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四川省攀枝花市米易县2021-2022学年九年级上学期期末数学模拟试卷（1）（word版 含答案）
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这是一份四川省攀枝花市米易县2021-2022学年九年级上学期期末数学模拟试卷（1）（word版 含答案），共21页。
2021-2022学年四川省攀枝花市米易县九年级（上）期末数学模拟试卷（1）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
4．（3分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
5．（3分）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
6．（3分）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB＝（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
9．（3分）如图，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE是以点O为位似中心的位似图形，位似比为k＝1：3，∠ACB＝90°，BC＝4，则点D的坐标是（ ）
A．（18，12） B．（16，12） C．（12，18） D．（12，16）
10．（3分）如图，△ABC三边AB、AC、BC的中点分别D、E、F，连接得四边形DEFB，它的面积记作为S1，取△EFC三边中点D1、E1、F1，连接得四边形D1E1F1F，它的面积记作S2，取△E1F1C三边的中点，D2、E2、F2，连接得四边形D2E2F2F1，它的面积记作S3，…，按规律依次作图，若△ABC的面积为1，则四边形D5E5F5F4的面积S6为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知关于x的方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2＝ ．
12．（4分）疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 ．
13．（4分）小王连抛一枚质地均匀的硬币3次都是正面向上，他第4次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若＝，AE＝4，则EC等于 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为 ．
16．（4分）在一个不透明的袋中装材质、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有 个．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：
（1）．
（2）．
18．（6分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．
19．（6分）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
20．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]
21．（8分）某校为了解九年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生400人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
23．（12分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 ；位置关系是 ；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．
（1）求证：EB2＝EG•EA；
（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC．求证：BE＝CE．
2021-2022学年四川省攀枝花市米易县九年级（上）期末数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1
【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1，且x≠1，
故选：D．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝3不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝|x|，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【解答】解：把x＝1代入方程得：1+k+4＝0，
解得：k＝﹣5，
故选：B．
4．（3分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
【解答】解：∵AC：BC＝3：1，
∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，
则AB：BC＝2：1．
故选：A．
5．（3分）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴＝，
解得：AE＝5．
故选：B．
6．（3分）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
因为sinA＝，即＝，
不妨设a＝3k，则c＝5k，由勾股定理得，
b＝＝4k，
所以tanB＝＝，
故选：A．
7．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
【解答】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
9．（3分）如图，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE是以点O为位似中心的位似图形，位似比为k＝1：3，∠ACB＝90°，BC＝4，则点D的坐标是（ ）
A．（18，12） B．（16，12） C．（12，18） D．（12，16）
【解答】解：由题意可得：△OBC∽△ODE，
则＝＝，
∵BC＝4，
∴ED＝12，
∵等腰Rt△CDE，
∴CE＝DE＝12，
∴＝，
解得：CO＝6，
故EO＝18，
∴点D的坐标是（18，12）．
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC三边AB、AC、BC的中点分别D、E、F，连接得四边形DEFB，它的面积记作为S1，取△EFC三边中点D1、E1、F1，连接得四边形D1E1F1F，它的面积记作S2，取△E1F1C三边的中点，D2、E2、F2，连接得四边形D2E2F2F1，它的面积记作S3，…，按规律依次作图，若△ABC的面积为1，则四边形D5E5F5F4的面积S6为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设△ABC的高为h，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴BF＝BC，
∴S1＝CB×h＝；
同理可得，S2＝＝；
…
∴Sn＝；
∴S6＝．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知关于x的方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2＝ 1 ．
【解答】解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2＝1，
故答案为1．
12．（4分）疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 30% ．
【解答】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1+x）2＝338，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故答案为：30%．
13．（4分）小王连抛一枚质地均匀的硬币3次都是正面向上，他第4次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是 ．
【解答】解：∵一枚质地均匀的硬币有正反两面，
∴他第4次抛这枚硬币时，正面向上的概率是，
故答案为：．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若＝，AE＝4，则EC等于 2 ．
【解答】解：∵DE∥BC，＝，
∴AE：AC＝AD：AB＝2：3，
∴AE：EC＝2：1．
∵AE＝4，
∴CE＝2，
故答案为：2．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为 （3，2） ．
【解答】解：∵△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），
∴点A的坐标为（﹣1×（﹣3），﹣×（﹣2）），即点A的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
16．（4分）在一个不透明的袋中装材质、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有 9 个．
【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，口袋中有3个白球，
∵假设有x个红球，
∴＝0.75，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解，
∴口袋中红球约有9个．
故答案为：9．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）原式＝3﹣5+
＝﹣；
（2）原式＝3﹣5+3﹣﹣2
＝﹣2．
18．（6分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
∴k﹣1≠0，Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，
∴k≥﹣3且k≠1．
（2）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．
∵（x1+1）（x2+1）＝4，
∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4，
整理，得：k﹣1＝1，
解得：k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，
∴k＝2．
19．（6分）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
【解答】证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
20．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]
【解答】解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∴CE＝BC＝80m．
在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴．
∴CF≈133.3．
∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．
答：河宽EF的长约为53m．
21．（8分）某校为了解九年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生400人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%＝50人，
∴样本容量为50人．
F组人数为：50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%）
＝50×（1﹣90%）
＝50×10%，
＝5（人），
C组人数为：50×30%＝15（人），
E组人数为：50×8%＝4人
补全的直方图如图；
（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：400×（8%+10%）＝72（人）；
（3）∵A组发言的学生为：50×6%＝3人，有1位女生，
∴A组发言的有2位男生，
∵E组发言的学生：4人，
∴有2位女生，2位男生．
∴由题意可画树状图为：
∴共有12种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种，
∴所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0的解为x＝1或x＝，
∵方程的根都为正整数，
∴为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
23．（12分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 DG＝BE ；位置关系是 DG⊥BE ；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．
【解答】解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，
∵△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB+∠ABE＝90°，
∴∠AQB+∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；
（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：
如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，
∴DG＝2BE，
∵∠AKB+∠ABE＝90°，
∴∠AKB+∠ADG＝90°，
∵∠AKB＝∠DKH，
∴∠DKH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
设EG与AD的交点为M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得：EG＝＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，
由（2）知，△ABE∽△ADG，
∴＝＝，
即＝，
∴DG＝4．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．
（1）求证：EB2＝EG•EA；
（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC．求证：BE＝CE．
【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，
∴∠BGE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BGE＝∠ABE，
∵∠BEG＝∠AEB，
∴△ABE∽△BGE，
∴，即EB2＝EG•EA；
（2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝CD
∴∠DBC＝∠DCB
∵∠CGE＝∠GEC
∴∠CGE＝∠DCB
∵∠GEC＝∠GEC
∴△GEC∽△CEA
∴
∴EC2＝GE•EA
由（1）知EB2＝EG•EA
∴EC2＝EB2，
∴BE＝CE．
2021-2022学年四川省攀枝花市米易县九年级（上）期末数学模拟试卷（1）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
4．（3分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
5．（3分）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
6．（3分）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB＝（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
9．（3分）如图，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE是以点O为位似中心的位似图形，位似比为k＝1：3，∠ACB＝90°，BC＝4，则点D的坐标是（ ）
A．（18，12） B．（16，12） C．（12，18） D．（12，16）
10．（3分）如图，△ABC三边AB、AC、BC的中点分别D、E、F，连接得四边形DEFB，它的面积记作为S1，取△EFC三边中点D1、E1、F1，连接得四边形D1E1F1F，它的面积记作S2，取△E1F1C三边的中点，D2、E2、F2，连接得四边形D2E2F2F1，它的面积记作S3，…，按规律依次作图，若△ABC的面积为1，则四边形D5E5F5F4的面积S6为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知关于x的方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2＝ ．
12．（4分）疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 ．
13．（4分）小王连抛一枚质地均匀的硬币3次都是正面向上，他第4次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若＝，AE＝4，则EC等于 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为 ．
16．（4分）在一个不透明的袋中装材质、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有 个．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：
（1）．
（2）．
18．（6分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．
19．（6分）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
20．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]
21．（8分）某校为了解九年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生400人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
23．（12分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 ；位置关系是 ；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．
（1）求证：EB2＝EG•EA；
（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC．求证：BE＝CE．
2021-2022学年四川省攀枝花市米易县九年级（上）期末数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1
【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1，且x≠1，
故选：D．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝3不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝|x|，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【解答】解：把x＝1代入方程得：1+k+4＝0，
解得：k＝﹣5，
故选：B．
4．（3分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
【解答】解：∵AC：BC＝3：1，
∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，
则AB：BC＝2：1．
故选：A．
5．（3分）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴＝，
解得：AE＝5．
故选：B．
6．（3分）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
因为sinA＝，即＝，
不妨设a＝3k，则c＝5k，由勾股定理得，
b＝＝4k，
所以tanB＝＝，
故选：A．
7．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
【解答】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
9．（3分）如图，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE是以点O为位似中心的位似图形，位似比为k＝1：3，∠ACB＝90°，BC＝4，则点D的坐标是（ ）
A．（18，12） B．（16，12） C．（12，18） D．（12，16）
【解答】解：由题意可得：△OBC∽△ODE，
则＝＝，
∵BC＝4，
∴ED＝12，
∵等腰Rt△CDE，
∴CE＝DE＝12，
∴＝，
解得：CO＝6，
故EO＝18，
∴点D的坐标是（18，12）．
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC三边AB、AC、BC的中点分别D、E、F，连接得四边形DEFB，它的面积记作为S1，取△EFC三边中点D1、E1、F1，连接得四边形D1E1F1F，它的面积记作S2，取△E1F1C三边的中点，D2、E2、F2，连接得四边形D2E2F2F1，它的面积记作S3，…，按规律依次作图，若△ABC的面积为1，则四边形D5E5F5F4的面积S6为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设△ABC的高为h，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴BF＝BC，
∴S1＝CB×h＝；
同理可得，S2＝＝；
…
∴Sn＝；
∴S6＝．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知关于x的方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2＝ 1 ．
【解答】解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2＝1，
故答案为1．
12．（4分）疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 30% ．
【解答】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1+x）2＝338，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故答案为：30%．
13．（4分）小王连抛一枚质地均匀的硬币3次都是正面向上，他第4次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是 ．
【解答】解：∵一枚质地均匀的硬币有正反两面，
∴他第4次抛这枚硬币时，正面向上的概率是，
故答案为：．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若＝，AE＝4，则EC等于 2 ．
【解答】解：∵DE∥BC，＝，
∴AE：AC＝AD：AB＝2：3，
∴AE：EC＝2：1．
∵AE＝4，
∴CE＝2，
故答案为：2．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为 （3，2） ．
【解答】解：∵△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），
∴点A的坐标为（﹣1×（﹣3），﹣×（﹣2）），即点A的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
16．（4分）在一个不透明的袋中装材质、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有 9 个．
【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，口袋中有3个白球，
∵假设有x个红球，
∴＝0.75，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解，
∴口袋中红球约有9个．
故答案为：9．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）原式＝3﹣5+
＝﹣；
（2）原式＝3﹣5+3﹣﹣2
＝﹣2．
18．（6分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
∴k﹣1≠0，Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，
∴k≥﹣3且k≠1．
（2）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．
∵（x1+1）（x2+1）＝4，
∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4，
整理，得：k﹣1＝1，
解得：k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，
∴k＝2．
19．（6分）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
【解答】证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
20．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]
【解答】解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∴CE＝BC＝80m．
在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴．
∴CF≈133.3．
∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．
答：河宽EF的长约为53m．
21．（8分）某校为了解九年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生400人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%＝50人，
∴样本容量为50人．
F组人数为：50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%）
＝50×（1﹣90%）
＝50×10%，
＝5（人），
C组人数为：50×30%＝15（人），
E组人数为：50×8%＝4人
补全的直方图如图；
（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：400×（8%+10%）＝72（人）；
（3）∵A组发言的学生为：50×6%＝3人，有1位女生，
∴A组发言的有2位男生，
∵E组发言的学生：4人，
∴有2位女生，2位男生．
∴由题意可画树状图为：
∴共有12种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种，
∴所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0的解为x＝1或x＝，
∵方程的根都为正整数，
∴为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
23．（12分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 DG＝BE ；位置关系是 DG⊥BE ；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．
【解答】解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，
∵△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB+∠ABE＝90°，
∴∠AQB+∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；
（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：
如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，
∴DG＝2BE，
∵∠AKB+∠ABE＝90°，
∴∠AKB+∠ADG＝90°，
∵∠AKB＝∠DKH，
∴∠DKH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
设EG与AD的交点为M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得：EG＝＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，
由（2）知，△ABE∽△ADG，
∴＝＝，
即＝，
∴DG＝4．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．
（1）求证：EB2＝EG•EA；
（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC．求证：BE＝CE．
【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，
∴∠BGE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BGE＝∠ABE，
∵∠BEG＝∠AEB，
∴△ABE∽△BGE，
∴，即EB2＝EG•EA；
（2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝CD
∴∠DBC＝∠DCB
∵∠CGE＝∠GEC
∴∠CGE＝∠DCB
∵∠GEC＝∠GEC
∴△GEC∽△CEA
∴
∴EC2＝GE•EA
由（1）知EB2＝EG•EA
∴EC2＝EB2，
∴BE＝CE．
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