，则x1＝﹣1﹣a，x，x，x4＝1+a，
所以，，
所以则，故D正确，
故选：CD．
12．（3分）已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，函数y＝f（x）图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x+c）为偶函数，则（　　）
A．函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（﹣1，2）
B．函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（1，4）
C．函数有对称轴
D．函数无对称轴
【解答】解：若P（﹣1，2）是函数f（x）＝x3+3x2的对称中心，
所以y＝g（x）＝f（x﹣1）﹣2＝（x﹣1）3+3（x﹣1）2﹣2＝（x﹣1）2（x+2）﹣2＝x3﹣3x，
所以g（﹣x）＝﹣g（x），
故y＝f（x﹣1）﹣2为奇函数，
所以函数f（x）＝x3+3x2的对称中心是P（﹣1，2），
故选项A正确，B错误；
函数＝，
令t＝x﹣1，则h（t）＝，
因为h（t）＝h（﹣t），所以函数h（t）是偶函数，关于直线x＝0对称，
所以f（x）关于直线x＝﹣1对称，故选项正确，D错误．
故选：AC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知函数，则＝　1　．
【解答】解：因为知函数，
所以，
故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．
故答案为：1．
14．（3分）若点绕坐标原点按逆时针方向旋转30°到达点B，则点B的横坐标是　　．
【解答】解：点，∴OA的倾斜角为120°，
绕坐标原点按逆时针方向旋转30°到达点B，故OB的倾斜角为120°+30°，
则点B的横坐标是cos（120°+30°）＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[﹣1，0）时，，则当x∈（2，3]时，f（x）＝　2x﹣2﹣1　．
【解答】解：函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，
当x∈[﹣1，0）时，，
则当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，
当x∈（2，3]时，x﹣2∈（0，1]，f（x）＝2x﹣2﹣1，
故答案为：2x﹣2﹣1．
16．（3分）对任意，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间上单调递增，则实数ω的取值范围是　　．
【解答】解：∵对任意，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间上单调递增，
∴×||≥π﹣，∴|ω|≤2．
①ω＞0时，此时，0＜ω≤2，y＝sin（ωx+φ）单调递增，
可得，k∈Z，则，
∵，∴，
当k＝0时，可得；
①ω＜0时，此时，﹣2≤ω＜0，y＝sin（ωx+φ）单调递增，
即y＝﹣sin（﹣ωx﹣φ）在区间上单调递减；
可得，k∈Z，则，
∵，∴，
当k＝0时，可得；
综上，则实数ω的取值范围是．
四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17．（8分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．
（1）求集合B；
（2）求（∁RA）∩B．
【解答】解：（I）B＝{x|x2﹣4x+3＜0}
＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}
＝{x|1＜x＜3}．
（Ⅱ）∵集合A＝{x|x＜2}，∴∁UA＝{x|x≥2}，
∴（∁UA）∩B＝{x|2≤x＜3}．
18．（8分）已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）由已知可得f（）＝sin（）sin
＝；
（Ⅱ）因为函数＝＝，
因为，所以，
所以f（x），
故函数f（x）的值域为[﹣1，]．
19．（8分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，a∈R．
（1）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值区间；
（2）求关于x的不等式f（x）≤0的解集．
【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
由二次函数图象可知，f（x）的单调增区间为，
因为f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以，
所以a≤2，所以实数a的取值区间是（﹣∞，2]．
（2）不等式f（x）≤0即为（x+1）[x﹣（a+1）]≤0，
当﹣1＜a+1，即a＞﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤a+1}；
当﹣1＝a+1，即a＝﹣2时，不等式的解集为{x|x＝﹣1}；
当﹣1＞a+1，即a＜﹣2时，不等式的解集为{x|a+1≤x≤﹣1}．
20．（8分）如图，某超市的平面图为矩形ABCD，超市门EF在边AD上，其中AD＝8m，AB＝5m，AE＝5.5m，EF＝1.6m．
（1）求∠ECF的正切值；
（2）若要在边CD上找一点M安装安防摄像头，使得对超市门的摄像视角∠EMF最大，求DM的长．

【解答】解：（1）因为，，
∠ECF＝∠ECD﹣∠FCD，
所以tan∠ECF＝tan（∠ECD﹣∠FCD）＝＝．
（2）设DM＝x（0＜x≤5），
则，．
因为∠EMF＝∠EMD﹣∠FMD，
所以，＝＝≤＝，
当且仅当，即x＝1.5时，tan∠EMF取得最大值．
所以，当DM＝1.5m时，∠EMF最大．
21．（10分）已知函数．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若对任意x∈（0，π），恒有≥0，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）证明：＝，其定义域为R，
又，
所以，f（x）是奇函数．
（2）由，得，
因为f（x）是奇函数，所以，即，
又f（x）＝1﹣，y＝2x在R上为增函数，则y＝在R上为减函数，
故f（x）在R上单调递增，
所以，即a+asinx≥cos2x+1，
所以，对任意x∈（0，π），恒成立，
设t＝1+sinx，t∈（1，2]．
则＝．
因为函数在t∈（1，2]上单调递减，
所以，即，
所以，实数a的取值范围是[2，+∞）．
22．（10分）已知函数f（x）＝（a＞0，b＞0）．
（1）若b＝1，且f（x）是减函数，求a的取值范围；
（2）若a＝1，关于x的方程|f（x）﹣2|＝﹣b（x﹣1）有三个互不相等的实根，求b的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝（a＞0，b＞0），
当a＞0时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以a≥1，
函数的周期T＝2a≥2，且单调递减，
所以，解得，
当时，满足，
所以a的取值范围是．
（2）设，，
由题意，g（x）与h（x）的图象有三个不同的交点．
①当b＞1时，，
则g（x）在和上单调递减，在和上单调递增，h（x）在（0，2]上单调递减，如图1所示．
当时，因为，，
所以g（x）与h（x）的图象在上存在一个交点；
当时，因为，，
所以g（x）与h（x）的图象在上存在一个交点；
当时，，g（x）≥g（2）＝1，
所以g（x）与h（x）的图象在上不存在交点．
因此，要满足题意，g（x）与h（x）的图象在上必存在一个交点，
所以，即，
所以，当时，g（x）与h（x）的图象有三个不同的交点．
②当b＝1时，g（x）与h（x）的图象有两个不同的交点，不合题意，舍去．
③当0＜b＜1时，设关于x的方程在（0，1）内的根为m，则，
则，
所以g（x）在（0，m]和上单调递减，在（m，1）和上单调递增，h（x）在（0，2]上单调递减，如图2所示．
当x∈（0，m]时，因为，，
所以g（x）与h（x）的图象在（0，m]上存在一个交点，
当x∈（m，1）时，因为，，
所以g（x）与h（x）的图象在（m，1）上不存在交点；
当时，因为，，
所以g（x）与h（x）的图象在上存在一个交点．
因此，要满足题意，g（x）与h（x）的图象在上必存在一个交点，
所以h（2）≥g（2），即．
所以，当时，g（x）与h（x）的图象有三个不同的交点，
综上，b的取值范围是．

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日期：2022/1/1 11:31:15；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983