云南省楚雄天人中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题数学（B卷）含解析

楚雄天人中学2023届高二年级上学期12月学习效果监测

数学答案B

13. 2         14. 12        15.     16.

详细解答：

1、【解】：根据题意，由，得，

故，因此，

因为，

所以

故选：A.

2、【解】：由题意，故，

在复平面内对应的点为，位于第四象限，

故选：D．

3、【解】：设公比为，由题意得，则，

，故．

故选：A

4、【解】：方法一（性质法）：即，得

.

故选：C.

方法二（整体代换）：由得

故选：C.

5、【解】：由椭圆可得焦点为，

则设双曲线方程为，可得，

则离心率，解得，则，

所以渐近线方程为.

故选：B.

6、【解】：因为正方体的体积为，可求得棱长为，所以体对角线长为，

因此其外接球直径为，半径为，所以其外接球的表面积为．

故选：B．

7、【解】：若直线过原点，可设直线的方程为，

则有，此时直线的方程为；

当直线不过原点时，可设直线的方程为，即，

则有，可得，此时直线的方程为.

综上所述，直线的方程为或.

故选：C.

8、【解】：设等差数列的公差为，

因为,,所以，∴ 

∴

因此当时，取最小值，

故选：A.

9、【解】：将两边平方可得，则，.

故选：C

10、【解】：解法一（点差法）：设交点分别为，，

则，，

两式相减得到，即，解得.

故直线方程为：，即.

故选：D.

解法二（方程组法）：设交点分别为，，

直线斜率不存在时不符合题意，所以设直线的方程为：

消去得

∴

又是，的中点

∴，即

∴

解得

故直线方程为：，即.

故选：D.

11、【解】：因为，由抛物线的定义可得，

所以点的坐标为，

所以的面积为，

故选：D．

12、【解】：解法一：直线的方程为：

由得，所以

因为，所以

即，所以

化为

解得或（舍去）

所以椭圆的离心率为

故选：B.

解法二：设该椭圆的焦距为，如图所示：

设，轴，，

，，

由椭圆定义可得，

因此，该椭圆的离心率为.

故选：B.

13、【解】：因为，所以，即，得

故答案为：2

14、【解】：解法一（性质法）：因为是等差数列的前项，

由等差数列前项和的性质可知：，，成等差数列，

所以，即，

解得：.

解法二（方程组法）：设等差数列的公差为，，，

即，解得

所以，

15、【解】：为数列的前项和，满足①

当时，解得.

当时，②

①－②得：，即，

所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.

所以，的通项公式为

16、【解】：解法一（待定系数法）：设圆C的方程为：，则圆心C，

由题意得，解得

∴圆C的方程为，化为标准方程为

解法二（几何法）：直线AB的斜率为，A、B中点坐标为（2,4）

∴，AB的垂直平分线方程为：，即

由得圆心

∴半径

∴圆C的方程为：

解法三（利用圆的几何性质）：设圆心，由可得，

解得，故圆的半径为，

故圆的方程为：，

故答案为：.

17、解：（1），为与的等比中项，

，.................................................................................................................(1分)

即，.................................................................................................(2分)

由，所以，.................................................................................................(4分)

∴数列的通项公式为.........................................................(5分)

（2）由（1）得，，...................................................................(6分)

∴

.......................(7分)

.....................................................................................(9分)

....................................................................................(10分)

18、解：由正弦定理及得：

...........................(1分)

，.....................................................(2分)

所以，.............................(3分)

即，........................................................................................(5分)

因为，所以........................................................................(6分)

（2）因为，所以，所以......................(7分)

因为，.....................................................(8分)

所以，所以，......................................(9分)

解得，.....................................................................................................(10分)

故的面积为.............................................(12分)

19、解：（1）∵前两组频率为0.08＋0.16＝0.24，

前三组的频率为0.24＋0.32＝0.56，.......................................(2分)

∴第50百分位数在第3组，设第50百分位数为m，则，

解得，...........................................................................................(4分)

平均数为；...(6分)

（2）根据题意可得，200名学生中每天体育锻炼时间在的有30名，每天体育锻炼时间在的有10名。..........................................................................................(7分)

抽取的4名同学中每天体育锻炼时间在的有3名，设为A1、A2、A3，在的有1名，设为B。........................................................                .........(8分)

从4名同学中抽取2人，所有的基本事件为：A1A2、A1A3、A1B、A2A3、A2B、A3B，共6个。恰有一名每天体育锻炼时间在的基本事件有：A1B、A2B、A3B，共3个。

.............................................................................................................................(11分)

∴所求概率为...................................................................................(12分)

20、【解】：因抛物线：过点，

则有，解得，....................................................................................(2分)

所以抛物线的标准方程是：，准线方程为：...............................(4分)

（2）解法一：设，设直线的方程为........(5分）

由消去整理得：......................(7分）

        则...............................................................(8分)

因为点A，B在抛物线上

∴得...........................................................................(9分)

∴...................................................................(11分)

所以为定值....................................................................................................(12分)

解法二：设，设直线AB方程为，............................(5分）

由消去x并整理得：，................................................(6分)

则，，.....................................................................................(7分)

于是...........................(9分)

，.........................................................................................(11分)

所以为定值.....................................................................................................(12分)

21、（1）证明：因为平面，所以.......................................(1分)

又，所以...........................................................(2分)

∴........................................................(3分)

所以.....................................................................................................(4分)

在三角形PAD中因为为的中点，

所以.....................................................................................................(5分)

∴........................................................(6分)

（2）由题知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，..........................(7分)

.

设平面的法向量为，

则，即

令，得.....................................................................................(9分)

由（1）知，平面的一个法向量为，............................(10分)

设平面与平面夹角为，则

，...................................................(11分)

所以，

平面与平面夹角的正弦值.....................................................(12分)

.22、解：由题意，椭圆的一个顶点为，可得，...........(1分)

又由椭圆的离心率为，可得，所以，.......................................(2分)

则，.................................................................................................(3分)

所以椭圆的标准方程为.......................................................................(4分)

（2）解：解法一：设

    有 消去整理得

∴，

因为，点到直线的距离为：

所以，

即

解得

解法二：设，且

根据椭圆的对称性得，

联立方程组，整理得，解得，

因为的面积为，可得，解得.