初中浙教版第3章 圆的基本性质综合与测试教学设计

《美妙的镶嵌》 教学设计

一、教材分析.

（一）地位和作用

平面图形的镶嵌内容安排在本章的最后，在此之前，学生已经学习了三角形的内角和，多边形的内角和圆的基础知识等知识.通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义.

（二）教学目标

根据课程标准的要求，教学内容的特点以及九年级学生的认知水平,确定本节课的教学目标：

1.认知目标：了解镶嵌的含义，并在实验与探究的学习活动中，使学生认识到正三角形、正四

            边形和正六边形可以镶嵌平面，并能理解其中的道理。

2.能力目标：通过探索多边形覆盖平面的条件，发展学生的合情推理能力，在活动中使学生观

            察、猜想、动手操作、质疑的能力得以提升。

3.情感目标：通过现实情境，让学生体会到数学的应用价值；经历对平面镶嵌条件的探索活动，

           提高数学学习的兴趣，建立良好的自信心。

 (三）教学重点、难点

教学重点： 知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进

           行简单的镶嵌设计。

教学难点：由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，而

          正五边形则不可以。

（四）教具准备

教师：多媒体课件

学生：每个小组分别准备好8个

     （1）边长为5厘米的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形的纸板、

     （2）任意三角形、任意四边形的纸板

二、教法与学法分析

1、教法： 课题学习应以学生自主探究为主，教师引导为辅，因此我选用“引导式探索发现法

          和主动式探索尝试法”进行教学.

2、学法：采用“动手实验，合作探究”的小组学习方法，鼓励学生积极动手实验合作探究，      

         使每个学生在活动中都得到充分的发展.

三、教学过程设计

（一）创设情景，导入新课

     为了激发学生的好奇心和探究欲望，首先利用多媒体演示一组生活中的地砖图片(由正三角形,正方形,正六边形镶嵌而成)，提出问题: “新的县人民医院即将竣工,大楼前的广场地面想用一些多边形进行平面镶嵌, 你能帮忙设计一个方案吗？”，让学生说一说有什么困惑?引出问题: “什么是镶嵌?”接着继续欣赏刚才的地砖图片，感受数学与现实生活的紧密联系，并思考这些图片都是由一些平面图形平面镶嵌而成的,它们有什么特点?学生细心观察发现，图案中的平面图形有的规则，有的不规则，有的是用一种多边形拼成，有的用多种多边形拼成，培养学生分类的数学思想.学生很快可以回答：没有空隙，不重叠.教师再引导学生结合图案用规范化的语言描述：像这样，用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌。板书关键词：不留空隙，不重叠，完全覆盖

     由此引入到要研究的课题：美妙的镶嵌.

（设计意图：镶嵌现象在生活中是大量存在的，在通过一系列图片的展示下引出课题，使学生感受到生活中处处有数学，初步感知镶嵌的存在和意义。让学生亲身经历体会从具体情境中发现数学问题，进而寻求解决问题方法的全过程。

（二）动手实践，探索新知

在这个环节中，我设计了四个探究活动。

探究活动1、动手实验探索用正多边形单独进行镶嵌的规律，这也是本节的重点.

利用多媒体将地砖图片的局部放大(由正三角形,正方形,正六边形镶嵌而成)，提出问题:同一拼接点处角度有什么特点?

 (1)一种正多边形能单独进行镶嵌,它的内角应具备什么条件?

  镶嵌的条件:同一拼接点处所有角的和恰好组成360°的周角。

   (2)除上面三种正多边形能单独进行镶嵌以外,还有别的正多边形能单独进行镶嵌吗?

  为了让学生更好的掌握这节课的重点，我设了“动脑计算,动手实验，实验思考，得出结论”这四个环节.具体做法是：首先全班分组活动，动手实验.拿出课前准备好的正五边形、正七边形、正八边形等正多边形纸片，进行镶嵌.看那个小组拼的又快又好，拼完后在黑板上展示他们的成果.这样既直观形象，又能促进学生主动探究，乐于探究。

学生从拼图中，很快得出正五边形、、正七边形、正八边形等其他正多边不能够镶嵌.提出问题：为什么正五边形不能镶嵌，其它的三种正多边形可以镶嵌？这其中有什么规律？学生分析得到：正三角形、正四边形、正六边形的内角度数分别是60°90°120°，它们都是360的约数，说明在一个顶点处有整数个这样的正多边形镶嵌；而正五边形的内角为108°，108不是360的约数，在一个顶点处没有整数个正五边形镶嵌成一个平面图案.正七边形、正八边形、正九边形也是如此。

由此得到结论一:能单独进行平面镶嵌的正多边形有:正三角形,正方形和正六边形。

通过以上环节，学生在实验过程中充分体验数据的收集和分析给学习带来的帮助和启发，逐渐发现用一种正多边形能够镶嵌的规律，突出本节课的教学重点.

（活动1的设计，可操作性很强，每个学生都能参与实验.让学生感受了数据处理的全过程，能通过相互的交流发现规律，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度，体验从特殊到一般的数学思想.）

探究活动2：进一步讨论：医院广场的地面如果用任意的全等三角形或四边形单独进行平面镶嵌,可以吗?

利用镶嵌的条件,先让学生动手实验，然后教师用多媒体演示动态拼图过程，学生总结发现：任意三角形和四边形能进行单独镶嵌。原因是因为拼接在同一点的各内角的和是360度。这既是对所学知识的拓展，还可以检验学生发散思维的能力.

由学生的拼图发现：要想把平面完全覆盖，除了拼接出360°外，还需注意什么？（相等的边应拼接在一起才能继续进行镶嵌）

由此得到结论二:任意三角形或四边形也能单独进行平面镶嵌

注意：镶嵌时，相等的边要拼在一起才能继续镶嵌

（设计意图：活动2是学生在前面获取解决问题的经验后的直接应用，而在应用中又容易拼出不能继续进行平面镶嵌的图形，让学生产生思维的碰撞，把学生的思维又领向一个更深的层次。)

探究活动3、教师继续提出问题，

(1) 医院广场的地面如果用边长相等的正四边形与正六边形组合进行平面镶嵌,可以吗?

学生会快速的用正四边形和正六边形进行镶嵌，发现它们不能进行镶嵌。

由此提出问题：除了实验，你能用我们所学的数学知识来解决这一问题吗？

学生：可以找二元一次方程的正整数解，有正整数解，说明能进行镶嵌，没有正整数解，说明不能进行镶嵌。

   总结：判断两个正多边形能否进行镶嵌有两个方法：

        （1）实验               （2）找二元一次方程的正整数解

(2) 医院广场的地面如果用边长相等的两种正多边形进行平面镶嵌,可以吗?共有几种组合?

教师给学生充分的时间去猜想、计算、讨论，动手拼图，验证猜想。然后小组活动：看哪个小组找的多?从而激发学生继续动手计算和实验的欲望。在学生分析时,引导他们利用好正多边形的内角度数.这样学生会更加清楚的认识到：当围绕拼接点的几个正多边形的内角加在一起恰好组成360度时，就能镶嵌成一个平面图案. 拼完后用黑板上展示他们的拼图结果，直观形象，学生更容易理解自己总结出来的规律。

 再次提出问题：结合镶嵌的特点，思考①正三角形和正方形 ②正三角形和正六边形  ③正四边形和正八边形 ④正三角形和正十二边形 ⑤正五边形和正十边形都能进行平面镶嵌吗？

学生继续验证发现⑤正五边形和正十边形在一个拼接点处拼出了360°，但不能继续镶嵌，在黑板上演示整个过程。让学生明白两种正多边形进行组合镶嵌的时候，除了满足镶嵌的条件，还需利用拼图进行验证：能不能继续进行镶嵌。

由此得到结论三：用两种正多边形进行平面镶嵌有： ①正三角形和正方形 ②正三角形和正六边形  ③正四边形和正八边形 ④正三角形和正十二边形。这样既巩固了新知识，又提高了学生的学习兴趣.既是对所学知识的拓展，还可以检验学生发散思维能力.

(设计意图：活动3通过“猜想,验证,引申 ”三个环节,对问题不断反思,获取解决问题的经验,将学生对镶嵌的理解由感性认识提高到理性认识,把学生的思维领向一个更深的层次,也成功地通过数学实验发现用正多边形能够镶嵌的规律这一教学难点.)

探究活动4、医院广场的地面如果用边长相等的三种正多边形进行平面镶嵌,可以吗?

不用拼图,你能利用所学知识来判断三种正多边形能否进行平面镶嵌?（找方程的正整数解）

（利用现有工具：边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，……，正十二边形进行探索）

学生快速得出两组：①正三角形、正方形、正六边形  ②正三角形、正方形、正十二边形

资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这16组解。有书记载说明这16组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。

（三）联系实际，生活应用

（1）解决引例问题：新的县人民医院即将竣工,大楼前的广场地面想用一些多边形进行平面镶  

    嵌, 你能帮忙设计一个方案吗？

（2） 欣赏镶嵌的艺术化设计——埃舍尔的作品，埃舍尔荷兰现代版画艺术家。他是一个将艺

术与数学融合的画家，也因此享誉世界。

让学生感受到生活中的数学美，陶冶学生的情操。

希望同学们:

         关注身边的数学  ，关注数学中的美

（设计意图：通过让学生观看教师展示的埃舍尔的镶嵌图片，学生再次感受几何美与生活美，激发学生的创作欲望，让数学再次回归生活。）

（3）小小设计师：请你用本节课所学知识，用8开素描纸设计一幅镶嵌艺术画.

（四）课堂小结  反思升华

你有什么收获和启示？

引导学生对本节课进行小结、反思与升华，同时解决疑惑。要求学生先独立完成，然后小组内互相补充完善。

（设计意图：通过回顾与反思，使学生养成反思学习过程的习惯，初步学会自我评价学习效果。通过写数学成长日记，让学生看到自己的进步，激励学生，促进学生形成良好的心理品质，同时有些学生可能会提出心中的疑问，通过学生相互间解惑，既消除了学生心中的疑惑，又培养了学生口头表达能力。充分发挥学生的主体意识，树立学好数学的信心。）

四、设计说明：

1.时间安排

（一）创设情景，导入新课  5 分钟

（二）动手实践，探索新知  26分钟

（三）联系实际， 生活应用  4分钟

（四）课堂小结   反思升华  3分钟

（六）分层作业   深化新知  2分钟

2.板书设计：

                             美妙的镶嵌

  镶嵌的特点： 

  镶嵌的条件：                          学生作品展示区

  结论：

设计意图：直观清晰，便于学生梳理知识，加深对知识的巩固.

3.设计理念：

《数学课程标准》指出：七至九年级的数学应结合具体的数学内容，采用“问题情景—建立模型——解释、应用拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程。因此，在本节课的教学中，我不断地创造自主探究与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去实践，去动手操作，去观察分析，去合作交流，让他们在和谐、热烈的学习氛围中体验成功、共享成功。

4、课件设计意图：

    使用多媒体展示图片及拼图过程演示，能够直观、生动地反映情境，增加课堂容量，使书本上的图形“动”起来，激发学生的学习兴趣，丰富学生的想象力，提高主动参与意识。同时有利于突出重点，分散难点，更好的促进学生自主学习，提高课堂效率。