吉林省长春市宽城区2021-2022学年九年级上册期末数学试卷（word版 含答案）

2021-2022学年吉林省长春市宽城区九年级（上）期末数学试卷

1. 如图，点A是数轴上一点，则点A表示的数可能为

A.  B.  C.  D.

2. 第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图是一个小正方体的表面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“党”字一面的相对面上的字是
    

A. 喜 B. 迎 C. 百 D. 年

4. 如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为

A.  B.
C.  D.

5. 图①是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形若，，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在圆内接五边形ABCDE中，，则的度数为
   
    

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是
    

A.  B.  C.  D.

8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示实线部分若直线与新函数的图象有3个公共点，则b的值是

A. 0 B.  C.  D.

9. 分解因式：______.
10. 不等式组的解集为______.
11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______.
12. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径尺，立木高尺，寸尺，则井深AC为______尺．
    
     

13. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别以点A、C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB、CD于点E、若，，则图中阴影部分的面积为______结果保留

14. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、，点C是线段AB的中点，将线段AC绕点C顺时针旋转得到CD，过A、B、D三点作抛物线．当时，抛物线上最高点的纵坐标为______.
15. 解方程：
    
    
    
    
    
    
     
16. 如图，甲、乙两个完全相同的转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘，当转盘停止后，记下甲、乙两个转盘中指针所指的数字．请用画树状图或列表的方法，求这两个数字之和为偶数的概率．

17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
    在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使
    在图②中的线段AB上找一点E，连结CE，使
     

18. 某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校600名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩满分100分，每名学生的成绩记为x分，分成四组：A组；B组；C组；D组，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
    求n的值．
    补全频数分布直方图．
    若规定学生竞赛成绩为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
     

19. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为，若在此处建桥，求河宽EF的长．结果精确到
    [参考数据：，，

20. 如图，在中，以BC为直径的交AB于点D，点E是AC上一点，连结CD、DE，
    判断DE所在直线与的位置关系，并说明理由．
    若，的半径为6，求的长．结果保留
    
     

21. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量件与每件售价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利元
    求y与x之间的函数关系式．
    求w与x之间的函数关系式．
    该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

22. 【问题原型】如图①，在中，弦BC所对的圆心角，点A在优弧BC上运动点A不与点B、C重合，连结AB、
    在点A运动过程中，的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
    若，求弦AC的最大值．
    【问题拓展】如图②，在中，，若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为______.
     

23. 如图，在中，，，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点A停止．当点P不与的顶点重合时，过点P作其所在边的垂线，交的另一边于点设点P的运动时间为t秒．
    边AC的长为______.
    当点P在的直角边上运动时，求点P到边AB的距离．用含t的代数式表示
    当点Q在的直角边上时，若，求t的值．
    当的一个顶点到的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出t的值．

24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，抛物线上不重合的两点A、B的横坐标分别为，
    求这条抛物线的顶点C的坐标．
    若A、B两点的纵坐标相等，求n的值．
    当点A在对称轴左侧时，将抛物线上A、B两点之间含A、B两点的图象记为L，设图象L的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与n之间的函数关系式，并直接写出d随n的增大而减小时n的取值范围．
    当点A在点B的左侧时，过A、B两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点M、点M、N不与顶点C重合若点M、N、C中其中一点到另两点距离相等，直接写出n的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：根据图示可得点A表示的数在和之间，四个选项中只能是，
故选：
利用有理数与数轴的关系可得答案．
本题考查数轴的概念，根据数轴得到点A的范围是解题关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：，
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“党”与“迎”是对面，
故选：
根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，
依题意得：
故选：
若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，根据使种植面积为600平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：，
在中，，
，
在中，
故选：
在中，，可得OB的长度，在中，，代入即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：五边形ABCDE的内角和为，
，
，
，
四边形ABCD为的内接四边形，
，

故选：
先利用多边的内角和得到，则可计算出，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．
 

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，利用对应边的比等于相似比列出方程是解题的关键．
设点的横坐标为x，然后表示出BC、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．
【解答】
解：设点的横坐标为x，
则B、C间的横坐标的长度为，、C间的横坐标的长度为，
放大到原来的2倍得到，
，
解得：，
故选：  

8.【答案】C
 

【解析】解：原二次函数，
顶点，
翻折后点C对应的点为，
当直线与新函数的图象有3个公共点，直线过点D，
此时

故选：
由图可知，当与新函数有3个交点时，过新函数的顶点D，求出点D的坐标，其纵坐标即为所求．
此题主要考查了翻折的性质，抛物线的性质，确定翻折后的顶点坐标；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
 

9.【答案】
 

【解析】解：原式
故答案为：
原式提取2变形后，利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：
故答案为：
由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

12.【答案】27
 

【解析】解：，
∽，
，
即，
解得，
故井深AC为27尺．
故答案为：
根据题意可知∽，根据相似三角形的性质可求AC，进一步得到井深．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是得到∽
 

13.【答案】
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，，
图中阴影部分的面积为：
故答案为：
由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和．
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】
 

【解析】解：、B两点的坐标分别为、，点C是线段AB的中点，
轴，，
，
将线段AC绕点C顺时针旋转得到CD，
，轴，
顶点D为，
设抛物线的解析式为，
代入得，，
，
，
抛物线开口向下，
当时，在时，函数有最大值为：，
当时，抛物线上最高点的纵坐标为
故答案为：
根据题意求得顶点坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，根据图象上点的坐标特征即可求得抛物线上最高点的纵坐标．
本题考查的是二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，根据题意得到顶点坐标是解题的关键．
 

15.【答案】解：，

所以，
 

【解析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
本题考查了解一元二次方程-公式法：把叫做一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
 

16.【答案】解：画树状图如下：

由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字之和是偶数的有4种结果，
两个数字之和是偶数
 

【解析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
 

17.【答案】解：如图①中，点D即为所求；
如图②中，点E即为所求．

 

【解析】利用网格特征取AB的中点D，连接CD即可；
取格点T，连接CT交AB于点E，点E即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质，平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：；
组学生有：人，
补全的频数分布直方图如图所示；

人，
答：估算全校成绩达到优秀的有180人．
 

【解析】根据B组的频数和所占的百分比，可以求得n的值；
根据中n的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出D组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
根据直方图中的数据，可以计算出全校成绩达到优秀的人数．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：在中，，，
，
，

在中，，，，



答：河宽EF的长约为
 

【解析】根据等腰三角形的性质可得在中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度．
此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
 

20.【答案】解：所在直线与相切．
理由如下：
如图，连结
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
点D在上，
所在直线与相切；
，
，
，
的长为
 

【解析】如图，连结根据圆周角定理得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据圆周角定理得到，求得，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，弧长的计算，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：设y与x之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为；
，

，
即w与x之间的函数关系式为；

，
，，
当时，w取得最大值，

答：当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元．
 

【解析】利用待定系数法求解即可；
根据“每件利润销售量=总利润”即可列出w与x之间的函数关系式；
根据与x之间的函数关系式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式是解决问题的关键．
 

22.【答案】
 

【解析】解：【问题原型】的度数不发生变化，理由如下：
，，
；
当AC为的直径时，AC最大，
在中，，
根据勾股定理，得，
，
，
，
即AC的最大值为；
【问题拓展】如图，画的外接圆，连接OB，OC，ON，

则，，，
，
、N分别是AB、BC的中点，
是的中位线，
，
为直径时，AC最大，此时，
最大值为，
故答案为：
根据圆周角定理可知；
当AC为的直径时，AC最大，由是等腰直角三角形，求出OC的长，可知直径AC的长；
【问题拓展】画的外接圆，连接OB，OC，ON，首先利用三角函数求出，可知AC为直径时，AC最大，此时，再根据三角形中位线定理即可解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，明确直径是圆中最大的弦是解题的关键．
 

23.【答案】4
 

【解析】解：，，，
，
故答案为：4；
设点P到边AB的距离为
①当点P在AC边上运动时，过P作于H，如图1所示：

，，
；
②当点P在BC边上运动时，过P作于H，如图2所示：

，，
；
综上所述，点P到边AB的距离为或；
，，
①当点Q在AC边上时，，如图3所示：

则，
即，
解得：
②当点Q在BC边上时，，如图4所示：

则，则，
解得：；
综上所述，若，t的值为5或；
分情况讨论：
①P在AC上，P到AB的距离到BC的距离，
过P作于M，如图5所示：

则，
由得：，
，
，
解得：；
②P在BC上，P到AB的距离到AC的距离，
过P作于M，如图6所示：

则，
由得：，
，
，
解得：；
③P在AB上，Q到AB的距离到AC的距离，如图7所示：

则，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
④P在AB上，Q到AB的距离到BC的距离，如图8所示：

则，
，
，
又，
∽，
，
即，
解得：，，
，
，
解得：；
综上所述，当的一个顶点到的斜边和一条直角边的距离相等时，t的值为或或4或
由勾股定理即可得出AC的长；
设点P到边AB的距离为分两种情况，①当点P在AC边上运动时，②当点P在BC边上运动时，由锐角三角函数定义分别求解即可；
分两种情况，①当点Q在AC边上时，②当点Q在BC边上时，由锐角三角函数定义分别表示出PQ，列出方程，求解即可；
分情况讨论：①P在AC上，P到AB的距离到BC的距离，②P在BC上，P到AB的距离到AC的距离，③P在AB上，Q到AB的距离到AC的距离，④P在AB上，Q到AB的距离到BC的距离，分别求出t的值即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：，
抛物线顶点C的坐标为；
抛物线的对称轴为直线，

；
点A、B的坐标分别为、
当时，
当时，
当时，
当时，d随n的增大而减小．
点A、B的坐标分别为、，
点，，
①当点N是MC中点时，有，
整理，得：，
解得或，
点A在点B的左侧，
，即，
；
②当点M是NC中点时，有，
整理，得：，
解得；
综上，n的值为或或
 

【解析】配方成顶点式即可得出答案；
由A、B两点的纵坐标相等知点A、B关于对称轴对称，据此求解可得；
先得出A、B的坐标分别为、，再分，、三种情况分别求解；
由点A、B的坐标分别为、知点，，再分点N是MC中点和点M是NC中点两种情况求解即可．
本题是二次函数综合问题，考查了二次函数的最值，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识是解题的关键．