第九章 统计复习提升练习-2022版高中数学必修第二册人教A版

本章复习提升

易混易错练

易错点1　对分层随机抽样的抽取比例理解有误致错

1.(2021天津河西高三上期末,)某中学高一、高二、高三年级的学生人数比为6∶5∶7,防疫站欲对该校学生进行身体健康调查,用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,已知样本中高三年级的学生有21人,则n等于              (　　)

A.35　　　B.45　　　

C.54　　　D.63

2.(多选)(2021浙江丽水高一下月考,)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质检部门要抽取46辆轿车进行检验,则下列说法正确的是              (　　)

A.应采用分层随机抽样的方法抽取

B.应采用抽签法抽取

C.若采用比例分配的分层随机抽样方法,则三种型号的轿车依次抽取6辆,30辆,10辆

D.这三种型号的轿车,每辆轿车被抽到的可能性都相等

易错点2　对频率分布直方图特征的理解有误致错

3.(2020江西抚州高二期末,)某工厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克且小于104克的产品的个数是              (　　)

A.90　　　B.75　　　

C.60　　　D.45

4.(多选)(2021江苏南通通州、启东高三上期末联考,)某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3 000名学生每周平均体育运动时间的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4∶3∶3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时间的数据(单位:小时),整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是              (　　)

A.估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时

B.估计高一年级学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为300

C.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%

D.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数为600

5.(2021山东济南高一下月考,)从全校高二年级所有参加数学联赛的学生中抽取一个样本,考察联赛的分数分布,将样本数据分成5组,绘制成频率分布直方图如图,图中从左到右各小长方形的高之比为3∶4∶6∶5∶2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息,解答下列问题:

(1)样本容量是多少?

(2)列出频率分布表;

(3)估计这次联赛中全体学生的平均分数和第75百分位数.

思想方法练

一、数形结合思想在统计中的应用

1.()如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则              (　　)

A.,sA>sB　　　B.,sA>sB

C.,sA<sB　　　D.,sA<sB

2.(多选)(2021山东日照高三下二模,)某保险公司为客户制订了5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如图所示的统计图,以下四个选项正确的有              (　　)

A.54周岁及以上的参保人数最少

B.18~29周岁参保客户的总费用最少

C.丁险种更受参保客户青睐

D.30周岁及以上的参保客户约占参保客户的80%

二、函数与方程思想在统计中的应用

3.(2020北京通州高三上模拟,)某校开展一次知识竞赛活动,共有三个问题,其中第1,2题满分都是15分,第3题满分是20分.每个问题或者得满分,或者得0分.活动结果显示,每个参赛选手至少答对一道题,有6名选手只答对其中一道题,有12名选手只答对其中两道题.答对第1题的人数与答对第2题的人数之和为26,答对第1题的人数与答对第3题的人数之和为24,答对第2题的人数与答对第3题的人数之和为22,则参赛选手中三道题全答对的人数是　　　　,所有参赛选手的平均分是　　　　. 

4.()某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

(1)求某户居民的用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式;

(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份用电费用小于260元的占80%,求a,b的值;

(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.

答案全解全析

易混易错练

1.C　∵该中学高一、高二、高三年级的学生人数比为6∶5∶7,

∴高三年级学生数占总数的,

∵用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,且高三年级被抽到的人数为21,

∴n=21÷=54.故选C.

易错警示

解决有关分层随机抽样的问题时,防止比例用错导致解题错误.

2.ACD　由于总体中的个体差异明显,所以应采用分层随机抽样的方法抽取,故A正确;因为总体中的个体数较大,所以不宜采用抽签法抽取,故B不正确;设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,则 所以三种型号的轿车依次抽取6辆,30辆,10辆,故C正确;由在分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性相等,可知D正确.故选ACD.

3.A　产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本量为n,则=0.300,所以n=120,所以样本中净重大于或等于98克且小于104克的产品的个数是120×(0.100+0.150+0.125)×2=90.

4.ABD　对于A,估计该校学生每周平均体育运动时间为1×0.05+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15+11×0.05=5.8(小时),故选项A正确;对于B,高一年级的总人数为3 000×=1 200,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时间不足4小时的频率为(0.025+0.1)×2=0.25,所以估计高一年级学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为1 200×0.25=300,故选项B正确;对于C,该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为(0.075+0.025)×2×100%=20%,故选项C错误;对于D,该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数为3 000×20%=600,故选项D正确.故选ABD.

易错警示

利用频率分布直方图解决相关问题时,要注意两点:一是频率分布直方图中小矩形的面积是频率;二是频率分布直方图中原始数据损失,往往用每组区间的中点值代替.

5.解析　(1)样本容量为6÷=60.

(2)由(1)知样本容量为60,所以从左到右的频数分别为9,12,18,15,6,

则频率分别为0.15,0.2,0.3,0.25,0.1,故频率分布表为:

(3)平均分数为55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74.5.

因为0.15+0.2+0.3=0.65,0.15+0.2+0.3+0.25=0.9,0.75∈(0.65,0.9),所以第75百分位数位于[80,90)内,故第75百分位数是80+×10=84.

思想方法练

1.B　由题图知,A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10;B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10.

由折线图读出原始数据,进而利用相关公式解决问题.

所以,,

显然.

由题图可知,B组数据的分布比A组的均匀,故B组数据比较稳定,方差较小,从而标准差较小,所以sA>sB.故选B.

2.ACD　由题中扇形图可判断54周岁及以上的参保客户所占的比例最少,故参保人数最少,故A选项正确;

由题中折线图可估计18~29周岁的参保客户人均参保费用最少,但这类人所占比例为20%,总费用不一定最少,故B选项错误;

由题中条形图可知丁险种的参保比例更高,故更受参保客户青睐,故C选项正确;

由题中扇形图可知30周岁及以上的参保客户所占比例为1-20%=80%,故D选项正确.故选ACD.

由条形图得到各险种的比例,由扇形图得到各年龄段人数所占比例,由折线图可估计各年龄段的参保费用.利用所读取数据解决相关问题.

思想方法

数形结合思想在统计问题中的应用:一方面用图形直观表示相关统计量,另一方面借助图形直观比较相关统计量的关系,要熟练运用条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图的特点解决相关统计问题.

3.答案　2;29.5分

解析　设x1,x2,x3分别表示答对第1题、第2题、第3题的人数,

则

设出相关人数,依据题设条件列方程(组)求解,从而解决问题.

设答对三题的人数为x,则6×1+12×2+3x=36,解得x=2,

∴三道题全答对的人数是2.

∴参赛选手共有6+12+2=20(人),所有参赛选手的平均分是×(14×15+12×15+10×20)=29.5(分).

4.解析　(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;

当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60;

当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140.

所以y与x之间的函数解析式为

y=

(2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量小于400千瓦时的占80%,

结合题中频率分布直方图可知,

解得

由函数关系及题图中数据得方程组,解方程组求a,b的值.

(3)设75%分位数为m,

由题图知,用电量低于300千瓦时的频率为(0.001 0+0.002 0+0.003 0)×100=0.6,

用电量低于400千瓦时的频率为0.8,

所以75%分位数在[300,400)内,所以0.6+(m-300)×0.002 0=0.75,解得m=375,

即用电量的75%分位数为375千瓦时.

思想方法

在统计中,利用相关统计计算公式列出方程(组),进而解决统计问题是一种最基本的方法.