2021届重庆市江津中学、铜梁中学、长寿中学等七校联盟高三下学期第三次模拟考试数学试题

重庆市2020-2021学年下期高2021届七校三诊数学试卷 

 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（改编），则（    ）

A．            B．          C．         D．

2．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

C．充分必要条件件        D．既不充分也不必要条件

3．（改编）以下四个命题中：

①回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模拟的拟合效果越好；

②两个随机变量的线性相关越强，相关系数的绝对值越接近于1；

③若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2；

④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大．

其中真命题的个数为(　   )

A．1                B．2                C．3            D．4

4．（改编）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（　　）

A．    B．    C． D．

5．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长

分别为､､，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这

个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）

A．      B．3      C．   D．

6．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如：，也即复数的模的几何意义为对应的点到坐标原点的距离．在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（    ）

A．       B．1      C．    D．2

7．（改编）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为(　   )

A．      B．       C．         D．

8．(原创) 已知抛物线：，过点作两条斜率为，的直线与抛物线的准线分别相交于点，．分别过，作的垂线交抛物线于点，，当时，则点到直线的距离的最大值是(　   )

A． 1             B．            C．            D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（改编）已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在的取值范围是 

B．函数在区间上单调递增

C．点是函数图象的一个对称中心

D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象

10．（改编）设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值可以是(   　) 

A．1   B．      C．          D．4

11．（改编）已知，为正实数，且，则（　　）

A．的最大值为2        B．的最小值为4

C．的最小值为3       D．的最小值为

12． 如图，正方形的边长为1，分别为的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（     ）

A. 异面直线与所成的角为定值

B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直

C. 三棱锥与体积之比值为定值

D. 四面体外接球体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．二项式的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,则展开式中含项的系数是____．

14．已知，则________．

15．已知是边长为的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为_________.

16．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为，，、、依次成等差数列．

（1）求数列的通项公式；（2）若______，求的前项和，并求的最小值．

从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．

①数列 满足：，（）；

②数列的前项和（）；

③数列的前项和满足：（）．

注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．

18．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2在中，内角、、的对边分别为、、，已知，若，且，求的值．

19.（改编）（本小题满分12分）

国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28(吨/天)的确定为“超标”社区：

（1）在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值(精确到)；

（2）若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量X大致服从正态分布，其中，分别近似为（1）中样本的平均值，方差，经计算约为5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；

（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中随机抽取5个进行跟踪调查，设为抽到的这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求的分布列与数学期望．

附：若随机变量X服从正态分布，则,，

20.（原创）（本小题满分12分）

如图正三棱柱的所有棱长均为2，分别是棱的中点.

（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；

（3）求二面角的余弦值．         

21.（改编）（本小题满分12分）

椭圆：的右焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，当是的中点时，3．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆在点、处的切线交于点，为坐标原点，求证：直线平分线段．

附：椭圆上一点处的切线方程为．

22.（本小题满分12分）

已知函数在处的切线方程为.

（1）求的单调区间与最小值；

（2）求证：．

2020-2021学年下期高2021届七校三诊数学试卷答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A  2．D  3．C  4．D  5．B  6．B  7．B  8．C

8.解析：设，，直线，

，．

，

所以直线过定点，则到直线的距离，

当即，或，取等号．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．AC  10．BC  11.ABD  12.  ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．  14．  15．  16．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）设数列 的公比为，则由，，所以，

因为，所以，  ．．．．．．．1分

因为，，成等差数列，所以，

即，所以，  ．．．．．．．2分

所以，  ．．．．．．．．．．．．．3分

所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）选择①：因为，（），所以（），  ．．．5分

所以；；；……；；

   ．．．．．．．．．．．．．．．．6分

所以，当时也成立  ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．8分

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．9分

因为是递增的，

所以的最小值为，．．．．．．．．．．．．．．．．10分

选择②：由可知：当时，， ．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时，，．．．．．．．．．．．．．．．．6分

验证当时亦满足此关系，

所以 ．．．．．．．．7分

所以

所以

   ，．．．．．．．．．．．．．．．．8分

两式相减得：

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．9分

因为是递增的，所以的最小值，．．．．．．．．．．．．．．．．10分

选择③：当时，，即．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时，因为，所以，

两式相减得，即（），

由于，故

所以（）．．．．．．．．．．．．．．．．6分

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．7分

所以，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．8分

当为奇数时，由于，故；

当为偶数时，由于，故，

由在为偶数时单调递增，

所以当时，的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18．【解析】（1）   ．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

                       ．．．．．．．．．．．．．．2分

                         ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

函数的最小正周期.      ．．．．．．．．．．．．．．4分

由（），

可解得（） ．．．．．．．．．．．5分

的单调递增区间为（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由，

可得或（）．．．．．．．7分

，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

．．．．．．．．．．．．．9分

又，

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．【解析】解：（1）由频数分布表得

所以这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值为22.8吨．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由（1）知，因为约为5.2，所以取．

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

又，

所以估计这320个社区一天中“超标”社区的个数为51．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，

所以Y的可能取值为1，2，3，4，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

,,

，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以Y的分布列为

所以．．．．．．．．．．12分

20.【解析】证明：（1）

又

………………………………3分

（2）由（1）…………………5分

，，…………………6分

…………………7分

（1）设二面角的的平面角分别为

则，

…………………8分

过点作易证，可得

类似的方法可得………………10分

………………11分

所以二面角的余弦值为………………12分

21.【解析】（1）解：当是的中点时，⊥轴，，

又，解得（舍负），，．．．．．．．．．3分

所以椭圆的方程为．．．．．．．．．．4分

（2）证明：设，，的中点为，

由题知，的斜率不为0，故可设：，

则椭圆在点处的切线为，在点处的切线为，

故，．．．．．．．．8分

将代入两切线方程得，，

两式相减得，即，

故，所以，．．．．．．．．．10分

由点，在椭圆上可得，，

两式相减得，整理得，

所以，即经过线段AB的中点M，所以直线ON平分线段AB．．．．．．．．12分

22．【解析】（1），故，得，又，

所以，得.则，，

当时，单调递减；当时，单调递增，

所以...........................................................................4分

（2）令，，递增，

所以，所以当时，，

令，，递增，

，所以当时，，

要证，由，及得，

，故原不等式成立，只需证，

即证.由（1）可得，且，

所以，则原不等式成立................................12分