高中6.2 平面向量的运算练习

第六章　平面向量及其应用

6.2.4　向量的数量积

基础过关练

题组一　向量的数量积

1.(多选)(2021吉林吉华一中高一下期中)已知向量a,b,下列选项中正确的是              (　　)

A.|a|2=a2　　　B.(a·b)·c=a·(b·c)

C.a·(b+c)=a·b+a·c　　　D.|a·b|≤|a|·|b|

2.若e1,e2是夹角为的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a·b= (　　)

A.1　　　B.-4　　　C.-

3.(2020江西南昌第十中学高一上期末)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且,.

(1)若F为DE的中点,用向量;

(2)在(1)的条件下,求的值.

题组二　向量的投影向量

4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,e是与b同向的单位向量,则向量a在向量b上的投影向量是              (　　)

A.-4e　　　B.4e　　　C.-2e　　　D.2e

5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影向量为 (　　)

A.a　　　B.2a　　　C.a　　　D.a

6.设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　. 

题组三　向量的模

7.(2021云南弥勒一中高一月考)若两个单位向量a,b的夹角为,则|4a+5b|=              (　　)

A.1　　　B.　　　D.7

8.(2021江西南昌二中高一下开学考试)已知a,b是夹角为90°的两个单位向量,若非零向量c满足 (c-a)·(c-b)=0,则|c|的最大值为              (　　)

A.1　　　B.　　　D.2

题组四　向量的夹角

9.(2020山东滕州一中高一下月考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=1,那么向量a,b的夹角为              (　　)

A.30°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.150°

10.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,|b-a|=,则a与b的夹角θ= (　　)

A.150°　　　B.120°　　　 C.60°　　　 D.30°

11.(2021江苏张家港梁丰高中高一阶段性检测)已知单位向量a与b满足a·b=0,c=a+b,向量a与c的夹角为θ,则sin θ=              (　　)

A.

12.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,,若=-3,则cos∠DAB=　　　　. 

题组五　向量的垂直

13.在△ABC中,,则△ABC一定是 (　　)

A.等边三角形　　　 B.锐角三角形

C.直角三角形 　　　D.钝角三角形

14.(2021湖北孝感高一下期中)已知非零向量m、n的夹角为θ,且4|m|=3|n|,cos θ=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为              (　　)

A.4　　　B.-4　　　C.

15.(2021福建三明高一下月考)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是　　　　. 

能力提升练

题组　向量数量积的综合应用

1.(多选)(2020山东滕州一中高一下期中,)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的值可能为              (　　)

A.　　　D.2

2.()已知△ABC的外接圆的圆心为O,若,且||=2,则向量上的投影向量为              (　　)

A.

3.(2021广东深圳中学高一下期中,)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=6,C=45°,P为线段CD(包括端点)上的动点,则的最小值为　　              (　　)

A.8　　　B.12　　　C.20　　　D.30

4.(2020黑龙江哈尔滨六中高一期中,)已知O是△ABC所在平面内的一个定点,动点P满足,λ∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的              (　　)

A.重心　　　B.垂心　　　C.外心　　　D.内心

5.(2020安徽合肥一六八中学高一上期末,)已知△ABC中,,||=2,点M是线段BC(含端点)上一点,且·()=1,则||的取值范围是              (　　)

A.(0,1]　　　B.

6.(2021吉林吉华一中高一下期中,)已知|a|=2,|b|=1,且向量a在向量b上的投影向量为-b.则

(1)a与b的夹角θ=　　　　; 

(2)若向量λa+b与向量a-3b互相垂直,则λ=　　. 

7.(2020福建师范大学附属中学高一上期末,)如图,△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q,若||=3,||=5,则()·()的值为　　　　. 

8.(2021江苏无锡一中高一下期中,)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在边CD上.

(1)若点F是CD上靠近C的三等分点,设+

μ,求λ+μ的值;

(2)若AB=2,当=1时,求cos∠EAF的值.

9.()如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°.

(1)求||;

(2)已知点D是AB上一点,满足,点E是边CB上一点,满足.

①当λ=时,求;

②是否存在非零实数λ,使得?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

答案全解全析
基础过关练

1.ACD　选项A中,a2=a·a=|a|·|a|·cos 0°=|a|2,A正确;

选项B中,a·b与b·c都为实数,而c与a不一定共线,因此(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,故B错;

选项C中,a·(b+c)=a·b+a·c满足分配律,C正确;

选项D中,|a·b|=|a|·|b||cos θ|≤|a|·|b|(其中θ为向量a与b的夹角),D正确.故选ACD.

2.C　由已知,得e1·e2=|e1||e2|cos,∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2=-,故选C.

3.解析　(1)

=-()

=-

=-.

(2)(),

∵,,

∴.

∴

=-

=-.

4.A　设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=,则向量a在b上的投影向量为|a|cos θe=6×e=-4e.

5.B　由题意,得(a+b)·a=a2+b·a=1+2×1×cos 60°=2.设向量a+b与向量a的夹角为θ,则向量a+b在向量a上的投影向量为|a+b|cos θa=·a=2a,故选B.

6.答案　e1

解析　依题意得|e1|=|e2|=1,|b|=2|e1|=2,且e1·e2=|e1||e2|cos ,所以a·b=(e1+3e2)·2e1=2+6e1·e2=5,所以向量a在向量b上的投影向量为e1=e1.

7.C　因为(4a+5b)2=16a2+40a·b+25b2=16×12+40×1×1×cos+25×12=21,

所以|4a+5b|=,

故选C.

8.B　设a+b与c的夹角为θ,由题意知,a·b=0,则(c-a)·(c-b)=c2-(a+b)·c+a·b=c2-(a+b)·c=|c|2-|a+b|·|c|cos θ=0,因为c为非零向量,所以|c|=|a+b|cos θ≤|a+b|,易得|a+b|=,因此|c|的最大值为 .

9.B　设向量a,b的夹角为θ,

由|a|=1,|b|=2,a·b=1,

得cos θ=,

又0°≤θ≤180°,

所以θ=60°.故选B.

10.B　由|b-a|=,得b2-2a·b+a2=16-2a·b+25=61,所以a·b=-10,所以cos θ=,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°,故选B.

11.B　由题得a·c=a·(a+b)=a2+a·b=,

|c|2=(a+b)2=7a2+2a·b+2b2=9,即|c|=3,

所以cos θ=,

所以sin θ=.

12.答案　

解析　∵,∴,

∴.

∵,

∴

=

=×42

=-3,

∴cos∠DAB=.

13.C　由题可得,

即·()=·(),

即,

∴=0,

∴·()=0,

即=0,即,∴BC⊥AC,

∴△ABC是直角三角形,故选C.

14.B　由n⊥(tm+n)可得n·(tm+n)=0,

则tm·n+n2=0,

所以t=-

=-=-4.

故选B.

15.答案　4

解析　令=a,=b,由于a⊥b,所以以AD,AB为邻边的平行四边形ABCD为矩形.

∵a+b+c=0,

∴=c.

∵(a-b)⊥c,=a-b,∴CA⊥BD,

∴四边形ABCD为正方形.

∴|a|=|b|=1,|c|=,

∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

能力提升练

1.AB　因为(a-c)·(b-c)≤0,

所以a·b-c·(a+b)+c2≤0,

又c为单位向量,a·b=0,

所以c·(a+b)≥1,

所以|a+b-c|=

=

==1,

结合选项可知,A、B正确.

2.A　因为△ABC的外接圆的圆心为O,且,

所以O为BC的中点,即BC为外接圆的直径,所以∠BAC=90°,

因为||=2,所以△AOC是边长为2的等边三角形,

所以∠ACB=60°,∠ABC=30°,BC=4,|,

所以向量.

3.C　如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=6,C=45°,∴DE=1,DC=.

设CP=x(0≤x≤),

则=()·()

=

=24-2(-x)-x(-x)

=x2-6x+30,0≤x≤,

易得当x=时,取得最小值,为20.

故选C.

4.C　设BC的中点为D,则,

所以

=,

所以

=λ,

所以

=λ

=λ+

=λ(-||)=0,

所以.

因为D为BC的中点,

所以点P在BC的中垂线上,

所以点P的轨迹一定通过△ABC的外心.

故选C.

5.D　如图,∵,∴四边形ABDC是矩形,其中,∴|·()=1,∴根据平面向量数量积的几何意义,知AN=(N为M在AD上的射影).因为矩形ABDC的对角线长恒为2,所以点N恒定,变化的是对角线BC与AD的夹角,因此,点M在C到CO的中点之间运动(其中O为两对角线的交点),此时AM的长从1(此时点M与点C重合)变化到(此时点M趋向于CO的中点),但取不到,而1能取到,故|.

6.答案　(1)　(2)

解析　(1)由题意知向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·=-b,

所以=-1,故cos θ=-,

又θ∈[0,π],所以θ=.

(2)由(1)得a·b=2×1×cos=-1.

因为λa+b与a-3b互相垂直,

所以(λa+b)·(a-3b)=0,

即λa2+(1-3λ)a·b-3b2=0,

所以4λ-(1-3λ)-3=0,故λ=.

7.答案　-16

解析　∵,,

∴()·()=(2)·.

∵PQ为线段BC的垂直平分线,∴=0,

∴()·()=2

=()·()

==9-25=-16.

8.解析　(1)∵E是BC的中点,点F是CD上靠近C的三等分点,

∴,

,

∴,

∴λ=-,μ=,故λ+μ=-.

(2)设(0≤m≤1),

则,

又,=0,

∴·()

=-m=-4m+2=1,

故m=.

∴=3+2=5,

易得|,|,

∴cos∠EAF=.

9.解析　(1)∵,且=4,=1,=2×1×cos 60°=1,

∴|

=.

(2)①当λ=时,,,∴D,E分别是边AB,BC的中点,

∴,

(),

∴()

=

=-.

②存在.

假设存在非零实数λ,使得,

由,得=λ(),

∴+λ()=λ+(1-λ).

∵,

∴=()+λ(-)=(1-λ).

∴=λ(1-λ)+(1-λ)2-(1-λ)

=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)

=-3λ2+2λ=0,

解得λ=或λ=0(不合题意,舍去).

故存在非零实数λ=,使得.