第十一章 三角形（验收卷）-简单数学八年级上册考点专训（人教版）

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第十一章 三角形验收卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形的定义判断即可．
【详解】
三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的定义考查，准确理解是解题的关键．
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．任意多边形的内角和为360°
C．任意三角形的外角中最多有一个钝角 D．一个三角形中最多有一个锐角
【答案】A
【分析】
根据三角形的性质，对照选项逐一分析即可．
【详解】
A．直角三角形的两个锐角互余，故此选项正确；
B．任意多边形的内角和（n-2）×180°，故此选项错误；
C．在锐角三角形中，三个外角都是钝角，故此选项错误；
D．一个三角形中至少有两个锐角，故此选项错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形角的性质，掌握三角形角的性质是解题的关键．
3．如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是（ ）
A．1 B．5 C．8 D．15
【答案】C
【分析】
设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【详解】
解：设此三角形第三边的长为x，
则9-4＜x＜9+4，即5＜x＜13，四个选项中只有8符合条件．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，你认为这样做的道理是（ ）

A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等
【答案】C
【分析】
根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】
解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，三角形的这个稳定性在生产生活中经常使用．
5．下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角形高的定义进行判断．
【详解】
三角形的高是过其中一个顶点与对边所在直线作垂线，定点于垂足的连线段就是三角形的高，线段是的高，则过点作对边的垂线，则垂线段为的高，
故选：．
【点睛】
本题考查三角形的高的定义，属于基础题型．
6．如图，在中，点D是边上的中点．连接，点E是的中点，连接，点F是的中点．若，则等于（ ）

A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【分析】
用中线的性质，把、 的面积，再求的面积．
【详解】
解：∵DF是的中线，
，
∵CE是 的中线，
，
∵AD是 的中线，
，

故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
7．将一副三角板按图中方式叠放，则∠的度数为（ ）

A．85°
B．95°
C．105°
D．115°
【答案】C
【分析】
如图，先利用三角形的内角和求出，再利用对顶角的性质即可求出
【详解】
如图，



故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，以及对顶角的性质，熟记性质并准确识图，熟知三角板各角的度数是解题的关键．
8．如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．
【详解】

首先根据三角尺的直角被直线m平分，
∴∠6=∠7=45°；
A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；
B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；
C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；
D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
9．如图，在中，，、分别为和的角平分线，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义求出∠DBC+∠DCB的度数，进而可得出结论．
【详解】
解：∵在中，∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°．
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理以及三角形的角平分线定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
10．如图，在中，，点D在上，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据平角的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
在中，，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
11．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【分析】
根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解．
【详解】
解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误；
②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，判断正确；
③角的边越长，角越大，判断错误；
④一条射线就是一个周角，判断错误．
故选：A
【点睛】
本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键．
12．如图，的角平分线的反向延长线交的角平分线于点E，，则为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
延长CB，与MN交于点F，设∠BCD=∠PCD=x，用x表示出∠ABC和∠E，根据已知得到方程，解之即可．
【详解】
解：延长CB，与MN交于点F，
∵MN∥PQ，
∴∠PCF=∠AFB，∠NAG=∠AGC，
∵CD平分∠BCP，
∴设∠BCD=∠PCD=x，
∴∠AFB=∠BCP=2x，
∠NAG=∠AGC=∠ECG+∠E=∠PCD+∠E=x+∠E，
∵AG平分∠BAN，
∴∠BAG=∠NAG=∠AGC=x+∠E，
∴∠MAB=180°-2∠BAG=180°-2（x+∠E），
∴∠ABC=∠AFB+∠MAB=2x+180°-2（x+∠E）=180°-2∠E，
∵∠B-∠E=36°，
∴180°-2∠E-∠E=36°，
∴∠E=48°，
∴∠B=84°，
故选B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据所学知识得到角之间的关系．
13．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和定理，以及四边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∠B+∠C＝180°﹣∠A
∵∠AED+∠ADE+∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴180°﹣∠A+∠1+∠2+180°﹣∠A＝360°
∴360°﹣2∠A+∠1+∠2＝360°，
∴2∠A＝∠1+∠2，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理和四边形内角和，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，根据四边形内角和建立角之间的联系．
14．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：．
【详解】
解：（1）如图1所示：时，
图1



∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
（2）如图2所示：时，
图2



∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
综合（1）（2）两种情况可得：．
故选：D．
【点睛】
题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．如图，在中，，，则图中直角三角形有______个．

【答案】3
【分析】
根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】
解：由图得△ABD为直角三角形，△ADC为直角三角形，△ABC为直角三角形，
共有3个直角三角形．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的概念，掌握直角三角形的概念是解题的关键．
16．小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_____，_____，_____（单位：cm）．
【答案】6 11 6
【分析】
先分析出共有四种情况，再根据三角形三边关系即可求解
【详解】
解：每三根组合，有5cm，6cm，11cm；5cm，6cm，16cm；11cm，16cm，5cm；11cm，6cm，16cm四种情况．
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，得其中只有11，6，16能组成三角形．
故答案为：6,11,6
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系并根据题意分出四种情况是解题关键．
17．如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则______．

【答案】117
【分析】
根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
【详解】
解：由题意得：
正八边形的每个外角是360°÷8=45°，则每个内角都等于180°-45°=135°，
同理，正五边形的每个内角都等于108°，
故∠CAB=360°-135°-108°=117°，
故答案为：117．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角与外角，正确求解正八边形的每个内角，正五边形的每个内角是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边A上的一点，将△BCD沿直线CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝___度．

【答案】111
【分析】
设∠BCD为α，∠CBD为β，列出关于α+β的方程，求出α+β，即可求出∠BDC．
【详解】
解：设∠BCD为α，∠CBD为β，
∵B′D∥AC，
∴∠B'DC+∠ACD=180°，
由对称性知∠BDC=∠B'DC，
∴180°-（α+β）+180°-42°-（α+β）=180°，
∴α+β=69°，
∴∠BDC=180°-69°=111°，
故答案为111．
【点睛】
本题主要考查翻折的性质，还有平行线的性质，注意翻折是轴对称变换，具有对称性，平行线的三个基本性质要牢记于心．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝72°，∠C＝30°，
①求∠BAE的度数；
②求∠DAE的度数．

【答案】①∠BAE=39°；②∠DAE=21°．
【分析】
①先根据三角形内角和定理计算出∠BAC＝78°，然后根据角平分线定义得到∠BAE＝∠BAC＝39°；
②根据垂直定义得到∠ADB＝90°，则利用互余可计算出∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可；
【详解】
解：①∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣30°＝78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝39°；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝39°﹣18°＝21°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，角的计算等知识．三角形内角和定理:三角形内角和是180°．
20．求图中x的值．

【答案】（1）70°；（2）100°
【分析】
（1）利用三角形外角的性质列出方程求解即可；
（2）利用四边形内角和为360°建立方程求解即可．
【详解】
解：（1）由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，得x+65=x+x-5，
解得：x=70°，
（2）由四边形内角和等于360°，得x+x+10°+60°+90°=360°
解得：x=100°．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，掌握三角形外角的性质及四边形内角和是解题的关键．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点在网格的格点上（小正方形的顶点即为格点），借助网格完成以下任务．

（1）在图中画出的高，中线；
（2）先将向左平移1格，再向上平移2格：
①在图中画出平移后的，并分别标注出点，，的对应点，，；
②图中与相等的角是________．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②∠B′A′C′，∠AC′A′
【分析】
（1）根据三角形的高和中线的概念作图即可；
（2）①将三个顶点分别向左平移1格，再向上平移2格得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；②根据平移的性质可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示，线段AD、BE即为所求；

（2）①如图所示，△A′B′C′即为所求；
②由平移的性质知AC∥A′C′，∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAC=∠AC′A′，
故答案为：∠B′A′C′，∠AC′A′．
【点睛】
本题主要考查作图—平移变换和三角形的高和中线的概念，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
22．如图，．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点分别是边上的中点，，求．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6
【分析】
（1）由∠1+∠2=180°和∠1+∠4=180°得到∠2=∠4，根据平行线的判定得AB∥EF；
（2）根据AB∥EF得到∠ADE=∠3，再由∠3=∠B，得到∠ADE=∠B，从而判定DE∥BC，即可得到结论；
（3）根据中点的定义，三角形面积公式，逐步求出S△ADE和S△DEF的面积，从而可得结果．
【详解】
解：（1）∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，
∴∠2=∠4，
∴EF∥AB；
（2）∵AB∥EF，
∴∠ADE=∠3，
∵∠3=∠B，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB；
（3）∵D为AB的中点，
∴S△ADC=S△ABC=8，
∵E为AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE=S△ADC=4，
∵F为DC的中点，
∴S△DEF=S△CEF=S△DEC=2，
∴S四边形ADFE=S△ADE+S△DEF=4+2=6．
【点睛】
本题考查了行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．也考查了三角形面积公式．
23．如图①，点是的边上一点，连结把沿折叠，使点落在处，令．

（1）如图②，当点落在四边形内部时，若，则的度数为 ；
（2）事实上，当点落在四边形内部时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出与之间的数量关系，并利用图②进行证明；
（3）如图③，当点落在四边形外部时，直接写出与之间的数量关系为 ．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）设，分别用含α和β的式子表示出、和，求出即可得解；
（3）设，分别用含α和β的式子表示出、和，分别对式子变形整理可得答案．
【详解】
解：（1）由折叠的性质得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，，
∴∠ADE＝（180°−∠1），∠AED＝（180°−∠2），
在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，
∴30°＋（180°−∠1）＋（180°−∠2）＝180°，
整理得：∠1＋∠2＝60°；
（2）设，则，，
∴，
由和得：，即；
（3）设，则，，
∴，
∵，即．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，三角形内角和定理，难度不大，熟记性质并准确识图是解题的关键．
24．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；
(3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)．

【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）38°；（3）2∠P=∠B+∠D
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
（3）根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证．
【详解】
解：（1）在中，，
在中，，
（对顶角相等），
，
；
（2），，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
又，
；
（3）根据“8字形”数量关系，，，
所以，，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
整理得，．

【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
25．如图，中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，回到C点时运动结束，已知点P的速度为每秒，运动的时间为t秒．

（1）当_____时，把的周长分成相等的两部分？
（2）当_____时，把的面积分成相等的两部分？
（3）当t为何值时，的面积的6？
【答案】（1）6；（2）5.5；（3）11秒或秒
【分析】
（1）先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上．
【详解】
解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴2t=12，
解得：t=6；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CB+BP=6+5=11（cm），
∴2t=11，
解得：t=5.5；
（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=6，
∴×6×CP=6，
∴CP=2，
∴2t=6+10+6，解得：t=11；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=6=△ABC面积的，
∴BP=AB=，即2t-6=，
解得：t=，
故t为11秒或秒时，△BCP的面积为6．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
26．已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．

【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）54°
【分析】
（1）结论：BE⊥DF，如图1中，延长BE交FD的延长线于H，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；
（2）结论：DE//BF，如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：，利用五等分线的定义可求，由三角形的外角性质得，代入数值计算即可．
【详解】
（1）．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
，，
．
，．
平分，DF平分，
，，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．

（2）．
证明：连接DB．
，．
又，．
、DF平分、的邻补角，
，，
．
在中，
，
，
，．

（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分、的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
，，
，
．

【点睛】
本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．