专题1.27 《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题1.27 《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）
分类讨论是人们常用的重要思想方法，是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
分类讨论遵循的原则：不重不漏 
分类讨论的步骤：1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。
本章结合有理数分类、绝对值、及数轴上的点进行专题巩固学习，对初入中学学习同学来说相当重要，让学生形成数学思想，对于提升学生数学素养十分重要。
一、单选题
1．下列关于有理数的分类正确的是（ ）
A．有理数可以分为正有理数和负有理数 B．有理数可分为正有理数、负有理数和0
C．有理数可分为正整数、0和负整数 D．有理数可分为自然数、0和分数
2．已知，则式子：（ ）
A．3 B．或1 C．或3 D．1
3．若满足方程，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如，下列结论正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
5．已知a，b，c为有理数，且，，则的值为（ ）
A．1 B．或 C．1或 D．或3
6．在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：


①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（ ）．
A．，，0，2，4 B．，，2，4
C．0 D．，0，4
9．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）

A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab


二、填空题
10．将下列各有理数按不同的标准分类：
2，4， －7，1.5，0，－5.3, －， 6，－80%.
(1)按有理数的定义分；
(2)按有理数的正、负性质分．
11．若，则的值是___________．
12．若|x+3|+|x-5|=12，则x=_____．
13．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，……，依此类推，移动 6 次后该点对应的数是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20．

14．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“”法则：，例如：．在这6个数中，任意取三个数作为的值，则的最大值为__________．
15．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．
所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________．
②数轴上表示和的两点之间的距离表示为________．
③数轴上表示的点到表示1的点的距离与它到表示的点的距离之和可表示为：．则的最小值是________．
④若，则________

16．若a，b，c为有理数，且abc≠0，则＝_____．
17．数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a和b，若计算a+b，a-b，ab，的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求_____________
18．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是 _______；若起点A开始时是与—1重合的，则滚动2周后点表示的数是______．

19．若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝_____．

三、解答题
20． 有理数的两种分类方法：
有理数　　　有理数
21．
（1）将以上有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接；
（2）将以上有理数按一定的分类标准分成若干类．
22．把下列各数按要求分类．

整数集合：{ ．．．}，
分数集合：{ ．．．}，
非负整数集合：{ ．．．}，
有理数集合：{ ．．．}．
23．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把各类数填在它所属的横线上．

24．（1）填空：①正数： ， ；
②负数： ， ；
③零： ；
（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是 数，即
（3）请认真阅读下列材料，求的最小值
解：，当，即时，的最小值是2
解答下列问题
①求的最小值；
②有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a的值
25．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：
（1）_______．
（2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
26．阅读下题和解题过程：化简：，使结果不含绝对值．
解：当时，即时：原式；
当时，即时：原式．
这种解题的方法叫“分类讨论法”．
请你用“分类讨论法”解一元一次方程：．
27．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a＜0时，|a|=﹣a．用这种方法解决下列问题：
(1)当a=5时，求的值．
(2)当a=﹣2时，求的值．
(3)若有理数a不等于零，求的值．
(4)若有理数a、b均不等于零，试求+的值．
28．[分类讨论思想] 甲、乙两名同学正在对8a＞6a进行讨论，甲说：“8a＞6a正确．”乙说“这不可能正确．”你认为谁的观点对？谈谈你的看法．
29．阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值．
解：当时，即时，
原式
；
当，即时，
原式

这种解题的方法叫“分类讨论法”．
(1)请你用“分类讨论法”解一元一次方程：；
(2)试探究：当分别为何值时，方程
①无解，②只有一个解，③有两个解
30．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
31．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果：________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______；_______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算：________．

参考答案
1．B
【分析】
根据有理数的分类即可判断.
【详解】
有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A，C，D错误，B正确；
故选B.
【点拨】
此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点.
2．C
【分析】
不妨设a ＜b＜c，分类讨论：①a ＜b＜0＜c，②a＞0，b＞0，c＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．
【详解】
不妨设a ＜b＜c．
∵abc＞0，∴分两种情况：
①a ＜b＜0＜c，则=－1+（－1）+1=－1；
②a＞0，b＞0，c＞0，则1+1+1=3．
故选C．
【点拨】
本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况．
3．D
【分析】
根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.
【详解】
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
所以

故选D
【点拨】
本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.
4．C
【分析】
根据符号[x]表示不超过x的最大整数，依次判断可得答案．
【详解】
解：由题意可得，
[-3]=-3，故①正确；
[-2.9]=-3，故②错误；
[0.9]=0，故③正确；
当x为整数时，[x]+[-x]=x+（-x）=0，
当x为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；
故选：C．
【点拨】
本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．
5．A
【分析】
先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】
∵
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵
∴a，b，c的符号为1负2正
令，，
∴，，
∴
故选：A．
【点拨】
本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．
6．B
【分析】
根据三点与1的位置关系即可判断①；对于②，根据a、b、c的位置关系化简方程左端，判断是否等于右端即可；对于③，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；对于④，首先判断1−bc的符号，然后和a比较即可 ．
【详解】
①∵a<1，b<1，c<1
∴a-1<0，b-1<0，c-1<0
∴，故①正确；
②∵a ∴a-b<0，b-c<0，a-c<0
∴，
∴，故②正确；
③∵a+b<0，b+c>0，a+c<0
∴，故③正确；
④∵a<-1
∴|a|>1
∵0 ∴0 ∴1-bc<1
∴|a|>1-bc，故④错误；
故选B
【点拨】
本题考查了数轴，有理数，绝对值的化简，题目较难，英重点关注数轴上点和已知数的位置关系，然后进行推导求解．
7．A
【分析】
根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少．
【详解】
解：∵，，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
∵，，，
∴，
分三种情况讨论，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
∴，，则．
故选：A．
【点拨】
本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．
8．D
【分析】
分类讨论：①a、b、c均是正数，②a、b、c均是负数，③a、b、c中有一个正数，两个负数，④a、b、c有两个正数，一个负数，化简原式即可去求解．
【详解】
①a、b、c均是正数，原式==；
②a、b、c均是负数，原式==；
③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式==；
④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式==；
故选D．
【点拨】
本题考查了绝对值的化简，关键是分情况讨论，然后逐一求解．
9．B
【分析】
根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负．
【详解】
解：∵，
∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，
∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，
，但是的符号不能确定，故A错误；
若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确；
若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误；
若b是负数，c是正数，则，故D错误．
故选：B．
【点拨】
本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负．
10．(1)整数：2，－7，0，6；分数：4，1.5，－5.3，－，－80% (2)正有理数：2，4，1.5，6；零：0；负有理数：－7，－5.3，－，－80%
【解析】
试题分析：由有理数的两种分类.
试题解析：解：(1)整数：2，－7，0，6；分数：4，1.5，－5.3，－，－80%　(2)正有理数：2，4，1.5，6；零：0；负有理数：－7，－5.3，－，－80%　
点拨：有理数的两种分类：
（1）有理数
注：我们把有限小数，无限循环小数，百分数都看作分数，但不是所有的小数都是分数，例如π就是无限不循环小数，π不能化为分数，π是无理数.
（2）有理数
11．1或-1或-3
【分析】
根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】
解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0，
∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．
当a、b、c为两正一负时，
①设a、b为正，c为负，
原式=1+1-1=1；
②设a、c为正，b为负，
原式=1-1-1=-1；
③设b、c为正，a为负，
原式=-1-1-1=-3；
当a、b、c为一正两负时，
④设a为正，b、c为负
原式=1-1+1=1；
⑤设b为正，a、c为负
原式=-1-1+1=-1；
⑥设c为正，a、b为负
原式=-1+1+1=1；
综上可知， 的值是1或-1或-3．
故答案为：1或-1或-3．
【点拨】
此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．或
【分析】
对x-5＞0、-3＜x＜5、x＜-3分类讨论解答即可．
【详解】
①x-5＞0，即x>5
|x+3|+|x-5|=12
x+3+0．8x-4=12
x=13×
x=
②当-3＜x＜5时，则
|x+3|+|x-5|=12
x+3+4-0.8x=12
x=25(舍)
③x＜-3，则
|x+3|+|x-5|=12
-x-3+4-0.8x=12
x=
【点拨】
本题考查了绝对值方程，根据绝对值正确的分类讨论是解答本题的关键．
13．
【分析】
根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．
【详解】
解：由题意可得：移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；
移动2次后该点对应的数为1-3=，到原点的距离为2；
移动3次后该点对应的数为-2+6=4，到原点的距离为4；
移动4次后该点对应的数为4-9=，到原点的距离为5；
移动5次后该点对应的数为-5+12=7，到原点的距离为7；
移动6次后该点对应的数为，到原点的距离为8；
∴移动奇数次后该点到原点的距离为：；
移动偶数次后该点到原点的距离为：．
∴当n为奇数时，，
解得：，
∴；
当n为偶数时，，
解得：，
∴；
∴至少移动14次后该点到原点的距离不小于20．
故答案为：，14；
【点拨】
本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．
14．
【分析】
根据新定义确定出所求即可．
【详解】
解：当a+b+c≥0时，
，
此时最大值为2×=；
当a+b+c＜0时，
，
此时最大值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点拨】
此题考查了有理数的混合运算与有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．3 4 4 或5
【分析】
①根据题目中公式求解即可；
②根据题目中公式求解即可；
③根据题目中公式求解即可；
④分为三种情况讨论，第一种，第二种，第三种 ，分别求解即可；
⑤方法一：根据④求解方法，可得原方程等号左侧最小值为4，而目前值为8，因此将3和-1同时向左或向右移动个单位即可；方法二：根据题意，参考④的方法，分三种情况套路即可．
【详解】
①|2-5|=3，所以2和5之间的距离为3；
②|-3-1|=4，所以-3和1之间的距离为4；
③，所以x和-2之间的距离为|x+2|；
④当第一种情况时，原式=，无最小值
当第二种情况时，原式= ，所以最小值为4
当第三种情况时，原式=，无最小值
所以原式的最小值为4；
⑤方法一：根据④得到|x−3|+|x+1|当时，最小值为4
因为|x−3|+|x+1|=8，所以将3向右移动2个单位或-1向左移动两个单位，此时x到两点的距离和为8，此时x= -1-2= -3，或x=3+2=5
因此x=−3 或5
方法二：当时，得，解得x= -3
当时，得，此时无解
当时，得，解得x=5
故原方程的解为-3或5
故答案为①3；②4；③ |x+2| ；④4；⑤ −3 或5．
【点拨】
本题考查了绝对值的意义，绝对值返程，熟练掌握绝对值的含义是本题的关键，绝对值的几何意义表示两点间的距离．
16．2或
【分析】
分中没有负数、中只有1个负数、中有2个负数，都是负数四种情况，再分别化简绝对值，然后计算有理数的加减运算即可得．
【详解】
由题意，分以下四种情况：
（1）当中没有负数时，
则；
（2）当中只有1个负数时，不妨设为负数，
则；
（3）当中有2个负数时，不妨设都是负数，
则；
（4）当都是负数时，
则；
综上，的值为2或，
故答案为：2或．
【点拨】
本题考查了化简绝对值、有理数的加减运算，正确分四种情况讨论是解题关键．
17．
【分析】
先根据分数的分母不能为0可得，从而可得，由此根据题意可得和两种情况，再根据可求出b的值，然后代入求出相应的a的值，最后将a、b的值代入即可得．
【详解】
由题意得：，
，
有三个结果恰好相同，
或，
因此，分以下两种情况：
（1）当时，
由可得，解得，
①当时，则，无解，即不存在这样的有理数，
②当时，则，解得，
此时；
（2）当时，
由可得，解得，
①当时，则，无解，即不存在这样的有理数，
②当时，则，解得，
此时；
综上，，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了有理数的乘方运算的应用，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
18．或 或
【分析】
先求出圆的周长，再通过滚动周数确定A点移动的距离，最后分类讨论，将A点原来位置的数加上或减去滚动的距离即可得到答案．
【详解】
解：因为半径为1的圆的周长为2，
所以每滚动一周就相当于圆上的A点平移了个单位，滚动2周就相当于平移了个单位；
当圆向左滚动一周时，则A'表示的数为，

当圆向右滚动一周时，则A'表示的数为；
当A点开始时与重合时，
若向右滚动两周，则A'表示的数为，
若向左滚动两周，则A'表示的数为；
故答案为：或；或．
【点拨】
本题考查了用数轴上的点表示无理数的知识，要求学生能动态的理解数轴上点的位置变化，能明白圆滚动一周或两周时同一个点的运动变化，并能通过加减运算得到运动后点的位置所表示的数．
19．45或23
【分析】
先根据绝对值的意义确定x、y、z的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，
∴x＝±11，y＝±14，z＝±20．
∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），
∴x+y≥0，y+z≤0．
∵x+y≥0．
∴x＝±11，y＝14．
∵y+z≤0，
∴z＝﹣20
当x＝11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝11+14+20＝45；
当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23．
故答案为：45或23．
【点拨】
本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的法则是解决本题的关键．
20．（1）正整数，正分数，0，负整数，负分数；（2）正整数，0，负整数，正分数，负分数
【解析】
【分析】
根据“有理数”的两种分类方法进行分析解答即可.
【详解】
有理数的两种分类方法：
有理数 有理数
故答案为：（1）正整数，正分数，0，负整数，负分数；（2）正整数，0，负整数，正分数，负分数
【点拨】
熟记“有理数的两种分类方法”是解答本题的关键.
21．（1）（2）见解析
【分析】
（1）根据有理数的大小关系进行排列即可得解；
（2）根据有理数的相关分类，将这组数进行分类即可.
【详解】
（1）；
（2）按照有理数的定义进行分类，分为整数和分数如下：
整数集合，
分数集合.
【点拨】
本题主要考查了有理数的大小比较及分类，熟练掌握有理数的相关概念是解决本题的关键.
22．整数集合：{．．．}；分数集合：{．．．}；非负整数集合：{．．．}；有理数集合：{．．．}
【分析】
根据有理数的分类，直接填写答案．
【详解】
给出的数中，
整数集合：{．．．}；
分数集合：{．．．}；
非负整数集合：{．．．}；
有理数集合：{．．．}．
【点拨】
本题考查了有理数的分类及各相关定义．掌握有理数的分类是解决本题的关键．
23．整数：0，2018，－2；分数：－，－3.14，；正整数：2018；负整数：－2；正分数：；负分数：－，－3.14.
【解析】
【分析】
整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,等这样的数,整数包括:负整数,0,正整数; 分数表示一个数是另一个数的几分之几,或一个事件与所有事件的比例.把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫分数,分数分为:正分数和负分数;根据整数和分数的定义以及分类进行解答.
【详解】
整数:0,2018,－2;分数:－,－3.14,;正整数:2018;负整数:－2;正分数:;负分数:－,－3.14.
【点拨】
本题主要考查整数和分数的定义和分类,解决本题的关键是要熟练掌握整数和分数的定义和分类.
24．（1）①，8；②0.7，12；③0；（2）非负；（3）①2020；②最大值25，a=5
【分析】
（1）根据绝对值的意义即可得出答案；
（2）分析（1）中的结论，即可得到（2）中的答案；
（3）①要使有最小值，则需使最小，结合（2）中结论有，可得出时，最小，即可得出答案；
②由，得出当时，原式有最大值，求出a的值，代入即可得出答案．
【详解】
解：（1）①正数：，8；
②负数：0.7，12；
③零：0；
（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是非负数，即；
（3）①
当即时
∴有最小值是2020
②有最大值．

当，即时
有最大值25，此时a=5．
【点拨】
本题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
25．（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3
【分析】
（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．
（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x-4=0或x+2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．
（3）先得出|x-3|+|x-6|的意义，从而得到x在3和6之间时（包含3和6）有最小值．
【详解】
解：（1）原式=|4+2|=6，
故答案为：6；
（2）令x-4=0或x+2=0时，则x=4或x=-2，
当x＜-2时，
∴-（x-4）-（x+2）=6，
∴-x+4-x-2=6，
∴x=-2（范围内不成立）；
当-2＜x＜4时，
∴-（x-4）+（x+2）=6，
∴-x+4+x+2=6，
∴6=6，
∴x=-1，0，1，2，3；
当x＞4时，
∴（x-4）+（x+2）=6，
∴x-4+x+2=6，
∴x=4（范围内不成立），
∴综上所述，符合条件的整数x有：-2，-1，0，1，2，3，4；
（3）|x-3|+|x-6|表示数轴上到3和6的距离之和，
∴当x在3和6之间时（包含3和6），|x-3|+|x-6|有最小值3．
【点拨】
本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
26．或
【详解】
试题分析：分为两种情况，当2x﹣1≥0或2x﹣1＜0，先去掉绝对值符号，求出即可．
试题解析：解：当2x﹣1≥0时，原方程可化为：2x﹣1=3，解得：x=2，当2x﹣1＜0时，原方程化为﹣（2x﹣1）=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x=2或x=﹣1．
点拨：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号．
27．（1）1；（2）-1；（3）1或-1；（4）2或-2或0
【解析】
【分析】
（1）直接将a=5代入求出答案；
（2）直接将a=-2代入求出答案；
（3）分别利用a>0或a<0分析得出答案；
（4）分别利用当a，b是同正数或当a，b是同负数或当a，b是异号分析得出答案．
【详解】
解：当时，；
当时，；
若有理数不等于零，当时，，当时，；
若有理数、均不等于零，当，是同正数，，
当，是同负数，，
当，是异号，．
【点拨】
考查绝对值的化简，掌握绝对值的化简方法是解题的关键，注意分类讨论思想在解题中的应用.
28．见解析
【解析】
【分析】
分成 (1)a＞0，(2)a＜0， (3)a=0三种情况进行讨论.
【详解】
解：两人的观点都不正确，因为a的符号没有确定．
(1)当a＞0时，得8a＞6a；
(2)当a＜0时，得8a＜6a；
(3)当a=0时，得8a=6a.
【点拨】
考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
29．（1）或；（2）①当时方程 无解无解；②当时方程只有一个解；③当时方程有两个解.
【解析】
【分析】
（1）分当x+2≥0时和当x+2＜0时，两种情况分类讨论即可；
（2）分当0，和三种情况分类讨论即可.
【详解】
（1）解：当时，即时：
原方程可化为：
解这个方程得：
当，即时：
原方程可化为：
解这个方程得：
原方程的解为或
（2）由绝对值的意义可知
①当时方程无解，
即：当时方程 无解无解
②当时方程只有一个解，
即：当时方程只有一个解
③当时方程有两个解，
即：当时方程有两个解
【点拨】
本题考查了解一元一次方程和解含绝对值符号的一元一次方程，解此题的关键是正确去掉绝对值符号．
30．（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】
解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．
故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，

当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，

当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点拨】
本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
31．（1）；（2）②③；（3），；（4）；（5）
【分析】
（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）利用题中的新定义分别判断即可；
（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；
（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；
（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）；
（2）当a≠0时，a2=a÷a=1，因此①正确；
对于任何正整数n，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，因此②错误；
因为34=3÷3÷3÷3=，而43=4÷4÷4=，因此③错误；
负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；
故答案为：②③；
（3），
==；
（4）由题意可得：
将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于；
（5）
=
=
=
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．