2020-2021学年浙江省温州十校联合体高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省温州十校联合体高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省温州十校联合体高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，则y+z＝（　　）
A．﹣8 B．﹣12 C．8 D．12
2．（4分）直线x+2y+＝0的斜率为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．（4分）下列求导运算不正确的是（　　）
A．（x2）′＝2x B．
C．（3x）′＝3xln3 D．（sinx）′＝cosx
4．（4分）已知a为实数，则“a＞1”是“方程+＝1表示的曲线为椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）已知两条相交直线m，n和三个不同的平面α，β，γ，则下列条件成立推不出α∥β的是（　　）
A．若m⊥α，m⊥β B．若α∥γ，β∥γ
C．若m∥α，m∥β D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β
6．（4分）双曲线的离心率为2，则（　　）
A．双曲线C的实轴长为1
B．双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0
C．双曲线C的焦距为4
D．m＝3
7．（4分）已知动点P（x，y）满足（a为大于零的常数），则动点P的轨迹是（　　）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
8．（4分）已知点P是曲线上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10＝0距离的取值范围是（　　）
A． B．[1，3] C． D．
9．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面DCC1D1内一动点，且，则四面体HA1D1P体积的最大值为（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）已知椭圆的左焦点为F，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆T：（x﹣2）2+y2＝1上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（6分）若方程x2+2x+m＝﹣y2+4y（m∈R）表示圆，则圆心坐标为　 　，实数m的取值范围是　 　．
12．（6分）直线l：y＝x+1与抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）交于A、B两点，若直线l经过抛物线C的焦点，则p＝　 　，此时弦AB的长度为|AB|＝　 　．
13．（6分）某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该几何体的体积为　 　，其外接球的半径为　 　．

14．（6分）曲线在点（1，3）处的切线方程为　 　，函数的极小值为　 　．
15．（4分）已知F1、F2为椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P为C1和C2的一个公共点，且，椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1、e2，则的最大值为　 　
16．（4分）已知a∈R，对于任意的实数x∈[1，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
17．（4分）在四面体ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AC＝BD＝x（x＞0），当x2＝　 　时，四面体ABCD的体积最大．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知a＞0，设命题p：当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）＝﹣x2+ax单调递增，
命题q：双曲线的离心率e∈[3，+∞）．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求正数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p和q中有且只有一个真命题，求正数a的取值范围．






19．（15分）在三棱锥P﹣ABC中，G是底面△ABC的重心，D是线段PC上的点，且2PD＝DC．
（Ⅰ）求证：DG∥平面PAB；
（Ⅱ）若△PAB是以PB为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG与PB所成角的余弦值．



20．（15分）如图所示，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，D为线段AC的中点，E为线段BD的中点．连结AE并延长交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：EF⊥AD；
（Ⅱ）若M是线段AC的中点，求二面角C﹣DF﹣M的余弦值；
（Ⅲ）点P在线段AC上，且满足EP∥平面DFM，求的值．







21．（15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2，直线l：y＝kx+2交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，点P为直线l1，l2的交点．
（ⅰ）求证：点P在一条定直线上；
（ⅱ）求△PAB面积的取值范围．






22．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣a（lnx+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）a＝e时，求证f（x）≥0恒成立；
（Ⅲ）存在x0＞1，使得x∈（1，x0）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

2020-2021学年浙江省温州十校联合体高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，则y+z＝（　　）
A．﹣8 B．﹣12 C．8 D．12
【解答】解：因为向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，
所以，
则有，解得y＝2，z＝﹣10，
所以y+z＝﹣8．
故选：A．
2．（4分）直线x+2y+＝0的斜率为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：直线x+2y+＝0，即直线 y＝﹣﹣，
故它的斜率为﹣，
故选：D．
3．（4分）下列求导运算不正确的是（　　）
A．（x2）′＝2x B．
C．（3x）′＝3xln3 D．（sinx）′＝cosx
【解答】解：（x2）′＝2x，（ex+ln3）′＝ex，（3x）′＝3xln3，（sinx）′＝cosx，
故选项B错误，
故选：B．
4．（4分）已知a为实数，则“a＞1”是“方程+＝1表示的曲线为椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为方程+＝1表示的曲线为椭圆，
所以a﹣1＞0且a﹣1≠3，
解得a＞1且a≠4，
因为（1，4）∪（4，+∞）⫋（1，+∞），
所以“a＞1”是“方程+＝1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（4分）已知两条相交直线m，n和三个不同的平面α，β，γ，则下列条件成立推不出α∥β的是（　　）
A．若m⊥α，m⊥β B．若α∥γ，β∥γ
C．若m∥α，m∥β D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β
【解答】解：由两条相交直线m，n和三个不同的平面α，β，γ，知：
对于A，由m⊥α，m⊥β，利用面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；
对于B，由α∥γ，β∥γ，利用面面平行的判定定理得α∥β，故B正确；
对于C，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
对于D，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，利用面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．
故选：C．
6．（4分）双曲线的离心率为2，则（　　）
A．双曲线C的实轴长为1
B．双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0
C．双曲线C的焦距为4
D．m＝3
【解答】解：双曲线的离心率为2，
可得＝2，m＞0解得m＝1，所以D不正确；
所以双曲线的实轴长为2，A不正确；
双曲线的渐近线方程为y＝x，所以B不正确；
双曲线的焦距为4，所以C正确，
故选：C．
7．（4分）已知动点P（x，y）满足（a为大于零的常数），则动点P的轨迹是（　　）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【解答】解：因为a为大于零的常数，所以，当且仅当a＝时取等号，
而方程表示动点P（x，y）到点（0，2），（0，﹣2）的距离和为，
因为动点P（x，y）到点（0，2），（0，﹣2）的距离和大于|2﹣（﹣2）|＝4，
所以动点P（x，y）的轨迹是椭圆．
故选：C．
8．（4分）已知点P是曲线上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10＝0距离的取值范围是（　　）
A． B．[1，3] C． D．
【解答】解：曲线是圆的圆心（0，0）半径为1是圆的上半部分，如图，点P是曲线上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10＝0距离的最大值为：＝3，最小值为：＝．
点P到直线3x﹣4y﹣10＝0距离的取值范围是：．
故选：D．

9．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面DCC1D1内一动点，且，则四面体HA1D1P体积的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：取线段DD1的三等分点E（靠近D1点），连接HE，PE，易得HE⊥平面DCC1D1，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，
，
，所以点P在以E为圆心，为半径的圆弧上（在侧面DCC1D1内），

所以点P到平面ADD1A1距离的最大值：．
．
则四面体HA1D1P体积的最大值为．
故选：A．
10．（4分）已知椭圆的左焦点为F，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆T：（x﹣2）2+y2＝1上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由圆T的方程可得：圆心T（2，0），半径R＝1，
由椭圆的方程可得：a＝4，c＝2，则椭圆的右焦点为T，
所以|PF|+|PT|＝2a＝8，
根据圆的性质可得：|PQ|的最大值为|PT|+R＝|PT|+1，
所以，
此时点P在椭圆的左顶点（﹣4，0）处，取得最小值为，
故选：B．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（6分）若方程x2+2x+m＝﹣y2+4y（m∈R）表示圆，则圆心坐标为　（﹣1，2）　，实数m的取值范围是　（﹣∞，5）　．
【解答】解：方程x2+2x+m＝﹣y2+4y（m∈R），即 （x+1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，
则圆心坐标为（﹣1，2），根据5﹣m＞0，求得m＜5，
故答案为：（﹣1，2）；（﹣∞，5）．
12．（6分）直线l：y＝x+1与抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）交于A、B两点，若直线l经过抛物线C的焦点，则p＝　2　，此时弦AB的长度为|AB|＝　8　．
【解答】解：由抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）可得焦点坐标为F（），
因为直线l经过抛物线C的焦点，所以0＝+1，即p＝2；
所以抛物线C的方程为y2＝﹣4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y得x2+6x+1＝0，
所以x1+x2＝﹣6，
所以弦AB的长度为|AB|＝p﹣x1﹣x2＝2﹣（﹣6）＝8．
故答案为：2，8．
13．（6分）某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该几何体的体积为　20　，其外接球的半径为　　．

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．
如图所示：

所以该几何体的体积．
设该几何体的外接球半径为R，
故（2R）2＝32+42+52＝50，
解得R＝．
故答案为：20；．
14．（6分）曲线在点（1，3）处的切线方程为　y＝3　，函数的极小值为　3　．
【解答】解：∵，函数的定义域是{x|x≠0}，
∴y′＝﹣+2x，
∴y′|x＝1＝﹣2+2＝0，
故切线方程是：y﹣3＝0（x﹣1），
即y＝3；
令y′＞0，解得：x＞1，令y′＜0，解得：x＜1且x≠0，
故函数在（﹣∞，0），（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故函数的极小值是3，
故答案为：y＝3，3．
15．（4分）已知F1、F2为椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P为C1和C2的一个公共点，且，椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1、e2，则的最大值为　　
【解答】解：不妨设P在第一象限，设PF1＝r1，PF2＝r2，
在椭圆中：r1+r2＝2a1，
在双曲线中：r1﹣r2＝2a2，
联立解得r1＝a1+a2，r2＝a1﹣a2，
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得cos＝，
∴＝，即a+3a＝4c2，∴（）2+（）2＝4，
∴+＝+，
∵（+）2＝（×1+×）2≤[（）2+（）2][12+（）2]＝4×＝，
∴+≤．
故答案为：．
16．（4分）已知a∈R，对于任意的实数x∈[1，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是　　．
【解答】解：因为对于任意的实数x∈[1，2]，不等式恒成立，
①当a≤时，由于恒成立，
故x﹣a﹣1≤0对x∈[1，2]恒成立，则a≥x﹣1恒成立，
所以a≥1，
故1≤a≤；
②当＜a＜时，此时x﹣a﹣1≤2﹣（）﹣1＜0，
故应有恒成立，
但，
当x＝1时，，不符合题意；
③当a≥时，则有x﹣a﹣1≤2﹣（）﹣1＜0，
则不等式，不符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为．
故答案为：．
17．（4分）在四面体ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AC＝BD＝x（x＞0），当x2＝　　时，四面体ABCD的体积最大．
【解答】解：将四面体ABCD放置在一个长方体中，如图，

设长方体的长宽高分别为a，b，c，
则，解得，得12＜x2＜20．
则四面体ABCD的体积V为长方体体积的，
则，
令（6＜t＜10），则9V2＝（t﹣6）（t+6）（10﹣t）＝﹣t3+10t2+36t﹣360，
令f（t）＝﹣t3+10t2+36t﹣360，得f′（t）＝﹣3t2+20t+36，
由f′（t）＝0，可得t＝，则当t＝，
即时，四面体ABCD的体积最大．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知a＞0，设命题p：当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）＝﹣x2+ax单调递增，
命题q：双曲线的离心率e∈[3，+∞）．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求正数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p和q中有且只有一个真命题，求正数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）命题p为真命题时，函数f（x）＝﹣x2+ax在（﹣∞，1]单调递增，
f（x）的对称轴为x＝，所以，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞）．
（Ⅱ）当q为真命题时，由双曲线性质得，c2＝a2+b2，，所以，解得0＜a≤1；
由（Ⅰ）可知p为真命题时，a≥2；
①当p真q假时，a≥2且a＞1，即a≥2．
②当p假q真时，0＜a＜2且0＜a≤1，即0＜a≤1．
所以a的取值范围为（0，1]∪[2，+∞）．
19．（15分）在三棱锥P﹣ABC中，G是底面△ABC的重心，D是线段PC上的点，且2PD＝DC．
（Ⅰ）求证：DG∥平面PAB；
（Ⅱ）若△PAB是以PB为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG与PB所成角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：连接CG并延长交AB于M点，连接PM，
∵G是△ABC的重心，∴2GM＝GC，
∴，∴DG∥PM，
∵PM⊂平面PAB，DG⊄平面PAB．
∴DG∥平面PAB．
（Ⅱ）解：由（I）可知，DG∥PM，
所以DG与PB所成的角即为∠MPB．
在直角△PAB中，令PA＝AB＝2，
则MB＝1，，，
在△PMB中，由余弦定理．
所以异面直线DG与PB所成角的余弦值为．

20．（15分）如图所示，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，D为线段AC的中点，E为线段BD的中点．连结AE并延长交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：EF⊥AD；
（Ⅱ）若M是线段AC的中点，求二面角C﹣DF﹣M的余弦值；
（Ⅲ）点P在线段AC上，且满足EP∥平面DFM，求的值．
【解答】（Ⅰ）证明：由条件可知，
而E为等边△ABD底边BD的中点，
∴AE⊥BD，EF⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且EF⊂平面BCD，
∴EF⊥平面ABD，
又因为AD⊂平面ABD，∴EF⊥AD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，EB，EF，EA，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，
则：E（0，0，0），A（0，0，3），F（0，1，0），，，，
∵AE⊥平面CFD，是平面CFD的一个法向量．
设平面MDF的法向量为，则：
取．
则．
所以二面角C﹣DF﹣M的余弦值．
（Ⅱ）解法二：过点M做AE的平行线，交EC于G点，则MG⊥平面CFD．
因为M是线段AC的中点，所以．
过点G作直线GH⊥DF，垂足为H，连接HM，则MH⊥DF．
所以∠GHM就是二面角C﹣DF﹣M的平面角．
在△DFM中，可求得DF＝2，，，由面积法可求得，
∴，．
所以二面角C﹣DF﹣M的余弦值．

（Ⅲ）解：设，则，
∴，
∵EP∥平面MDF，∴，
∴，
解得，
即．
21．（15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2，直线l：y＝kx+2交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，点P为直线l1，l2的交点．
（ⅰ）求证：点P在一条定直线上；
（ⅱ）求△PAB面积的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：由抛物线的焦点到准线的距离为2，可得p＝2，
则抛物线C的标准方程为x2＝4y；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：联立方程组，消去y得，x2﹣4kx﹣8＝0，
∵A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，
由x2＝4y得，，∴切线PA方程为，
切线PB方程为，
联立直线PA、PB方程可解得，．
∴点P的坐标为（2k，﹣2）．
故点P在定直线y＝﹣2上；
（ⅱ）解：点P到直线AB的距离为．
∴，
△PAB的面积为，
∴当k＝0时，S△PAB有最小值．
则△PAB面积的取值范围是[8，+∞）．
22．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣a（lnx+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）a＝e时，求证f（x）≥0恒成立；
（Ⅲ）存在x0＞1，使得x∈（1，x0）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ex﹣a（lnx+1）（a∈R），得
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则恒成立，
∴a≤xex（x＞0），显然当x＞0时，xex＞0，∴a≤0．
综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．
（Ⅱ）当a＝e时，，
∵函数F（x）＝xex﹣e（x≥0）在[0，+∞）上递增，且F（1）＝0，
当x∈（0，1）时，F（x）＜0，∴，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，F（x）＞0，∴，f（x）单调递增，
∴f（x）的最小值为f（x）min＝f（1）＝0，∴f（x）≥0恒成立．
（Ⅲ）①当a＝e时，由（2）可知不符合题意；
②当a＜e时，，
∵F（x）＝xex﹣a（x≥0）在[0，+∞）上递增，且F（1）＝e﹣a＞0，
当x∈（1，+∞）时，F（x）＞F（1）＞0，
∴，f（x）单调递增，
∴f（x）＞f（1）＝e﹣a＞0，舍去．
③当a＞e时，F（1）＝e﹣a＜0，F（a）＝a（ea﹣1）＞0，F（x）＝xex﹣e（x≥0）在[0，+∞）上递增．
∴存在x0＞1，使得，即．
当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（x0）＝0，∴，f（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，F（x）＞F（x0）＝0，∴，f（x）单调递增．
∴f（x）的最小值为，
又f（1）＝e﹣a＜0，且f（x）在（1，x0）上单调递减，
∴x∈（1，x0）时，f（x）＜0恒成立，
综上，a的取值范围是（e，+∞）．
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日期：2022/1/5 13:06:18；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983