物理必修25.向心加速度教案

第六节、  向心加速度

探索：自学尝试解决下列问题 

1、      探究以下表述的含义

物体的速度大：                                         。

物体的速度大表示的是物体运动的快，即物体的位移变化的快，也就是位移的变化率大。

物体速度的变化量大：                                          。

物体速度的变化量，表示物体速度变化的多少，是矢量。

物体速度变化的快：                                            。

描述速度变化的快慢的物理量是加速度，物体速度变化的快表示物体的加速度大，即单位时间内物体速度的变化量大。

2、      匀速圆周运动中有加速度吗？请你构思一下加速度的大小和方向应具有什么特点？

做匀速圆周运动的物体，其速度方向始终沿圆周的切线方向，方向时刻变化，因此必有加速度，根据牛顿第二定律知，物体将受力的作用，这个力始终指向圆心，叫做向心力，产生向心加速度，其大小不变，方向时刻变化，故匀速圆周运动是一种变加速运动。

要点归纳

1、物体在运动过程中，与时间相对应的末、始两时刻的“速度差”、称为速度的变化量、简称速度的变化。

注意：速度是一个矢量，这里的“速度差”应遵循平行四边行运算法则、不是代数运算。

2、向心加速度：

匀速圆周运动中的物体，加速度始终指向圆心，这个加速度称为向心加速度。

注意：向心加速度方向始终指向圆心，但每时每刻都在发生变化，所向心加速度是一个不断变化的量。因此匀速圆周运动是一个“变加速度”运动。

3、      向心加速的大小：

4、向心加速度的作用效果

向心加速度方向总指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢。

5、向心加速度与半径的关系：

当线速度相同时，a的大小与半径r成反比。

当角速度相同时，a的大小与半径r成正比。

在角速度、线速度不确定的时候，无法确定a与r是正比还是反比关系。

6、向心加速度公式的推导：

如图6-1所示，物体从A点经时间沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为θ，物体在B点速度vB可以看成是它在A点的速度vA(vA=vB=v)和速度的变化量的合速度。

当趋近于0时，也趋近于0，B点接近A点，与 vA垂直，指向圆心。所以向心加速度方向沿半径方向指向圆心。

因为vA 、vB和组成的三角形与是相似三角形，所以

=

即=

将上式两边同时除以，得

=

等式左边即为向心加速度a的大小，当趋近于0时，等于匀速圆周运动的线速度v，代入上式整理得

a=.

 将v=代入上式可得：

a=

7、一般圆运动中的向心加速度

物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体运动的合加速度，物体做非匀速圆周运动时，合加速度必有一个沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度。此时向心加速度仍满足：

 例题探究与解答

例1：关于向心加速度，下面说法正确的是（     ）

A.向心加速度是描述线速度变化的物理量

B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C. 向心加速度大小恒定，方向时刻改变

D. 向心加速度的大小也可用来计算

分析：加速度是描述速度变化的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A选项错，B选项对。只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定,C选项错。公式适用于匀变速运动，圆周运动是变速运动,D选项错。

答案：B

例2：一物体以４m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为２s。这物体在运动过程的任一时刻，速度变化率的大小为（  ）

A.2m/s2    B.4m/s2     C.0    D.4m/s2

分析：物体加速度的大小即是速度的变化率。有 ,可求得a=4m/s2.   D选项正确。

答案：D

例3：物体做匀速圆周运动的速度大小为v，这该物体从A运动到B转过90角过程中，速度变化的大小为           

方向为            （如图6-6-1所示）

分析：做A、B两点的速度矢量,并将B的速度矢量移到A点,如图6-6-4所示,则为速度变化.得: .

与A点速度方向夹角斜向左上方。

答案：v 速度变的方向与A点速度方向成1350角斜向左上方

合作求解

1.如图6-6-2一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的1/3，当大轮边上P点的向心加速度是0.12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度多大？

分析：P点与S点的连接关系为同轴转动得到角速度关系为：S和P点角速度相同：由向心加速度公式可得：　　　　（a正比于R）

S点的加速度为：

又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等：。

由向心加速度公式可得：(a反比于r）

Q点的加速度为：

说明：圆周运动的向心加速度知识往往要和皮带传动的匀速圆周运动的规律结合起来出题，本题考查的就是匀速圆周运动中皮带传动的有关规律与向心加速度公式综合在一起的应用性习题。

答案：0.04 m/s2   0.24 m/s2

2.如图６－６－3所示，定滑轮的半径r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，有静止开始释放，测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度=          ，向心加速度      m/s2

分析：重物下落１m时，瞬时速度为

v=

显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为

向心加速度为

答案：　　：

跟踪练习 

1、上海锦江乐园新建的“摩天转轮”可在竖直平面内转动，其直径达98m,世界排名第五，游人乘坐时转轮始终不停地匀速转动，每转动一周用时25min，则（  ）

A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零

B.每个乘客都在做加速度为零的匀速运动

C.乘客在乘坐过程中，对座位的压力始终不变

D. 乘客在乘坐过程中的机械能始终不变

解析：转轮匀速转动，其上的人随着一起做匀速圆周运动，而匀速圆周运动属于变速运动，有加速度（向心加速度），故人所受合力不为零，同时，人在竖直平面内做匀速圆周运动，向心力的方向随时改变，因此人对座位的压力必定要发生变化（最高点与最低点明显不同）。另外，乘客随转轮做匀速圆周运动，其动能不变，但乘客的重力势能发生变化，故机械能发生变化。

答案：A

2、如图6-6-4所示，A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（     ）

A.A物体运动的线速度大小不变

B. A物体运动的角速度大小不变

C. B物体运动的角速度大小不变

D.B物体运动的线速度大小不变

解析：若线速度大小不变，则，a-r图像为一双曲线一支；若角速度不变，则，a-r图象为正比例函数图象，即过原点的直线，所以AC正确。

3、关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（     ）

A.它描述的是线速度方向变化的快慢

B. 它描述的是线速度大小变化的快慢

C. 它描述的是向心力变化的快慢

D. 它描述的是角速度变化的快慢

解析：向心加速度与线速度方向垂直，只改变速度的方向，是描述速度方向变化快慢的物理量。故A选项正确。

4、做匀速圆周运动的物体，其加速度的数值一定（      ）

A. 跟半径成正比

B. 跟线速度的平方成正比

C. 跟角速度的平方成正比

D. 跟线速度和角速度的乘积成正比

解析：匀速圆周运动的线速度大小为=  ，由此可知：当一定时，a与r成正比，故A错，当r一定时a与v2成正比，a与也成正比，B、C错误。A与的乘积相等，故D 正确。

5、如图6-6-5所示，两轮用皮带连接传送，没有打滑，A、B、C三点的位置关系如图所示，若，，则三点的向心加速度的关系为：

A.

B.

C.

D.

解析：根据题意知     

所以    故选C.

6、一小球被细绳拴着，在水平面内作半径为R的匀速圆周运动向心加速度为a，那么（    ）

A. 小球的角速度为

B. 小球在时间t内通过的路程

C. 小球做匀速圆周运动的周期

D. 小球在时间t内可能发生的最大位移为2R

解析：由 可得   由 可得所以t时间内通过的路程为：；由 ，可得 ；位移有初位置指向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运动的小球而言，位移的大小即为圆周上两点间的距离最大值为2R,故C错，正确答案为ABD.

7、绳的一端系一重物，手执另一端使重物在光滑的水平面上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ）

A. 角速度一定时，线长易断

B. 线速度一定时，线长易断

C. 周期一定时，线长易断

D. 向心加速度一定时，线短易断

解析：由 可知一定时R越大，a越大，需要的向心力就越大，线越容易断，故A正确。V一定时，R越大，a越小，需要的向心力越小，B错误。T一定时，R越大，a越大，需要的向心力越大，线越容易断，C正确。而a一定时，线短线长受力大小一样。故D不正确。

答案：AC

8、甲、乙两小球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球的轨道半径的2倍，甲球的转速是30r/min，乙球的转速是15r/min，则两小球的向心加速度之比为

A.            B.           C.          D.

解析：因为      

所以   故 C正确。

9、如图6-6-6所示，一小球质量为m、用长为l的悬线固定于O点，在 O点的下方L/3处钉有一长钉。把悬线沿水平方向拉直后无初速释放，当悬线碰到钉子的瞬间（  ）

A.小球的速度突然增大

B. 小球的向心加速度突然增大

C.小球的角速度突然增大

D.悬线的拉力突然增大

解析：小球摆到最下方时，半径突然减小，而速度不变，由得

a变大，向心力变大，故 BD正确，由知R变小，变大，故C正确。

答案：BCD正确。

10、飞机在不高的空中的水平面内做匀速圆周运动，这时从飞机上落下一物体，在不计空气阻力的情况下，此物体将做                    运动。

解析：物体落下瞬间，具有沿切线方向的水平速度，只在重力的作用下，做平抛运动。

11、做匀速圆周运动的物体，其角速度为6rad/s,线速度为3m/s，则在0.1s内，该物体通过的圆弧长度为         m，物体连接圆心的半径转过的角度为         rad，物体运动的轨道半径为           m.

解析：物体在0.1S内通过的圆弧长为 L=vt=30.1m=0.3m，转过的角度为：     物体运动的半径

12、质量相等的A、B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等的时间内通过的弧长之比为而转过的角度之比为，则A、B两质点的周期之比        ，向心加速度之比          

解析：由题意知 ：：=2：3     

    而

13、一列火车以72km/h的速率在半径是400m的弧形轨道上行驶，此时列车的向心加速度是          m/s2,若在列车中用弹簧秤来称一个质量为1Kg的物体，弹簧秤的读数

是          N

解析：     

14、如图6-6-7，物体以30m/s的速度沿半径为60m的圆形轨道运动，当物体从A运动到B时，物体和圆心的连线转过的角度为900，求：

（1）此过程中物体位移的大小

（2）此过程中物体通过的路程

（3）物体运动的向心加速度大小

解析：（1）由图知位移大小为AB，故

     （2）路程应为ACB弧的长，即

（3）向心加速度大小，

15、如图6-6-8所示，以质量为m的砂袋用长为L的绳子拴住悬挂在O点，被拳击运动员水平击中后，荡起的最大高度是h求砂袋刚被击中后的瞬间，沙袋的向心加速度是多大？

解析：设砂袋被击中后速度为v，在砂袋向上摆动的过程中，由机械能守恒知： 

而