湖北省随州市曾都区2020-2021学年九年级上册期末数学试卷（word版 含答案）

2020-2021学年湖北省随州市曾都区九年级（上）期末数学试卷

1. 若方程是关于x的一元二次方程，则

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 点关于原点的对称点的坐标是

A.  B.  C.  D.

3. 在中，，，那么的值是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将绕点C顺时针旋转得到若点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是
   
    

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法错误的是

A. 概率很小的事件不可能发生
B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C. 必然事件发生的概率是1
D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求

6. 如图，的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，，，CD的长为
    

A.  B. 2 C.  D. 4

7. 下列关于投影与视图的说法正确的是

A. 平行投影中的光线是聚成一点的
B. 线段的正投影还是线段
C. 三视图都是大小相同的圆的几何体是球
D. 正三棱柱的俯视图是正三角形

8. 飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行的时间单位：的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来

A. 10s B. 20s C. 30s D. 40s

9. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间不包含这两点，抛物线的顶点为D，对称轴是直线有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 抛物线的顶点坐标是______.
12. 设，是一元二次方程的两个实数根，则实数的值为______.
13. 如图，在与中，，点E在AB上，若只添加一个条件便能判定∽，则添加的条件是______.
    
    
     

14. 如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上画出一个圆心角为的扇形，若随机在圆及其内部投针，则针孔扎在扇形阴影部分的概率为______.
    
    
     

15. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B在第二象限，，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转得到线段OD，连接AD，反比例函数的图象经过D，B两点，则k的值为______.

16. 如图，在中，，点D是边BC上一动点不与B，C重合，，DE交AC于点E，且下列结论正确的是______填所有正确结论的序号
    ①∽；②的面积为48；③当时，≌；④当为直角三角形时，BD的长为8或
17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
    求m的取值范围；
    当时，求方程的解．
    
    
    
    
    
    
     
18. 电视台为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招募青少年歌手．甲、乙、丙、丁报名参加了应聘活动，其中甲、乙为男歌手，丙、丁为女歌手．现对这四名歌手采取随机抽取的方式进行线上面试．
    若随机抽取一名歌手，求恰好抽到丁的概率；
    若随机抽取两名歌手，请用列表或画树状图表示所有可能的结果，并求出恰好抽到一男一女的概率．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点．
    求反比例函数的解析式；
    求不等式的解集．
    
    
     

20. 桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为，向立柱方向走40米到达观测点B处，测得同一根立柱顶端M的仰角为已知点A，B，C，M，N在同一平面内，桥面与水面平行，且MN垂直于桥面．
    求大桥立柱在桥面以上的高度结果保留根号；
    求大桥立柱在水面以上的高度结果精确到1米
    参考数据：，，，

21. 如图，已知的直径，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形．过A点作直线，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点，
    求证：EF是的切线；
    求EF的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某商家采取线上和线下两种方式销售某款商品，规定无论是线上还是线下每件售价不低于进价，且线上售价始终比线下每件便宜2元．已知该款商品进价为10元/件，线上的月销售量固定为400件，线下的月销售量件与线下售价元/件满足关系式设该商品线上和线下月销售利润总和为元
    求W与x之间的函数关系式不要求写出自变量x的取值范围；
    若该商家每月想从这种商品销售中获得4800元的利润，又想尽量给客户实惠，该如何给这种商品进行线下定价？
    物价部门规定，该商品的每件利润不得高于进价的，如果商家每月要想从这种商品销售中获得最大利润，他应该把这种商品的线下售价定为多少？月最大销售利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”，把这个2倍角的平分线线段称为这个三角形的“伴线”．在倍角中，，的平分线就是它的“伴线”，用a，b，c分别表示，，的对边，现在我们探究a，b，c之间存在的数量关系．
    【特例探究】补全填空
    如图1，若，，易求得的值为1，bc的值为1；
    如图2，若，，易求得的值为______，bc的值为______.
    【猜想论证】
    根据猜想a，b，c之间存在怎样的数量关系？请从下列思路中选择一种证明你的猜想．
    思路一：如图3，延长BA至D，使，连接
    思路二：如图4，作的平分线交BC于点
    【素养提升】
    若在这个倍角中，已知，且它的三边长恰好是三个连续的正整数，请根据中的结论直接写出这个三角形的“伴线”长．
     

24. 如图，抛物线经过，两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为
    直接写出抛物线的解析式；
    将线段AB绕点B顺时针旋转得线段点D是点A的对应点，求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；
    过点P作轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：方程是关于x的一元二次方程，
，，
解得，，，
故选：
根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：点关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标为
故选：
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查关于原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：在中，，
，
，
，
故选：
根据特殊锐角三角函数值求出，再求出的值即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确计算的前提．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】
解：将绕点C顺时针旋转得到
，，，
，
点A，D，E在同一条直线上，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
故选：  

5.【答案】A
 

【解析】解：概率很小的事件发生的可能性小，但不是不可能发生，此选项错误；
B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项正确；
C.必然事件发生的概率是1，此选项正确；
D.投一枚图钉，由于不是等可能情形下的概率计算，所以“钉尖朝上”的概率不能用列举法求，此选项正确；
故选：
根据概率的意义、利用频率估计该旅馆、必然事件的概率及等可能事件概率的计算逐一判断即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：直径AB垂直于弦CD，
，
，
，
，
设，
，
，
解得：，
即：，
，
故选
利用垂径定理得，再利用用圆周角定理，易得，利用勾股定理可得CE，得
本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，利用方程思想和勾股定理是解答此题的关键．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：平行投影中的光线是平行的，因此选项A不符合题意；
B.线段的正投影可能是线段，有可能是点，因此选项B不符合题意；
C.球的三视图是大小相同的圆，因此选项C符合题意；
D.如果正三棱柱是横着放置的，其俯视图是长方形的，因此选项D不符合题意；
故选：
根据平行投影和视图的关系进行判断即可．
本题考查视图与投影的关系，掌握平行投影的性质和投影的意义是正确判断的前提．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：，
函数有最大值，
当秒，
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：
根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：四边形CDEF是正方形，
，，
设，则，，
，
，，
∽，
，
，
，
正方形CDEF的边长为
故选：
根据正方形的性质得：，则∽，列比例式可得结论．
此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：图象的开口向下，
，
图象与y轴的交点为，
，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
①符合题意，
抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对称点为，
当时，y随着x的增大而增大，
又，
，
②符合题意，
由题意得：，
当时，较小的一个根为，
，
解得，
③不合题意，
当时，抛物线的解析式为，
，
取，得，
解得，，
，，
，
是等边三角形，
④符合题意，
符合题意的有①②④，
故选：
根据二次函数的图象和性质即可作出判断．
本题主要二次函数的图形和性质，关键是要牢记二次函数解析中的系数对图象的影响，二次项系数影响图象的开口方向，a、b影响图象的对称轴，c影响图象与y轴的交点．
 

11.【答案】
 

【解析】解：抛物线，
顶点坐标为
故答案为：
根据二次函数的顶点式，直接得出二次函数的顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若则其解析式为，顶点坐标为
 

12.【答案】
 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，

故答案为：
先根据一元二次方程根与系数的关系确定出与的两根之积与两根之和的值，再代入变形后的代数式即可解答．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，
 

13.【答案】答案不唯一，如或或等
 

【解析】解：在和中，
，
故只需要增加一组角对应相等即可，
可添加，
此时∽，
也可添加，或或都可以，
故答案为：答案不唯一，如或或等．
根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，或添加和的两边对应成比例，或添加
本题主要考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接AC，

从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形，即，
为直径，即，扇形的半径相等，
，
，
，
的面积，
则：，
故答案为：
连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，求出扇形ABC的面积和面积，两者的面积比，即是针孔扎在扇形阴影部分的概率．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

15.【答案】
 

【解析】解：过点D作于点E，

，
设，
，
由旋转性质知、，
则，，
即，
反比例函数的图象经过D点，B两点，
，
解得：，
，
故答案为：
作于点E，设，则，由旋转性质知、，据此求得，，即，代入解析式解之可得．
本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点D的坐标．
 

16.【答案】①②④
 

【解析】，
，
又，
，
，
∽，
①符合题意，
过点A作于点Q，

，，
是BC的中点，
，
在中，，
，
，，
，
②符合题意，
，，
，
，
，
当时，有，
，
，
与不全等，
③不合题意，
当时，为直角三角形，
，
∽，
，
，
，
当时，为直角三角形，
在中，，
，
，
，
或，
④符合题意，
故答案为①②④．
利用相似三角形的性质和可判断①，利用AB的长度及的值即可判断②，根据特殊直角三角形的性质可判断③，根据勾股定理可判断④．
本题主要考查三角形的相似，全等和直角三角形的性质，关键是要牢记相似三角形判定的定理，两个对应角相等时，即可判定两个三角形相似，此判定定理最爱出现，一定要牢记，勾股定理在考三角形时也经常出现．
 

17.【答案】解：由题意可得，，
方程有两个不相等的实数根，

解得；
当时，原方程为，
，
解得，
 

【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，从而可以求得m的取值范围；
利用配方法求解即可．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．
 

18.【答案】解：随机抽取一名歌手，恰好抽到丁的概率为；
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，
恰好抽到一男一女的概率为
 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，再由概率公式求解即可．
本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：点在直线上，
，
即点A的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点，
，
观察图象可知，不等式的解集为或
 

【解析】根据点在上，可以求得点A的坐标，再根据待定系数法即可求得k的值；
由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，然后根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：，，
，
米，
在中，米，
答：大桥立柱在桥面以上的高度MC为米；
在中，米，
米，
在中，米，
米，
答：大桥立柱在水面以上的高度MN为51米．
 

【解析】根据正弦的定义求出MC；
根据正切的定义求出MN，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】证明：为的直径，
，
，
四边形OABC是平行四边形，
，
，
，
，
是的切线；
解：连接OB，

四边形OABC是平行四边形，
，而，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
在中，
 

【解析】利用圆周角定理得到，再利用平行四边形的性质得，所以，加上，所以，于是根据切线的判定定理可得到EF是的切线；
连接OB，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质和解直角三角形．
 

22.【答案】解：根据题意得，，
整理得：W与x之间的函数关系式为：；
根据题意得，，
解得：，，
想尽量给客户实惠，
，
答：这种商品线下定价为14元；
根据题意得，，
，
由知，，
，
在内，y随x的增大而增大，
时，W的最大值元，
商家每月要想从这种商品销售中获得最大利润，他应该把这种商品的线下售价定为16元/件，月最大销售利润是6400元．
 

【解析】根据销售利润=月销售量单件的利润即可得到W与x之间的函数关系式；
根据“这种商品销售中获得4800元的利润”列方程即可得到结论；
根据题意列不等式组求得，再根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】2 2
 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
故答案为2，2；
，
思路一：如图3，延长BA至点D，使，连接CD，
，
，
，
，
，∽，
，
，
，
；
思路二：如图4，作的平分线交BC于点
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
，a，b，c是三个连续的正整数，
设，，
，
，
或不合题意舍去，
，，
由可知，
，

可求，由直角三角形的性质可求a，c的值，即可求解；
思路一：通过证明∽，可得，即可求解；
思路二：通过证明∽，可得，即可求解；
利用方程组求出a，b，c的值，利用的结论可求BD的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，理解“倍角三角形”的定义是本题的关键．
 

24.【答案】解：把点，代入解析式，
得，
解得，
；
如图，作轴于点C，作轴于点H，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
把代入中，
得，
点D不在抛物线上；
存在点P，
，，
直线BD的解析式为，
设，则，
由知：，
当是等腰三角形，且为底角时，
有或，
若，则P与A重合，即，
若，则轴，即P的纵坐标为，
，
解得舍或，
，
若为顶角，
即，
，，
，
解得舍或，
的值为，，
 

【解析】根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
作辅助线构造一线三垂直模型，在证明三角形全等即可求出点D的坐标，把点D的坐标代入解析式即可判断点D是否在抛物线上；
先写出点P，M，B的坐标，由得出，分是顶角和底角两种情况讨论即可．
本题主要考查二次函数的综合应用，关键是能根据待定系数法求出二次函数的解析式，和作辅助线构造一线三垂直模型，一般出现等腰三角形时，可从角和边两个角度去考虑．