高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率练习题

10.1.2　事件的关系和运算

基础过关练

题组一　事件之间的关系

1.(2020吉林省实验中学高二上期末)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是              (　　)　　　　 　　　　　 　　　　　

A.对立事件　　　B.互斥但不对立事件

C.两个不可能事件　　　D.以上都不对

2.(2020河南商丘高一下期末)某人连续投篮2次,事件“至少有1次投中”的对立事件是              (　　)

A.恰有1次投中　　　B.至多有1次投中

C.2次都投中　　　D.2次都未投中

3.(2020河南南阳高一下期末)从装有两个红球和三个黑球(除颜色外完全相同)的口袋里任取两个球,那么互斥但不对立的两个事件是              (　　)

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

4.(多选)(2021湖北部分省重点中学高二上期中)抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件P,“向上的点数是1,2”为事件Q,“向上的点数是1,2,3”为事件R,“向上的点数是1,2,3,4”为事件S,则下列关于事件P,Q,R,S的判断正确的有              (　　)

A.P与Q是互斥事件,但不是对立事件

B.P与R是对立事件

C.P与S是互斥事件

D.R与S既不是对立事件,也不是互斥事件

5.在掷一枚骰子,观察其向上面的点数的试验中,可能得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请判断下列各组事件的关系:

B　　　H;D　　　J;E　　　I;A　　　G. 

题组二　事件的运算

6.从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是              (　　)

A.{2,4}　　　B.{4,6}

C.{4,8}　　　D.{2,8}

7.在抛掷一枚骰子,观察其向上面的点数的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A∪包含的样本点为　　　　. 

8.甲、乙两人下象棋,设“甲获胜”为事件A,“两人下成和棋”为事件B,则事件“甲不输”为　　　　,事件“乙获胜”为　　　　(用A,B表示). 

9.连续抛掷两枚骰子,观察落地时向上面的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.

(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;

(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系?

题组三　事件的关系与运算的应用

10.小红上学要经过三个十字路口,每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等(不考虑黄灯).事件A表示“第二个路口是红灯”,事件B表示“第三个路口是红灯”,事件C表示“至少遇到两个绿灯”,则A∩B包含的样本点有　　　　个,事件A∩B与C的关系是　　　　. 

11.某电路如图所示,用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A=　　　　　.(用B,C,D间的运算关系式表示) 

12.在甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况试验中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件:

(1)甲未中靶;

(2)甲中靶而乙未中靶;

(3)三人中只有丙未中靶;

(4)三人中至少有一人未中靶;

(5)三人中恰有两人中靶.

答案全解全析
基础过关练

1.B　因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生,所以它们是互斥事件.又因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件,所以它们不是对立事件.所以它们是互斥但不对立事件,故选B.

2.D　某人连续投篮2次,事件“至少有1次投中”的对立事件是“2次都未投中”.故选D.

3.C　在A中,“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误;在B中,“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生,不是互斥事件,故B错误;在C中,“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立的两个事件,故C正确;在D中,“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件,故D错误.故选C.

4.ABD　在A中,P与Q不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件,但不是对立事件,故A正确;

在B中,P与R不能同时发生,且两个事件包含所有的可能事件,故P与R是对立事件,故B正确;

在C中,P与S能同时发生,不是互斥事件,故C错误;

在D中,R与S能同时发生,既不是对立事件,也不是互斥事件,故D正确.故选ABD.

5.答案　⊆;⊆;⊆;=

解析　因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H;同理D⊆J,E⊆I;易知事件A与事件G相等,即A=G.

解题模板

借助集合知识解决事件的关系问题时,可将事件中的样本点列举出来,进而利用集合间的关系判断事件的关系.

6.C　 {2,4,8}∩{4,6,8}={4,8},故选C.

7.答案　2,4,5,6

解析　该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},根据题意,A={2,4},B={1,2,3,4},所以={5,6},A∪={2,4,5,6}.

8.答案　A+B;

解析　依题意有,事件A={甲获胜},B={两人下成和棋},则事件“甲不输”为“甲获胜”或“两人下成和棋”,表示为A+B,事件“乙获胜”为“甲不输”的对立事件,即.

9.解析　由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.

(2)E=B∪C.

10.答案　2;互斥但不对立

解析　根据题意,画出如图所示的树状图.

由图可得,A∩B={红红红,绿红红},包含2个样本点,C={红绿绿,绿红绿,绿绿红,绿绿绿},(A∩B)∩C=⌀,故事件A∩B与C互斥,又(A∩B)∪C≠Ω(Ω为样本空间),故事件A∩B与C的关系是互斥但不对立.

11.答案　B∩(C∪D)(或(BC)∪(BD))

解析　“开关Ⅱ与开关Ⅲ至少有一个闭合”且“开关Ⅰ闭合”,因此A=B∩(C∪D)=(BC)∪(BD).

12.解析　(1)甲未中靶:.

(2)甲中靶而乙未中靶:A∩,即A.

(3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩,即AB.

(4)三人中至少有一人未中靶:.

(5)三人中恰有两人中靶:(AB)∪(AC)∪(BC).