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高中物理人教版 (新课标)必修22.太阳与行星间的引力学案设计
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这是一份高中物理人教版 (新课标)必修22.太阳与行星间的引力学案设计，共8页。学案主要包含了变式1—1，变式2一1，变式2—2，变式3—1，变式4—1，变式5—1，变式5—2，变式6-1等内容，欢迎下载使用。
(1)太阳对行星的引力
将行星绕太阳做椭圆运动简化为匀速圆周运动，则行星做匀速圆周运动的向心力由太阳对行星的引力来充当。
太阳对不同行星的引力与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即
(2)行星对太阳的引力
行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星和太阳之间距离的二次方成反比，也就是
(3)太阳与行星间的引力
太阳与行星间引力的大小与太阳的质量和行星的质量的乘积成正比，与两者之间距离的二次方成反比，即.式中G是比例系数，与太阳和行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
【考题1】试说明在推导太阳与行星间的引力的过程中，所用公式、、的物理意义和公式中各量的物理意义。
【解析】公式表示物体以线速度v做匀速圆周运动，其向心力的大小为F，圆周运动的半径为r，做圆周运动的物体的质量为m.
公式表示物体做匀速圆周运动的线速度v等于圆周轨道的周长C＝2πr与运动周期T的比值，其中r表示圆周运动的半径．
公式是开普勒第三定律的数学表达式，其中r表示椭圆轨道的半长轴的大小．T表示行星绕太阳公转的周期，k是一个太阳系中与行星无关的常量．
【变式1—1】把行星运动近似看做匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写成，m为行星质量，则可推得( )．
A．行星受太阳的引力为 B．所有绕太阳运动的行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力为 D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
考点2 月—地检验
月一地检验是牛顿发现万有引力定律历程中的重要一步，由此牛顿发现太阳对行星的引力与地球对表面物体的重力作用性质相同，并最终发现普遍意义上的万有引力定律。
月一地检验的结果是重力与地球对月球的引力是同一种力。同时，由于不同物体在地球表面附近同一地点下落时有相同的加速度，说明地球对物体的引力与物体的质量成正比。
【考题2】牛顿发现万有引力定律的思维过程是下列的( )．
A．理想实验一理论推导一实验检验 B．假想一理论推导一实验检验
C．假想—理论推导—规律形成 D．实验事实一假想一理论推导
【解析】分析本题一定要了解相关的物理学史。牛顿是在前人研究的基础上，通过自己的类比，猜想：宇宙间任何物体间都存在吸引力，这些力具有相同的性质，遵循同样的力学规律，其大小都与两者间距离的平方成反比。然后再根据开普勒定律以及牛顿运动定律推导出万有引力定律。定律是否正确，需要经过实验检验，人们日常生活中所接触的物体间的万有引力太小了，无法直接进行实验测量，牛顿巧妙地运用理想实验一一“地一月”检验对他的结论做了验证。
【答案】 B
【变式2一1】已知月心和地心的距离是地球半径的60倍．地球表面的重力加速度g＝9．8m／s2，根据牛顿得出的结论计算月球绕地球做圆周运动的向心加涑度的值。
【变式2—2】如果要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，我们需要观测这些卫星运动时的哪些数据?观测前对这些数据的规律有什么假设?
考点3 万有引力定律的理解
万有引力定律的理解应重点放在普遍性和相互性上，对万有引力定律公式的应用要特别注意适用条件。其中r的含义常常成为考点。
的适用条件：
①严格地说，万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用力，即当两个物体间的距离远大于物体的大小时才适用；
②当两个物体相距不太远，不能看成质点时，可采用先分割，后求矢量和的方法计算；
③一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力(或两个均匀球体间的引力)，可用公式计算，这时公式中的r是指球心间距离。
对万有引力定律的理解：
①万有引力的普遍性。万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力；
②万有引力的相互性。两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等、方向相反、分别作用在两个物体上；
③万有引力的宏观性。在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义。故在分析地球表面物体受力时，不考虑其他物体对它的万有引力；
④万有引力的特殊性。两个物体间的万有引力只与它们本身的质量和距离有关，而与其所在空间的性质无关，也与周围有无其它物体无关
【考题3】对于质量分别为m1和m2的两个物体问的万有引力的表达式为．下列说法中正确的是( )．
A．公式中的G是引力常量。它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
【解析】 引力常量G的值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密扭秤”实验测定出来的。所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反、分别作用在两个物体上。所以选项C正确，D错误。当r趋于零时，这两个物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，B项错。
【答案】 A、C
【变式3—1】关于万有引力，下列说法中正确的是( )．
A．万有引力只有在天体与天体之间才能明显表现出来
B．一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略
C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近
考点4 万有引力定律公式的应用
在应用进行计算时，应注意r的含义是两质心间的距离．
【考题4】两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F．若两个半径2倍于小铁球的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )．
A．2F B. 8F C．4F D．1 6F
【解析】 小铁球之间的万有引力．
大铁球半径是小铁球的2倍，即R＝2r.
其质量对小铁球有: ，
对大铁球有:
故两个大铁球间的万有引力，故D项正确．
【答案】 D
【变式4—1】如图13—1所示，两个半径分别为r1＝0．60m、r2＝0．40m．质量分布均匀的实心球,质量分别为m1＝4．0kg、，m2＝1．Okg．两球间距离r0＝2．0m．则两球间相互引力的大小为(G＝6．67×10-11 N·m2／kg2)( )．
A．6．67×l0-11N B．大于6．67×10-11N
C．小于6．67×10-11N D．不能确定
考点5 重力与万有引力之间的区别与联系
在忽略地球自转时，地球表面某处的重力加速度；在地球之外某处重力加速度，这与是否考虑地球自转无关．
重力是由万有引力产生的。由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。
在两极，万有引力就等于重力，即
从赤道到两极，重力加速度逐渐变大。
通常的计算中因重力和万有引力相差不大，所以认为两者相等,即 ．
从上式可以得到重力加速度的一个表达式：．
在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，因为物体所受引力随物体离地面高度的增加而减小，即．
【考题5】一物体在地球表面重16N。它在以5m／s2的加速度上升的火箭中对水平支持物的压力为9N。则此火箭离地球表面的高度为地球半径的( )．
A．0.5倍 B．2倍 C．3倍 D. 4倍
【解析】设地球半径为R，火箭在离地面高度为h处的重力加速度为g’，物体的质量为m，对物体应用牛顿第二定律得 (其中)，所以
．
根据万有引力等于重力有
在高为h处 ， 在地球表面处 ，
两式相除得 ．
故: h=3R，选项C正确．
【答案】 C
【变式5—1】设地球表面重力加速度为g0．物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的万有引力作用而产生的加速度为g．则g/g0为( )．
A．1 B．1/9 C．1/4 D. 1/16
【变式5—2】据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星。其质量约为地球质量的6．4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重力将变为960N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )．
A．0．5 B．2 C．3．2 D．4
考点6 万有引力定律与匀速圆周运动的综合应用
在地球的两极万有引力与重力相等，而在其他位置，重力小于万有引力。在赤道上部分万有引力提供物体自转所需的向心力，其余的则以重力形式体现。
【考题6】某星球“一天”的时间是T＝6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时，读数小l0％．设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时?
【解析】设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处的重力为G2，在“赤道”处
． ①
在“两极”处 ②
依题意得 l一(G1/G2)×l00％＝l0％． ③
设该星球自转的角速度增加到ω0时赤道上的物体自动飘起来，是指地面与物体间没有相互作用力，物体受到星球的万有引力全部提供其随星球自转的向心力，则
． ④
又： ⑤
联立①②③④⑤式解得:
【变式6-1】设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上的重力的0．01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重。若存在这样的星球，它的半径R应为多大?
考点7 万有引力常量的测定
卡文迪许测定万有引力常量的扭秤中用到了“光杠杆”的放大方法。测定了万有引力常量后，万有引力定律便有了实际应用价值。
用扭秤装置巧妙地测定引力常量
首先．图中固定两个小球m的丁形架，可使m、m’之间微小的万有引力产生较大的力矩，使金属丝产生一定的偏转角度θ，这是一次“放大”效应。
其次，为了将金属丝的微小形变加以“放大”，卡文迪许用从P发出的光线射到平面镜M上，在平面镜偏转θ角时，反射光线偏转2θ角。可以得出光点在刻度尺上移动的弧长s＝2θR，增大小平面镜M到刻度尺的距离R，光点在刻度尺上移动的弧长s就相应增大，这又是一次“放大”效应。由于多次巧妙“放大”，才使微小的万有引力被显示并测量出来。
正是由于卡文迪许测定了引力常量G．才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用。
(1)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
(2)第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示了其真正的实用价值。
(3)标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代。卡文迪许通过对G的测量推算的地球密度5．48×103kg/m3与近代测得的5．518×103kg／m3非常接近。
(4)表明任何重大规律的发现总是经过理论上的推理和实验上反复验证才能完成的。
【考题7】如图13—2所示为卡文迪许扭秤的主要部分，没金属丝的扭转力矩为M，其他字母表示的物理意义可从图上看出，关于这个实验。正确的说法是( )．
A．实验时需要测量的物理量有m、m’、r、M
B．小镜转过的角度越大，则M越大
C．小镜转过的角度就是反射光线转过的角度
D．平衡时金属丝的扭转力矩为M=Gmm’/r，
【解析】卡文迪许扭秤是用金属丝的扭转力矩M与万有引力的力矩相等来测量引力常量的，G的表达式为，所以需要测量的物理量有m、m’、r、M．力矩M由小镜转过的角度测得，需要注意的是，镜转过的角度为θ时，反射光线转过的角度为2θ．
【答案】A、B
【变式7—1】关于引力常量G，下列说法中正确的是( )．
A．牛顿发现万有引力定律时，给出了引力常量的值
B．引力常量G是由实验测得的，而不是人为规定的
C．引力常量G的测量非常困难的原因是：一般物体间的相互吸引力非常小，不易测出来
D．由万有引力定律公式，可得．于是可知：引力常量G与两物体之间距离的平方成正比，与两物体质量的乘积成反比，其大小与单位制的选择有关
专 项 测 试
学业水平测试
1．[考点l、7]关于万有引力定律和引力常量，下面说法中正确的是( ).
A．万有引力定律是开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
2．[考点3]关于万有引力公式，以下说法中正确的是( )．
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
3．[考点3]设想质量为m的物体放到地球的中心，地球质量为M．半径为R，则物体与地球间的万有引力是( )．
A．零 B. 无穷大 C． D．无法确定
4．[考点1、2 ]地球对月球具有相当大的万有引力，它们不靠在一起的原因是( )．
A．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力相互平衡
B．地球对月球的引力不算大
C．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力为零
D．万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行
5．[考点3]某实心均匀球半径为R，质量为M．在离球壳h高处有一质量为m的质点，则其万有引力大小为( )．
A． B． C． D．
6．[考点3、4]两个质量均匀的球体相距r，它们之间的万有引力为l0-8N，若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为( )．
A．4×10-8N B．10-8N C．2×10-8N D．10-4N
7．[考点7]关于引力常量G，以下说法中正确的是( )．
A．在国际单位制中，G的单位是N·kg2／m2
B. 在国际单位制中，G的数值等于两个质量各为lkg的物体，相距1m时的相互吸引力
C．在不同星球上，G的数值不一样
D．在不同的单位制中，G的数值不一样
8．[考点5]火星半径约是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1/9，那么地球表面质量为50kg的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的 ．
9．[考点5]应用万有引力公式证明：在星体上物体做自由落体运动的加速度g跟运动物体的质量无关，g的值是由星体质量和运动物体所处的位置所决定的。如果在离地面高度等于地球半径的高空释放一个物体做自由落体运动，它开始运动的加速度是多大?
10.[考点1、2、6]与行星绕太阳运动一样，卫星之所以能绕地球运动也同样是因为它受到地球的引力，假设有一颗人造地球卫星，质量为m.绕地球运行的周期为T．轨道半径为r．则应有．由此有人得出结论：地球对卫星的引力F应与r成正比，你认为该结论是否正确，若不正确错在何处?
高考水平测试
1．[考点4、5]1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星。该小行星的半径为16km．若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R＝6400km，地球表面重力加速度为g．这个小行星表面的重力加速度为( )．
A．400g B. C. 20g D.
2．[考点3、 6]万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律，以下说法中正确的是 ( )．
A． 物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的
B. 人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大
C. 人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供
D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
3．[考点4、5、6]最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运动的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周。仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( )．
A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比
4．[考点3]苹果落向地球，而不是地球向上碰到苹果，对此论断的正确解释是( )．
A．由于地球质量比苹果质量大得多，地球对苹果的引力比苹果对地球的引力大得多造成的
B．由于地球对苹果有引力作用，而苹果对地球无引力作用造成的
C．由于苹果对地球的引力和地球对苹果的引力大小相等。但地球的质量远远大于苹果，地球不能产生明显的加速度
D．以上解释都不对
5．[考点3、4]两个质量均为M的星体，其连线的垂直平分线为AB，0为两星体连线的中点，如图所示，一质量为m的物体从0沿OA方向运动。设A离O足够远，则物体在运动过程中受到两个星球万有引力的合力大小变化情况是( )
A．一直增大 B. 一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小
6．[考点6]两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )．
A．1 B. C. D．
7．[考点5]火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1/9．一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为lOOkg．则在火星上其质量为 kg，重力为 N．
8．[考点2、6]一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量，以之比M:m＝81:1，行星的半径R行与卫星的半径Ｒ卫之比Ｒ行:R卫＝3:6．行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比r:R行＝60:1，设卫星表面的重力加速度为g卫，则在卫星表面有：
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600，上述结果是否正确?若正确，列式证明；若错误，求出正确的结果。
9．[考点6]某球形行星“一昼夜”时间T＝6h，在该行星上用弹簧测力计称同一物体的重量，发现在其“赤道”上的读数比在其“南极”处小9％；若设想该行星自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“飘浮”起来，这时该行星的自转周期多大?
10．[考点3]宇航员在地球表面以一定速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处． (地球表面重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g’；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝l:4，求该星球的质量与地球质量之比Ｍ星:M地．
(1)太阳对行星的引力
将行星绕太阳做椭圆运动简化为匀速圆周运动，则行星做匀速圆周运动的向心力由太阳对行星的引力来充当。
太阳对不同行星的引力与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即
(2)行星对太阳的引力
行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星和太阳之间距离的二次方成反比，也就是
(3)太阳与行星间的引力
太阳与行星间引力的大小与太阳的质量和行星的质量的乘积成正比，与两者之间距离的二次方成反比，即.式中G是比例系数，与太阳和行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
【考题1】试说明在推导太阳与行星间的引力的过程中，所用公式、、的物理意义和公式中各量的物理意义。
【解析】公式表示物体以线速度v做匀速圆周运动，其向心力的大小为F，圆周运动的半径为r，做圆周运动的物体的质量为m.
公式表示物体做匀速圆周运动的线速度v等于圆周轨道的周长C＝2πr与运动周期T的比值，其中r表示圆周运动的半径．
公式是开普勒第三定律的数学表达式，其中r表示椭圆轨道的半长轴的大小．T表示行星绕太阳公转的周期，k是一个太阳系中与行星无关的常量．
【变式1—1】把行星运动近似看做匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写成，m为行星质量，则可推得( )．
A．行星受太阳的引力为 B．所有绕太阳运动的行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力为 D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
考点2 月—地检验
月一地检验是牛顿发现万有引力定律历程中的重要一步，由此牛顿发现太阳对行星的引力与地球对表面物体的重力作用性质相同，并最终发现普遍意义上的万有引力定律。
月一地检验的结果是重力与地球对月球的引力是同一种力。同时，由于不同物体在地球表面附近同一地点下落时有相同的加速度，说明地球对物体的引力与物体的质量成正比。
【考题2】牛顿发现万有引力定律的思维过程是下列的( )．
A．理想实验一理论推导一实验检验 B．假想一理论推导一实验检验
C．假想—理论推导—规律形成 D．实验事实一假想一理论推导
【解析】分析本题一定要了解相关的物理学史。牛顿是在前人研究的基础上，通过自己的类比，猜想：宇宙间任何物体间都存在吸引力，这些力具有相同的性质，遵循同样的力学规律，其大小都与两者间距离的平方成反比。然后再根据开普勒定律以及牛顿运动定律推导出万有引力定律。定律是否正确，需要经过实验检验，人们日常生活中所接触的物体间的万有引力太小了，无法直接进行实验测量，牛顿巧妙地运用理想实验一一“地一月”检验对他的结论做了验证。
【答案】 B
【变式2一1】已知月心和地心的距离是地球半径的60倍．地球表面的重力加速度g＝9．8m／s2，根据牛顿得出的结论计算月球绕地球做圆周运动的向心加涑度的值。
【变式2—2】如果要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，我们需要观测这些卫星运动时的哪些数据?观测前对这些数据的规律有什么假设?
考点3 万有引力定律的理解
万有引力定律的理解应重点放在普遍性和相互性上，对万有引力定律公式的应用要特别注意适用条件。其中r的含义常常成为考点。
的适用条件：
①严格地说，万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用力，即当两个物体间的距离远大于物体的大小时才适用；
②当两个物体相距不太远，不能看成质点时，可采用先分割，后求矢量和的方法计算；
③一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力(或两个均匀球体间的引力)，可用公式计算，这时公式中的r是指球心间距离。
对万有引力定律的理解：
①万有引力的普遍性。万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力；
②万有引力的相互性。两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等、方向相反、分别作用在两个物体上；
③万有引力的宏观性。在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义。故在分析地球表面物体受力时，不考虑其他物体对它的万有引力；
④万有引力的特殊性。两个物体间的万有引力只与它们本身的质量和距离有关，而与其所在空间的性质无关，也与周围有无其它物体无关
【考题3】对于质量分别为m1和m2的两个物体问的万有引力的表达式为．下列说法中正确的是( )．
A．公式中的G是引力常量。它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
【解析】 引力常量G的值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密扭秤”实验测定出来的。所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反、分别作用在两个物体上。所以选项C正确，D错误。当r趋于零时，这两个物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，B项错。
【答案】 A、C
【变式3—1】关于万有引力，下列说法中正确的是( )．
A．万有引力只有在天体与天体之间才能明显表现出来
B．一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略
C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近
考点4 万有引力定律公式的应用
在应用进行计算时，应注意r的含义是两质心间的距离．
【考题4】两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F．若两个半径2倍于小铁球的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )．
A．2F B. 8F C．4F D．1 6F
【解析】 小铁球之间的万有引力．
大铁球半径是小铁球的2倍，即R＝2r.
其质量对小铁球有: ，
对大铁球有:
故两个大铁球间的万有引力，故D项正确．
【答案】 D
【变式4—1】如图13—1所示，两个半径分别为r1＝0．60m、r2＝0．40m．质量分布均匀的实心球,质量分别为m1＝4．0kg、，m2＝1．Okg．两球间距离r0＝2．0m．则两球间相互引力的大小为(G＝6．67×10-11 N·m2／kg2)( )．
A．6．67×l0-11N B．大于6．67×10-11N
C．小于6．67×10-11N D．不能确定
考点5 重力与万有引力之间的区别与联系
在忽略地球自转时，地球表面某处的重力加速度；在地球之外某处重力加速度，这与是否考虑地球自转无关．
重力是由万有引力产生的。由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。
在两极，万有引力就等于重力，即
从赤道到两极，重力加速度逐渐变大。
通常的计算中因重力和万有引力相差不大，所以认为两者相等,即 ．
从上式可以得到重力加速度的一个表达式：．
在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，因为物体所受引力随物体离地面高度的增加而减小，即．
【考题5】一物体在地球表面重16N。它在以5m／s2的加速度上升的火箭中对水平支持物的压力为9N。则此火箭离地球表面的高度为地球半径的( )．
A．0.5倍 B．2倍 C．3倍 D. 4倍
【解析】设地球半径为R，火箭在离地面高度为h处的重力加速度为g’，物体的质量为m，对物体应用牛顿第二定律得 (其中)，所以
．
根据万有引力等于重力有
在高为h处 ， 在地球表面处 ，
两式相除得 ．
故: h=3R，选项C正确．
【答案】 C
【变式5—1】设地球表面重力加速度为g0．物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的万有引力作用而产生的加速度为g．则g/g0为( )．
A．1 B．1/9 C．1/4 D. 1/16
【变式5—2】据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星。其质量约为地球质量的6．4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重力将变为960N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )．
A．0．5 B．2 C．3．2 D．4
考点6 万有引力定律与匀速圆周运动的综合应用
在地球的两极万有引力与重力相等，而在其他位置，重力小于万有引力。在赤道上部分万有引力提供物体自转所需的向心力，其余的则以重力形式体现。
【考题6】某星球“一天”的时间是T＝6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时，读数小l0％．设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时?
【解析】设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处的重力为G2，在“赤道”处
． ①
在“两极”处 ②
依题意得 l一(G1/G2)×l00％＝l0％． ③
设该星球自转的角速度增加到ω0时赤道上的物体自动飘起来，是指地面与物体间没有相互作用力，物体受到星球的万有引力全部提供其随星球自转的向心力，则
． ④
又： ⑤
联立①②③④⑤式解得:
【变式6-1】设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上的重力的0．01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重。若存在这样的星球，它的半径R应为多大?
考点7 万有引力常量的测定
卡文迪许测定万有引力常量的扭秤中用到了“光杠杆”的放大方法。测定了万有引力常量后，万有引力定律便有了实际应用价值。
用扭秤装置巧妙地测定引力常量
首先．图中固定两个小球m的丁形架，可使m、m’之间微小的万有引力产生较大的力矩，使金属丝产生一定的偏转角度θ，这是一次“放大”效应。
其次，为了将金属丝的微小形变加以“放大”，卡文迪许用从P发出的光线射到平面镜M上，在平面镜偏转θ角时，反射光线偏转2θ角。可以得出光点在刻度尺上移动的弧长s＝2θR，增大小平面镜M到刻度尺的距离R，光点在刻度尺上移动的弧长s就相应增大，这又是一次“放大”效应。由于多次巧妙“放大”，才使微小的万有引力被显示并测量出来。
正是由于卡文迪许测定了引力常量G．才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用。
(1)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
(2)第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示了其真正的实用价值。
(3)标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代。卡文迪许通过对G的测量推算的地球密度5．48×103kg/m3与近代测得的5．518×103kg／m3非常接近。
(4)表明任何重大规律的发现总是经过理论上的推理和实验上反复验证才能完成的。
【考题7】如图13—2所示为卡文迪许扭秤的主要部分，没金属丝的扭转力矩为M，其他字母表示的物理意义可从图上看出，关于这个实验。正确的说法是( )．
A．实验时需要测量的物理量有m、m’、r、M
B．小镜转过的角度越大，则M越大
C．小镜转过的角度就是反射光线转过的角度
D．平衡时金属丝的扭转力矩为M=Gmm’/r，
【解析】卡文迪许扭秤是用金属丝的扭转力矩M与万有引力的力矩相等来测量引力常量的，G的表达式为，所以需要测量的物理量有m、m’、r、M．力矩M由小镜转过的角度测得，需要注意的是，镜转过的角度为θ时，反射光线转过的角度为2θ．
【答案】A、B
【变式7—1】关于引力常量G，下列说法中正确的是( )．
A．牛顿发现万有引力定律时，给出了引力常量的值
B．引力常量G是由实验测得的，而不是人为规定的
C．引力常量G的测量非常困难的原因是：一般物体间的相互吸引力非常小，不易测出来
D．由万有引力定律公式，可得．于是可知：引力常量G与两物体之间距离的平方成正比，与两物体质量的乘积成反比，其大小与单位制的选择有关
专 项 测 试
学业水平测试
1．[考点l、7]关于万有引力定律和引力常量，下面说法中正确的是( ).
A．万有引力定律是开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
2．[考点3]关于万有引力公式，以下说法中正确的是( )．
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
3．[考点3]设想质量为m的物体放到地球的中心，地球质量为M．半径为R，则物体与地球间的万有引力是( )．
A．零 B. 无穷大 C． D．无法确定
4．[考点1、2 ]地球对月球具有相当大的万有引力，它们不靠在一起的原因是( )．
A．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力相互平衡
B．地球对月球的引力不算大
C．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力为零
D．万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行
5．[考点3]某实心均匀球半径为R，质量为M．在离球壳h高处有一质量为m的质点，则其万有引力大小为( )．
A． B． C． D．
6．[考点3、4]两个质量均匀的球体相距r，它们之间的万有引力为l0-8N，若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为( )．
A．4×10-8N B．10-8N C．2×10-8N D．10-4N
7．[考点7]关于引力常量G，以下说法中正确的是( )．
A．在国际单位制中，G的单位是N·kg2／m2
B. 在国际单位制中，G的数值等于两个质量各为lkg的物体，相距1m时的相互吸引力
C．在不同星球上，G的数值不一样
D．在不同的单位制中，G的数值不一样
8．[考点5]火星半径约是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1/9，那么地球表面质量为50kg的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的 ．
9．[考点5]应用万有引力公式证明：在星体上物体做自由落体运动的加速度g跟运动物体的质量无关，g的值是由星体质量和运动物体所处的位置所决定的。如果在离地面高度等于地球半径的高空释放一个物体做自由落体运动，它开始运动的加速度是多大?
10.[考点1、2、6]与行星绕太阳运动一样，卫星之所以能绕地球运动也同样是因为它受到地球的引力，假设有一颗人造地球卫星，质量为m.绕地球运行的周期为T．轨道半径为r．则应有．由此有人得出结论：地球对卫星的引力F应与r成正比，你认为该结论是否正确，若不正确错在何处?
高考水平测试
1．[考点4、5]1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星。该小行星的半径为16km．若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R＝6400km，地球表面重力加速度为g．这个小行星表面的重力加速度为( )．
A．400g B. C. 20g D.
2．[考点3、 6]万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律，以下说法中正确的是 ( )．
A． 物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的
B. 人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大
C. 人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供
D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
3．[考点4、5、6]最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运动的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周。仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( )．
A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比
4．[考点3]苹果落向地球，而不是地球向上碰到苹果，对此论断的正确解释是( )．
A．由于地球质量比苹果质量大得多，地球对苹果的引力比苹果对地球的引力大得多造成的
B．由于地球对苹果有引力作用，而苹果对地球无引力作用造成的
C．由于苹果对地球的引力和地球对苹果的引力大小相等。但地球的质量远远大于苹果，地球不能产生明显的加速度
D．以上解释都不对
5．[考点3、4]两个质量均为M的星体，其连线的垂直平分线为AB，0为两星体连线的中点，如图所示，一质量为m的物体从0沿OA方向运动。设A离O足够远，则物体在运动过程中受到两个星球万有引力的合力大小变化情况是( )
A．一直增大 B. 一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小
6．[考点6]两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )．
A．1 B. C. D．
7．[考点5]火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1/9．一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为lOOkg．则在火星上其质量为 kg，重力为 N．
8．[考点2、6]一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量，以之比M:m＝81:1，行星的半径R行与卫星的半径Ｒ卫之比Ｒ行:R卫＝3:6．行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比r:R行＝60:1，设卫星表面的重力加速度为g卫，则在卫星表面有：
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600，上述结果是否正确?若正确，列式证明；若错误，求出正确的结果。
9．[考点6]某球形行星“一昼夜”时间T＝6h，在该行星上用弹簧测力计称同一物体的重量，发现在其“赤道”上的读数比在其“南极”处小9％；若设想该行星自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“飘浮”起来，这时该行星的自转周期多大?
10．[考点3]宇航员在地球表面以一定速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处． (地球表面重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g’；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝l:4，求该星球的质量与地球质量之比Ｍ星:M地．
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