还剩23页未读，
继续阅读
湖北省仙桃市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 （word版 含答案）
展开
这是一份湖北省仙桃市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 （word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省仙桃市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝3 C．x2+2x＝1 D．
2．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
5．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天一定下雨
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
6．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．反比例函数经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．点（﹣1，﹣2）在函数图象上
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当y≥4时，0＜x≤
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
10．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（ ）
A．（4039，﹣1） B．（4039，1） C．（2020，﹣1） D．（2020，1）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝ ．
12．如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
13．如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m．
14．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是 ．
15．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17．解方程：3x（2x+1）＝2x+1．
18．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
19．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
20．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
22．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．
（1）求证：DF为半圆O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，CF＝2，求半圆O的半径长．
24．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示．
（1）求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式；
（2）该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝3 C．x2+2x＝1 D．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A、是二元二次方程，故本选项不合题意；
B．是二元一次方程，故本选项不合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，故本选项不合题意；
故选：C．
2．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出袋子中总的球数，再用黄球的个数除以总的球数即可．
解：∵不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，共有9个球，
∴从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为＝；
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．
解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．
故选：B．
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天一定下雨
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【分析】根据随机事件的定义，对选项中的事件进行判断即可．
解：A．买奖券中奖是随机事件，
故A不正确；
B．汽车累积行驶10000km，从未出现故障，是随机事件，
故B不正确；
C．明天的降水概率为70%，是说明天降水的可能性是70%，是随机事件，
故C不正确；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，
故D正确；
故选：D．
6．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接OA、OB、OD，OC，求出＝＝，求出∠AOB＝∠AOD＝∠DOC，根据圆周角定理求出∠BOC，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出即可．
解：连接OA、OB、OD，OC，
∵∠BDC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝120°，
∵AB＝DC，
∴∠AOB＝∠DOC，
∵A为的中点，
∴＝，
∴∠AOB＝∠AOD，
∴∠AOB＝∠AOD＝∠DOC＝×（360°﹣∠BOC）＝80°，
∴∠ADB＝AOB＝40°，
故选：A．
8．反比例函数经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．点（﹣1，﹣2）在函数图象上
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当y≥4时，0＜x≤
【分析】利用待定系数法求得k的值，再利用反比例函数图象的性质对每个选项进行逐一判断即可．
解：∵反比例函数经过点（2，1），
∴k＝2．
∴﹣1×（﹣2）＝2，故A正确；
∵k＝2＞0，
∴双曲线y＝分布在第一、三象限，
故B选项正确；
∵当k＝2＞0时，反比例函数y＝在每一个象限内y随x的增大而减小，
当y≥4时，0＜x≤．
故C选项错误，D选项正确，
综上，说法错误的是C，
故选：C．
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（ ）
A．（4039，﹣1） B．（4039，1） C．（2020，﹣1） D．（2020，1）
【分析】根据等腰直角三角形的性质可找出点P1的坐标，结合旋转的性质即可找出点P2、P3、P4、P5、…、的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
解：∵A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，
∴P1（1，1）．
∵把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C1，
∴P2（3，﹣1）．
同理可得出：P3（5，1），P4（7，﹣1），P5（9，1），…，
∴P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）．
∵2020＝2×1009+2，4×1009+3＝4039，
∴P2020（4039，﹣1）．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝ 2或﹣1 ．
【分析】根据题目中的新定于，可以将1☆x＝0转化为一元二次方程，然后求解即可．
解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣2，1☆x＝0，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
12．如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．
解：如图所示：连接OA，
∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴S△ABC＝S△OBC，
∴S阴＝S扇形OBC，
则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为：．
13．如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m．
【分析】求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
解：如图，连接OA，OB，OC，
则OB＝OA＝OC＝1m，
因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
则扇形的弧长为：m，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr＝，
解得，r＝（m），
故答案为：．
14．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是 9 ．
【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，
解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
∴A（4，3），B（2，6），
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴S△AOD＝S△BOE＝×12＝6，
∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，
∴S△AOB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，
故答案为9．
15．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
16．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝ 70或120 ．
【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB＝DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，根据∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD可以判定∠CB2D＝30°，由此即可解决问题．
解：①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝55°，
∴m＝∠BDB1＝180﹣2×55＝70，
②当点B落在AC上时，
在RT△DCB2中，∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120，
故答案为70或120．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17．解方程：3x（2x+1）＝2x+1．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：移项得：3x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，
（2x+1）（3x﹣1）＝0，
2x+1＝0，3x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝．
18．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
【分析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F，利用圆周角定理和等腰三角形的性质可得到∠E＝∠ABC，则可判断EF∥BC；
（2）在（1）基础上分别延长BF、CE，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断∠DBC＝45°．
解：（1）如图1，EF为所作；
（2）如图2，∠DBC为所作．
19．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）∵共有A，B，C，D，4个小区，
∴甲组抽到A小区的概率是，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
20．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，
（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠CBE＝∠DAB，
∴BC∥AD．
（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；
（2）先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
解：（1）由题意可知，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
22．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
【分析】（1）根据点A（1，a）在y＝2x上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数y＝（k≠0）的图象与反比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），即可求得k的值；
（2）因为B是反比例函数y＝和正比例函数y＝2x的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐标．
解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，
∴a＝2×1＝2，
即点A的坐标为（1，2），
∵点A（1，2）是反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x图象的交点，
∴k＝1×2＝2，
即k的值是2；
（2）由题意得：＝2x，
解得：x＝1或﹣1，
经检验x＝1或﹣1是原方程的解，
∴B（﹣1，﹣2），
∵点A（1，2），
∴AB＝＝2，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC∥x轴，
∴AD＝AB＝2，
∴D（1+2，2）．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．
（1）求证：DF为半圆O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，CF＝2，求半圆O的半径长．
【分析】（1）连接OD，根据BF＝DF，得∠B＝∠BDF，证明∠BDF+∠ODA＝90°，得∠ODF＝90°，进而可得结论；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝8﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1，
∵BF＝DF，
∴∠B＝∠BDF，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF是半圆O的切线；
（2）解：连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝8，BC＝6，CF＝2，
∴OC＝8﹣r，DF＝BF＝6﹣2＝4，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+42＝（8﹣r）2+22，
∴r＝．
故圆的半径为．
24．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示．
（1）求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式；
（2）该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出方程，求出答案；
（3）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数关系式，利用二次函数对称性得出答案．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（9，110），（10，108）代入，得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+128（8≤x≤12）；
（2）根据题意得：（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318，
解得：x＝11或61（舍去），
∴x＝11．
即：超市将大蒜销售单价定为11元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）设每天的销售利润为W（元），则：
W＝（x﹣8）y
＝（x﹣8）（﹣2x+128）
＝﹣2（x﹣8）（x﹣64），
∵a＝﹣2＜0，
∴当即x＜36时，W随x的增大而增大，
∵8≤x≤12，
∴当x＝12时，W取得最大值，最大值为416．
答：当超市大蒜销售单价定为12元时，每天销售大蒜的利润最大，最大利润是416元．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出b，c即可．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），求出直线BC的解析式，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（2）结论：m+n的值为定值．由题意直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，因为MN∥CB，所以可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，利用根与系数的关系即可解决问题．
解：（1）①由题意，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），
∵B（6，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴，
∴Q（m，﹣2m+12），
∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．
（2）结论：m+n的值为定值．
理由：如图2中，
由题意B（6，0），C（0，﹣36﹣6b），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，
把（6，0）代入得到：k＝6+b，
∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，
∵MN∥CB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，
由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，
∴x1+x2＝6，
∵点M、N的横坐标为m、n，
∴m+n＝6．
∴m+n为定值，m+n＝6．
2020-2021学年湖北省仙桃市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝3 C．x2+2x＝1 D．
2．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
5．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天一定下雨
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
6．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．反比例函数经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．点（﹣1，﹣2）在函数图象上
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当y≥4时，0＜x≤
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
10．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（ ）
A．（4039，﹣1） B．（4039，1） C．（2020，﹣1） D．（2020，1）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝ ．
12．如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
13．如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m．
14．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是 ．
15．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17．解方程：3x（2x+1）＝2x+1．
18．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
19．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
20．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
22．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．
（1）求证：DF为半圆O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，CF＝2，求半圆O的半径长．
24．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示．
（1）求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式；
（2）该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝3 C．x2+2x＝1 D．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A、是二元二次方程，故本选项不合题意；
B．是二元一次方程，故本选项不合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，故本选项不合题意；
故选：C．
2．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出袋子中总的球数，再用黄球的个数除以总的球数即可．
解：∵不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，共有9个球，
∴从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为＝；
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．
解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．
故选：B．
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天一定下雨
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【分析】根据随机事件的定义，对选项中的事件进行判断即可．
解：A．买奖券中奖是随机事件，
故A不正确；
B．汽车累积行驶10000km，从未出现故障，是随机事件，
故B不正确；
C．明天的降水概率为70%，是说明天降水的可能性是70%，是随机事件，
故C不正确；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，
故D正确；
故选：D．
6．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接OA、OB、OD，OC，求出＝＝，求出∠AOB＝∠AOD＝∠DOC，根据圆周角定理求出∠BOC，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出即可．
解：连接OA、OB、OD，OC，
∵∠BDC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝120°，
∵AB＝DC，
∴∠AOB＝∠DOC，
∵A为的中点，
∴＝，
∴∠AOB＝∠AOD，
∴∠AOB＝∠AOD＝∠DOC＝×（360°﹣∠BOC）＝80°，
∴∠ADB＝AOB＝40°，
故选：A．
8．反比例函数经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．点（﹣1，﹣2）在函数图象上
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当y≥4时，0＜x≤
【分析】利用待定系数法求得k的值，再利用反比例函数图象的性质对每个选项进行逐一判断即可．
解：∵反比例函数经过点（2，1），
∴k＝2．
∴﹣1×（﹣2）＝2，故A正确；
∵k＝2＞0，
∴双曲线y＝分布在第一、三象限，
故B选项正确；
∵当k＝2＞0时，反比例函数y＝在每一个象限内y随x的增大而减小，
当y≥4时，0＜x≤．
故C选项错误，D选项正确，
综上，说法错误的是C，
故选：C．
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（ ）
A．（4039，﹣1） B．（4039，1） C．（2020，﹣1） D．（2020，1）
【分析】根据等腰直角三角形的性质可找出点P1的坐标，结合旋转的性质即可找出点P2、P3、P4、P5、…、的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
解：∵A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，
∴P1（1，1）．
∵把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C1，
∴P2（3，﹣1）．
同理可得出：P3（5，1），P4（7，﹣1），P5（9，1），…，
∴P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）．
∵2020＝2×1009+2，4×1009+3＝4039，
∴P2020（4039，﹣1）．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝ 2或﹣1 ．
【分析】根据题目中的新定于，可以将1☆x＝0转化为一元二次方程，然后求解即可．
解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣2，1☆x＝0，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
12．如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．
解：如图所示：连接OA，
∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴S△ABC＝S△OBC，
∴S阴＝S扇形OBC，
则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为：．
13．如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m．
【分析】求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
解：如图，连接OA，OB，OC，
则OB＝OA＝OC＝1m，
因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
则扇形的弧长为：m，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr＝，
解得，r＝（m），
故答案为：．
14．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是 9 ．
【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，
解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
∴A（4，3），B（2，6），
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴S△AOD＝S△BOE＝×12＝6，
∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，
∴S△AOB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，
故答案为9．
15．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
16．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝ 70或120 ．
【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB＝DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，根据∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD可以判定∠CB2D＝30°，由此即可解决问题．
解：①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝55°，
∴m＝∠BDB1＝180﹣2×55＝70，
②当点B落在AC上时，
在RT△DCB2中，∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120，
故答案为70或120．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17．解方程：3x（2x+1）＝2x+1．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：移项得：3x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，
（2x+1）（3x﹣1）＝0，
2x+1＝0，3x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝．
18．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
【分析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F，利用圆周角定理和等腰三角形的性质可得到∠E＝∠ABC，则可判断EF∥BC；
（2）在（1）基础上分别延长BF、CE，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断∠DBC＝45°．
解：（1）如图1，EF为所作；
（2）如图2，∠DBC为所作．
19．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）∵共有A，B，C，D，4个小区，
∴甲组抽到A小区的概率是，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
20．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，
（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠CBE＝∠DAB，
∴BC∥AD．
（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；
（2）先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
解：（1）由题意可知，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
22．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
【分析】（1）根据点A（1，a）在y＝2x上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数y＝（k≠0）的图象与反比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），即可求得k的值；
（2）因为B是反比例函数y＝和正比例函数y＝2x的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐标．
解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，
∴a＝2×1＝2，
即点A的坐标为（1，2），
∵点A（1，2）是反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x图象的交点，
∴k＝1×2＝2，
即k的值是2；
（2）由题意得：＝2x，
解得：x＝1或﹣1，
经检验x＝1或﹣1是原方程的解，
∴B（﹣1，﹣2），
∵点A（1，2），
∴AB＝＝2，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC∥x轴，
∴AD＝AB＝2，
∴D（1+2，2）．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．
（1）求证：DF为半圆O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，CF＝2，求半圆O的半径长．
【分析】（1）连接OD，根据BF＝DF，得∠B＝∠BDF，证明∠BDF+∠ODA＝90°，得∠ODF＝90°，进而可得结论；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝8﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1，
∵BF＝DF，
∴∠B＝∠BDF，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF是半圆O的切线；
（2）解：连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝8，BC＝6，CF＝2，
∴OC＝8﹣r，DF＝BF＝6﹣2＝4，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+42＝（8﹣r）2+22，
∴r＝．
故圆的半径为．
24．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示．
（1）求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式；
（2）该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出方程，求出答案；
（3）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数关系式，利用二次函数对称性得出答案．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（9，110），（10，108）代入，得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+128（8≤x≤12）；
（2）根据题意得：（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318，
解得：x＝11或61（舍去），
∴x＝11．
即：超市将大蒜销售单价定为11元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）设每天的销售利润为W（元），则：
W＝（x﹣8）y
＝（x﹣8）（﹣2x+128）
＝﹣2（x﹣8）（x﹣64），
∵a＝﹣2＜0，
∴当即x＜36时，W随x的增大而增大，
∵8≤x≤12，
∴当x＝12时，W取得最大值，最大值为416．
答：当超市大蒜销售单价定为12元时，每天销售大蒜的利润最大，最大利润是416元．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出b，c即可．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），求出直线BC的解析式，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（2）结论：m+n的值为定值．由题意直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，因为MN∥CB，所以可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，利用根与系数的关系即可解决问题．
解：（1）①由题意，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），
∵B（6，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴，
∴Q（m，﹣2m+12），
∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．
（2）结论：m+n的值为定值．
理由：如图2中，
由题意B（6，0），C（0，﹣36﹣6b），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，
把（6，0）代入得到：k＝6+b，
∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，
∵MN∥CB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，
由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，
∴x1+x2＝6，
∵点M、N的横坐标为m、n，
∴m+n＝6．
∴m+n为定值，m+n＝6．
相关试卷
湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)： 这是一份湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖北省仙桃市中考数学真题(word版含答案)： 这是一份2022年湖北省仙桃市中考数学真题(word版含答案)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2011-2012学年湖北省仙桃市九年级（下）期中数学试卷： 这是一份2011-2012学年湖北省仙桃市九年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
