2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知集合P＝{x|1＜x＜3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∪Q＝（　　）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
2．（4分）已知a∈R，若有（i为虚数单位），则a＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．±2 D．±1
3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）函数f（x）＝x•cosx的导函数为f'（x），则f（x）与f'（x）在一个坐标系中的图象为（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）在△ABC中，“sinA＞sinB”是“cosA＜cosB”（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是正项等比数列，若a1＝b1，a7＝b7，则（　　）
A．a4＝b4 B．a5＜b5 C．a8＞b8 D．a9＜b9
7．（4分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（　　）

A． B． C． D．
8．（4分）在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（　　）

A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）
9．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）

A．DC1⊥PC B．异面直线AD与PC不可能垂直
C．∠D1PC不可能是直角或者钝角 D．∠APD1的取值范围是
10．（4分）设函数f（x）＝，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．（6分）直线的倾斜角为　 　，过（2，0）点且与直线l平行的直线方程是　 　．
12．（6分）双曲线C：2x2﹣y2＝1的焦点坐标是　 　；渐近线方程是　 　．
13．（6分）已知直线，圆C：（x﹣1）2+y2＝4，若直线l是圆C的一条对称轴，则实数k＝　 　；若直线l与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积是，则实数k＝　 　．
14．（6分）已知，则＝　 　；＝　 　．
15．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足，b＝3的△ABC有且仅有一个，则边a的取值范围是 　 　．
16．（6分）如图，四边形ABCD是矩形，且有，沿AC将△ADC翻折成△AD'C，当二面角D'﹣AC﹣B的大小为时，则异面直线D'C与AB所成角余弦值是　 　．

17．（6分）设△OAB中，＝，＝且满足|﹣|＝||，|+|＝2，当△OAB面积最大时，则+与夹角的大小是　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14分）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c•cosB＝b•（1﹣cosC）．
（Ⅰ）求证a＝b；
（Ⅱ）求cosC﹣sinA的取值范围．








19．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；
（Ⅱ）若CD1⊥平面ABCD且，求直线D1B1与平面C1D1M所成角的正弦值．








20．（15分）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2+2Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求a1的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若有bn＝，求证：b2+b3+…+bn＜．








21．（15分）已知椭圆的离心率为，A是椭圆上位于第三象限内的一点，点P满足．过点P作一条斜率为k的直线l交椭圆于B，C两点．
（Ⅰ）若点P的坐标为（4，1）．
（ⅰ）求椭圆的方程；
（ⅱ）求△OBC面积；（用含k的代数式表示）
（Ⅱ）若满足，求直线OA，OB的斜率之积．
















22．（15分）已知函数．
（Ⅰ）若a＝1，试求f（x）在（2，3）点处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，试求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若在定义域上恒有f（x）≥2x+3成立，求实数a的取值范围．

2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知集合P＝{x|1＜x＜3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∪Q＝（　　）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【解答】解：∵P＝{x|1＜x＜3}，Q＝{x|2＜x＜4}，
∴P∪Q＝{x|1＜x＜4}．
故选：D．
2．（4分）已知a∈R，若有（i为虚数单位），则a＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．±2 D．±1
【解答】解：∵，
∴1+a2＝5，解得a＝±2，
故选：C．
3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图（图中阴影部分，不含y轴），

当直线y＝﹣x+z过（0，）时，z＝，
当直线y＝﹣x+z与圆在第三象限相切时，z＝﹣2，
∴z＝x+y的取值范围是[﹣2，），
故选：B．
4．（4分）函数f（x）＝x•cosx的导函数为f'（x），则f（x）与f'（x）在一个坐标系中的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：f′（x）＝cosx﹣xsinx，
则f（x）是奇函数，f′（x）是偶函数，排除B，C，
在D中，关于y轴对称的是f′（x）图象，由图象知f′（x）＞0，则f（x）为增函数，与f（x）的单调性不一致，排除D，
故选：A．
5．（4分）在△ABC中，“sinA＞sinB”是“cosA＜cosB”（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：在△ABC中，“sinA＞sinB”，由正弦定理可得a＞b，⇔A＞B，
又A，B∈（0，π），
∴cosA＜cosB．
∴在△ABC中，“sinA＞sinB”是“cosA＜cosB”的充要条件．
故选：C．
6．（4分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是正项等比数列，若a1＝b1，a7＝b7，则（　　）
A．a4＝b4 B．a5＜b5 C．a8＞b8 D．a9＜b9
【解答】解：等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，n∈N*，
故等差数列{an}的图象是一条直线上孤立的点，
等比数列{bn}的通项公式是关于n的指数函数形式，
故等比数列{bn}的图象是指数函数上孤立的点，
如图所示，当d＞0时，如下图所示，

当d＜0时，如下图所示，

由图可知，当a1＝b1，a7＝b7时，所以a4＞b4，a5＞b5，a8＜b8，a9＜b9．
故选：D．
7．（4分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，
底面是斜边上的高是1的直角三角形，
则两条直角边是，
斜边是2，
∴底面的面积是＝1，
与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，
∴三棱锥的高是，
∴三棱锥的体积是
故选：B．
8．（4分）在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（　　）

A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：设圆的方程为x2+（y﹣m）2＝r2，（m＞0，r＞0），
当直线与抛物线相切时，设切点为A（x0，2），
由x2＝4y可得y＝，
则点A处的切线斜率为k＝，
过切点A且与切线垂直的直线方程为：＝﹣（x﹣x0），
即y＝，
则该直线与y轴的交点为（0，2+）
圆半径r＝＝，
所以，当圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则r＝＞2
则圆的半径r的取值范围是（2，+∞），
故选：A．
9．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）

A．DC1⊥PC
B．异面直线AD与PC不可能垂直
C．∠D1PC不可能是直角或者钝角
D．∠APD1的取值范围是
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，
对于A，PC在平面CDD1C1的投影为D1C的一部分，
∵DC1⊥D1C，∴DC1⊥PC，故A正确；
对于B，若AD⊥PC，又AD⊥A1B，PC，A1B是平面A1D1CB内的两条相交线，
∴AD⊥平面A1D1CB，则AD⊥A1D1，与AD∥A1D1矛盾，
∴异面直线AD与PC不可能垂直，故B正确；
对于C，∵A1B与D1C两条平行线间的距离为1，则以D1C为直径的圆与A1B相离，
则∠D1PC在圆外，∴∠D1PC不可能是直角或者钝角，故C正确；
对于D，当P为线段A1B中点时，PD1＝＝，
AP＝＝，AD1＝，∴，
∴AP⊥PD1，∴∠APD1＝，故D错误．
故选：D．

10．（4分）设函数f（x）＝，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设g（x）＝x3﹣3x2+8x﹣5，h（x）＝a（x+1），
g'（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），所以x＞4或者x＜2时函数递增，2＜x＜4时递减，
并且g（1）＝，g（2）＝，g（3）＝1，g（4）＝，
图象如图，函数h（x）经过（﹣1，0），要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，
即g（x）＜h（x）有唯一正整数解，
所以只要a＞0并且，即，解得：＜a≤；
故选：A．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．（6分）直线的倾斜角为　150°　，过（2，0）点且与直线l平行的直线方程是　x+y﹣2＝0　．
【解答】解：∵直线，即 y＝﹣x﹣，
∴它的斜率为﹣，倾斜角为150°．
设与直线l平行的直线方程为x+y+m＝0，把点（2，0）代入，可得m＝﹣2，
故直线的方程为 x+y﹣2＝0，
12．（6分）双曲线C：2x2﹣y2＝1的焦点坐标是　（±，0）　；渐近线方程是　y＝x　．
【解答】解：双曲线C：2x2﹣y2＝1，可得a＝，b＝1，c＝＝，
双曲线的焦点坐标为：（±，0），渐近线方程为：y＝x．
故答案为：（±，0）；y＝x．
13．（6分）已知直线，圆C：（x﹣1）2+y2＝4，若直线l是圆C的一条对称轴，则实数k＝　﹣3　；若直线l与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积是，则实数k＝　﹣或或4　．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+y2＝4的圆心坐标为C（1，0），
由题意，0＝k+，即k＝﹣；
设圆心C到直线l的距离为d，则|AB|＝，
由＝，
得d2＝1或d2＝3，
即＝1或＝3，
解得k＝﹣或k＝或k＝4．
故答案为：；﹣或或4．
14．（6分）已知，则＝　　；＝　﹣　．
【解答】解：已知，则＝cos（α﹣﹣）＝cos[（﹣（α﹣ ）]＝sin（α﹣）＝；
∴cos（2α+）＝﹣cos[π﹣（+2α）]＝﹣cos（﹣2α）＝2sin2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，
故答案为：；﹣．
15．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足，b＝3的△ABC有且仅有一个，则边a的取值范围是 　{a|a≥3或a＝}　．
【解答】解：过C作AB边上的高h＝bsinA＝3×＝，
若满足，b＝3的△ABC有且仅有一个
则a＝h＝或a≥b，所以a≥3或a＝，
即实数a的取值范围是{a|a≥3或a＝}，
故答案为：{a|a≥3或a＝}．

16．（6分）如图，四边形ABCD是矩形，且有，沿AC将△ADC翻折成△AD'C，当二面角D'﹣AC﹣B的大小为时，则异面直线D'C与AB所成角余弦值是　　．

【解答】解：如图所示，设AB＝2，则AD＝，
过D作DE⊥AC，交AC于O，交AB于E，则∠D′OE＝60°，
∴∠D′OD＝120°，
∵AD⊥DC，∴DO＝＝＝＝，
∴DD′＝＝2，
∵DC＝CD′＝2，∴∠D′CD＝60°，
∵AB∥CD，∴∠D′CD是异面直线D'C与AB所成角（或所成角的补角），
∴异面直线D'C与AB所成角余弦值是cos60°＝．
故答案为：．

17．（6分）设△OAB中，＝，＝且满足|﹣|＝||，|+|＝2，当△OAB面积最大时，则+与夹角的大小是　45°　．
【解答】解：在△OAB中，取AB中点C，连接OC，设∠COB＝α，∠OAB＝θ，
＝，＝且满足|﹣|＝||，|+|＝2，
由向量及其运算几何意义知，AB＝||，OA＝||，
OC＝|（）|＝1，+与夹角即为α，
设AC＝x，则OA＝2x，BC＝x；设△OAB的面积为S，
x+2x＞1，2x﹣x＜1⇒；
由余弦定理得12＝x2+（2x）2﹣2•x•2x•cosθ⇒cosθ＝，
S＝（2x）2sinθ＝＝，
当，即x＝，cosθ＝时，S取最大值．
由正弦定理得，
所以sinα＝xcos＝x＝＝，
因为α为锐角，所以α＝45°．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14分）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c•cosB＝b•（1﹣cosC）．
（Ⅰ）求证a＝b；
（Ⅱ）求cosC﹣sinA的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为c•cosB＝b•（1﹣cosC）＝b﹣bcosC，
所以由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC＝sinB，
所以sin（B+C）＝sinA＝sinB，所以a＝b，得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＝b，则A＝B，则C＝π﹣A﹣B＝π﹣2A．
∵C是锐角，∴0＜π﹣2A＜，得＜A＜，
则cosC﹣sinA＝cos（π﹣2A）﹣sinA＝﹣cos2A﹣sinA
＝﹣（1﹣2sin2A）﹣sinA＝2sin2A﹣sinA﹣1，
设t＝sinA，则原式＝2t2﹣t﹣1，
∵A＝B，∴＜A＜，则＜t＜1，
y＝2t2﹣t﹣1的对称轴为t＝﹣＝，
则当t＝时，y最小为y＝﹣；当t＝1时，y＝0，
所以﹣＜y＜0，即﹣＜cosC﹣sinA＜0，
则cosC﹣sinA的取值范围是（﹣，0）．
19．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；
（Ⅱ）若CD1⊥平面ABCD且，求直线D1B1与平面C1D1M所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：如图所示，连接A1D，
∵D1B1＝DC，AM＝，∴D1C1＝AM，
∵AM∥D1C1，∴四边形AMC1D1是平行四边形，∴C1M∥AD1，
∵C1M⊄平面A1ADD1，AD1∥平面A1ADD1，
∴C1M∥平面A1ADD1．
（Ⅱ）连接D1C、B1M、B1D1，
∵＝，＝，CD1⊥平面ABCD且，
∴＝，
∵，＝2，C1D1＝1，
∴＝，
设点B1到平面C1D1M的距离为h，
则＝，解得h＝，
设直线D1B1与平面C1D1M所成角为θ，
则直线D1B1与平面C1D1M所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．

20．（15分）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2+2Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求a1的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若有bn＝，求证：b2+b3+…+bn＜．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，当n＝1时，3T1＝S12+2S1，
即3a12＝a12+2a1，
化简整理，得a12﹣a1＝0，
解得a1＝0（舍去），或a1＝1，
当n≥2时，由3Tn＝Sn2+2Sn，
可得3Tn﹣1＝Sn﹣12+2Sn﹣1，
两式相减，可得3an2＝Sn2﹣Sn﹣12+2Sn﹣2Sn﹣1，
化简整理，得3an＝Sn+Sn﹣1+2，
将n＝2代入3an＝Sn+Sn﹣1+2，
可得3a2＝S2+S1+2＝a1+a2+a1+2＝a2+4，
解得a2＝2，
当n≥3时，由3an＝Sn+Sn﹣1+2，
可得3an﹣1＝Sn﹣1+Sn﹣2+2，
两式相减，可得3an﹣3an﹣1＝an+an﹣1，
化简整理，得an＝2an﹣1，
∵a2＝2a1也满足上式，
∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ）证明：bn＝＝，
所以b2+b3+…+bn＜，
故b2+b3+…+bn＜．
21．（15分）已知椭圆的离心率为，A是椭圆上位于第三象限内的一点，点P满足．过点P作一条斜率为k的直线l交椭圆于B，C两点．
（Ⅰ）若点P的坐标为（4，1）．
（ⅰ）求椭圆的方程；
（ⅱ）求△OBC面积；（用含k的代数式表示）
（Ⅱ）若满足，求直线OA，OB的斜率之积．

【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）设A（m，n），
因为，P（4，1），
所以（4，1）＝（﹣m，﹣n），
所以4＝﹣m，1＝﹣n，
解得m＝﹣，n＝﹣，即A点坐标为（﹣，﹣），
代入椭圆的方程圆，得+＝1①，
因为离心率为，所以e＝＝②，
又因为a2＝b2+c2③，
由①②③解得a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（ⅱ）直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣4），即y＝kx﹣4k+1，
联立，得（1+4k2）x2﹣8k（4k﹣1）x+64k2﹣32k＝0，
由Δ＝[﹣8k（4k﹣1）]2﹣4（1+4k2）（64k2﹣32k）＞0，得0＜k＜，
所以x1+x2＝，x1x2＝，
所以|x1﹣x2|＝＝，
因为直线l与y轴交点为（0，1﹣4k），
所以S△OBC＝|1﹣4k||x1﹣x2|＝•＝（0＜k＜）．
（Ⅱ）设A（x3，y3），B（x1，y1），C（x2，y2），P（xP，yP），
因为＝，
所以（xP，yP）＝（﹣x3，﹣y3），
解得xP＝﹣x3，yP＝﹣y3，
因为＝3，
所以（﹣x3﹣x1，﹣y3﹣y1）＝3（x2﹣x1，y2﹣y1），
所以，即，
代入椭圆的方程得（﹣x3﹣x1）2+4×（﹣y3+2y1）2﹣4＝0，
整理得4（x12+4y12）+5（x32+4y32）﹣4（x1x3+y1y3）＝36，
因为B（x1，y1），A（x3，y3）在椭圆上，
所以x12+4y12＝4，x32+4y32＝4，
所以4×4+5×4﹣4（x1x3+y1y3）＝36，即y1y2＝﹣x1x2，
所以kOAkOB＝＝﹣1，
所以直线OA，OB的斜率之积为﹣1．
22．（15分）已知函数．
（Ⅰ）若a＝1，试求f（x）在（2，3）点处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，试求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若在定义域上恒有f（x）≥2x+3成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，，则f'（x）＝（x＞1），
∴f（x）在（2，3）点处的切线斜率k＝f'（2）＝2，
∴f（x）在（2，3）点处的切线方程为2x﹣y﹣1＝0．
（Ⅱ）由，得（x＞1），
由f'（x）＞0，知，∴当a＞1时，f（x）的单调增区间为，
当，即0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），
（Ⅲ）由f（x）≥2x+3恒成立，可得（x＞1）恒成立，
∴恒成立，
令，
则，
令g'（x）＝0，则x＝2或x＝e2+1，
∴当1＜x＜2或x＞e2+1时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增；
当2＜x＜e2+1时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减，
又＝
＝＝，
∴g（x）max＝g（2）＝2，∴实数a的取值范围为[2，+∞）．
另解：令g（x）＝f（x）﹣2x﹣3＝ln（x﹣1）+﹣2x﹣3（x＞1），
g（x）≥0在（1，+∞）恒成立，可得g（2）≥0，即有a≥2．
下证a≥2是原命题成立的充分条件．
g′（x）＝f′（x）﹣2＝，
当a＝2时，g′（x）＝，g（x）min＝g（2）＝0，符合题意；
当a＞2时，令h（x）＝[（a﹣2）x+1]（x﹣2），再令h（x）＝0，可得x1＝＜0，x2＝2＞1，
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
所以g（x）≥g（2）≥0，符合题意．
综上可得，a的取值范围是[2，+∞）．
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日期：2022/1/5 13:12:51；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983