初中数学第22章 一元二次方程综合与测试同步测试题

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1．（3分）（2021•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．﹣3
【解题思路】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【解答过程】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
2．（3分）（2021•竞秀区一模）已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解题思路】根据根的判别式即可求出答案．
【解答过程】解：设常数项为c，
由题意可知：△＝4﹣4×3c＝4﹣12c≥0，
∴c≤13，
故选：D．
3．（3分）（2021•莱芜区三模）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤54B．k≤54且k≠1C．k＜54且k≠1D．k＞54
【解题思路】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答过程】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤54且k≠1．
故选：B．
4．（3分）（2021春•合肥期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，﹣2B．﹣1，0C．1，0D．无法确定
【解题思路】分别把x＝1或x＝﹣2代入方程可得到足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
【解答过程】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，
所以方程的根分别为1或﹣2．
故选：A．
5．（3分）（2021春•安庆期末）据统计11月11日我省单日快递量比平时增加40%，到11月13日到达高峰，单日快递量为平时的3倍，设11日到13日单日快递量平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．0.4（1+2x）＝3
B．0.4×2（1+x）＝3
C．1.4（1+x）2＝3
D．0.4+0.4（1+x）+0.4（1+x）2＝3
【解题思路】根据题意可得：11月11日量×（1+增长率）2＝11月13日快递量，根据等量关系列出方程即可．
【解答过程】解：设11日到13日单日快递量平均增长率为x，，由题意得：
1.4（1+x）2＝3．
故选：C．
6．（3分）（2021秋•泗阳县期中）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是（ ）
A．x1＝7，x2＝﹣4B．x1＝3，x2＝﹣8C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝4
【解题思路】将方程a（x﹣m+2）2+b＝0变形为a（﹣x﹣2+m）2+b＝0，对照已知方程及其根得出﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，解之可得答案．
【解答过程】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，
∴关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0，即a[﹣（x﹣m+2）]2+b＝0，a（﹣x﹣2+m）2+b＝0满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，
解得x1＝﹣7，x2＝4，
故选：D．
7．（3分）（2021春•西山区校级月考）香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（ ）
A．8棵B．9棵C．10棵D．11棵
【解题思路】设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为x棵，由一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”经过两轮传染后有81棵香蕉被传染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为x棵，
依题意得：（1+x）2＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
故选：A．
8．（3分）（2021春•浦江县期末）已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则yx=（ ）
A．12B．2C．3D．9
【解题思路】将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2可得出6（1x）2+20211x+3＝0，由xy≠1，可得出1x，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，再利用根与系数的关系即可求出yx的值．
【解答过程】解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，
∴x≠0．
将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2得6（1x）2+20211x+3＝0．
∵xy≠1，即y≠1x，
∴1x，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，
∴yx=36=12．
故选：A．
9．（3分）（2021•济宁三模）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（ ）
A．线段BHB．线段DNC．线段CND．线段NH
【解题思路】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为5−12，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BH＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DN＝m，则NC＝1﹣m，从而可以用m表示等式．
【解答过程】解：设DN＝m，则NC＝1﹣m．
由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点，
∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．
∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH，
∴1×1=12×1×12+12×1×m+12×12×（1﹣m）+12×52×m，
∴m=5−12．
∵x2+x﹣1＝0的解为：x=−12±52，
∴取正值为x=5−12．
∴这条线段是线段DN．
故选：B．
10．（3分）（2021春•江北区期末）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么17是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
【解题思路】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；用方程M﹣方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出B错误．将x＝7代入方程M中，方程两边同时除以49即可得出17是方程N的一个根，C正确；根据“ca和ac符号相”，即可得出D正确；综上即可得出结论．
【解答过程】解：A、在方程ax2+bx+c＝0中Δ＝b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a＝0中Δ＝b2﹣4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、M﹣N得：（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a﹣c≠0，
∴x2＝1，解得：x＝±1，错误．
C、∵7是方程M的一个根，
∴49a+7b+c＝0，
∴a+17b+149c＝0，
∴17是方程N的一个根，正确；
D、∵ca和ac符号相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021春•当涂县期末）如果（m+n﹣1）（m+n﹣2）＝2，那么m+n的值为 0或3 ．
【解题思路】设m+n＝a，则原方程化为（a﹣1）（a﹣2）＝2，求出a的值，再得出m+n的值即可．
【解答过程】解：设m+n＝a，则原方程化为（a﹣1）（a﹣2）＝2，
整理，得a2﹣3a＝0，
即a（a﹣3）＝0，
a＝0或a﹣3＝0，
解得：a＝0或3，
即m+n＝0或3，
故答案为：0或3．
12．（3分）（2021秋•渭滨区期末）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝ 1 ．
【解题思路】先根据配方法求出m、n的值，再代入计算可得．
【解答过程】解：∵x2+4x＝﹣n，
∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，
又（x+m）2＝3，
∴m＝2，n＝1，
则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
13．（3分）（2021春•沙坪坝区校级期末）若数a使关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程ay−1+31−y=2的解为非负整数，则满足条件的a的值为 ．
【解题思路】先根据一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解可得a的取值范围，再解分式方程ay−1+31−y=2得到y=a−12且y≠1，最后结合非负整数可得答案．
【解答过程】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，
∴22﹣4（﹣6+a）＞0，
即a＜7，
解关于y的分式方程ay−1+31−y=2，可得y=a−12且y≠1，
∵y为非负整数，
∴a−12≥0，且y=a−12≠1，
∴a≥1，且a≠3，
∴a＝1或5，
14．（3分）（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m2n3m−1的值为 3 ．
【解题思路】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再将其代入所求式子即可求解．
【解答过程】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∵Δ＝13＞0，
∴m+n＝﹣3，
∴m3+m2n3m−1=m2(m+n)3m−1=−3m2−m2=3，
故答案为3．
15．（3分）（2021•永州模拟）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是 63 ．
【解题思路】设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x+3），根据十位上的数字比个位上的数字的平方小3，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合x为非负整数即可确定x的值，再将其代入[10（x+279）+x]中即可求出结论．
【解答过程】解：设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x+279）＝（x+3），
依题意得：x2﹣（x+279）＝3，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
又∵x为非负整数，
∴x＝3，
∴10（x+279）+x＝63．
故答案为：63．
16．（3分）（2021春•嘉兴期末）已知两个关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，x2+cx+d＝0有一个公共解2，且a≠c，b≠d，b≠0，d≠0．下列结论：①c−ab−d有唯一对应的值12；②a2+c24≤b+d；③x=12是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2＝0的一个解．其中正确结论的序号是 ①③ ．
【解题思路】将x＝2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b＝0的另一个根为m，x2+cx+d＝0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2＝﹣a，2m＝b，n+2＝﹣c，2n＝d，然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（﹣m﹣2﹣n﹣2）x+2＝0，然后x=12代入方程进行验证，从而判断③．
【解答过程】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，x2+cx+d＝0有一个公共解2，
∴22+2a+b＝0①，22+2c+d＝0②，
②﹣①，得：2（c﹣a）+d﹣b＝0，
2（c﹣a）＝b﹣d，
∴c−ab−d=12，故①正确；
设一元二次方程x2+ax+b＝0的另一个根为m，x2+cx+d＝0的另一个根为n，
∴m+2＝﹣a，2m＝b，n+2＝﹣c，2n＝d，
∴a2﹣4b＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
c2﹣4d＝[﹣（n+2）]2﹣4×2n＝（n﹣2）2≥0，
∴a2﹣4b+c2﹣4d≥0，
∴a2+c2≥4b+4d，
∴a2+c24≥b+d，故②错误；
∵m+2＝﹣a，2m＝b，n+2＝﹣c，2n＝d，
∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2＝0可变形为：（2m+2n）x2+（﹣m﹣2﹣n﹣2）x+2＝0，
当x=12时，左边＝（2m+2n）×（12）2+（﹣m﹣2﹣n﹣2）×12+2＝0＝右边，
∴x=12是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2＝0的一个解，故③正确，
故答案为：①③．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021秋•巴州区校级期中）（1）解方程：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8＝0；
（2）解关于x的方程：x2+2mx+m2﹣1＝0；
【解题思路】（1）设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2﹣2y﹣8＝0，解得y的值，即可得到原方程的根；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答过程】解：（1）设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2﹣2y﹣8＝0
解得：y1＝﹣2，y2＝4
当y＝﹣2时，x2﹣3x＝﹣2，解得x1＝2，x2＝1
当y＝4时，x2﹣3x＝4，解得x1＝4，x2＝﹣1
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝4，x4＝﹣1；
（2）x2+2mx+m2﹣1＝0
（x+m+1）（x+m﹣1）＝0．
则x+m+1＝0或x+m﹣1＝0
解得x1＝﹣m﹣1，x2＝﹣m+1．
18．（6分）（2021•海淀区校级三模）已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．
【解题思路】（1）先计算判别式的意义得到△＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用求根公式解方程得x1＝a，x2＝a﹣2，再根据题意得到a﹣2＜1，从而得到m的范围．
【解答过程】解：（1）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴△＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴方程有两个不等的实数根；
（2）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴△＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴x=−(2a−2)±2−2，
∴x1＝a，x2＝a﹣2，
∵方程只有一个实数根小于1，a﹣2＜a，
∴a﹣2＜1，且a≥1，
∴1≤a＜3．
19．（8分）（2021春•下城区期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k−12）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
【解题思路】（1）先计算△，化简得到△＝（2k﹣3）2，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长；
（3）方程的两个实数根之差等于3，所以=3，解方程即可得k值．
【解答过程】解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k−12）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x=2k+1±(2k−3)2，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k=52，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴=3，
解得：k＝0或3．
20．（8分）（2020秋•历下区期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ①② ；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
【解题思路】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义列出有关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出n的值．
【解答过程】解：（1）①（x﹣1）2＝9
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
②x2+4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
③（x+4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2
所以，属于“同伴方程”的有①②
故答案是：①②；
（2）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2，
当相同的根是x＝0时，则m﹣1＝0，解得m＝1；
当相同的根是x＝2时，则4+6+m﹣1＝0，解得m＝﹣9；
综上，m的值为1或﹣9；
（3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x2＝1，x2＝﹣1；
∵（x+2）（x﹣n）＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝n，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，
∴n＝1或﹣1．
21．（8分）（2021春•庐阳区期末）为了更好的收治新冠肺炎患者，某市计划用810米的建筑材料在一个空地上搭建方舱医院，如图所示是医院的平面图，医院分为三个区，矩形BFHG区用于隔离治疗重症患者，矩形CDEF区用于隔离治疗轻症患者，医护室是正方形AGHE，已知围成轻症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多，设AE＝x米．
（1）用含x的代数式表示：DE＝ 32x米 ，AB＝ （270﹣2x）米 ；
（2）设矩形BFHG的面积为6075平方米，求AE的长．
【解题思路】（1）由四边形ABCD为矩形，利用矩形的对边相等可得出AB＝CD，由围成轻症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多，可得出3AE＝2DE，结合AE＝x米，可得出DE的长，再结合搭建方舱医院的材料总长度为810米，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）由四边形AGHE为正方形，利用正方形的性质可得出AG＝AE＝x米，结合BG＝AB﹣AG可得出BG的长，由矩形BFHG的面积为6075平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答过程】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∵围成轻症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多，
∴AE+GH+BF＝DE+CF，
即3AE＝2DE．
设AE＝x米，则DE=32x米．
∵搭建方舱医院的材料总长度为810米，
∴AB=810−3AE−2DE3=810−3x−2×32x3=（270﹣2x）米．
故答案为：32x米；（270﹣2x）米．
（2）∵四边形AGHE为正方形，
∴AG＝AE＝x米，
∴BG＝AB﹣AG＝270﹣2x﹣x＝（270﹣3x）（米）．
依题意得：x（270﹣3x）＝6075，
整理得：x2﹣90x+2025＝0，
解得：x1＝x2＝45．
答：AE的长为45米．
22．（8分）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝8cm，AB＝83cm．
（1）点P从点A开始沿AC向C点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BA向A点以2cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，经过t秒后，AP的长度为 tcm ，AQ的长度为 （83−2t）cm ．
（2）在（1）的背景下，经过几秒△PAQ的面积等于3cm2．
（3）点P从点A开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动．如果PQ同时出发，经过几秒△BPQ的面积等于6cm2．
【解题思路】（1）根据路程＝速度×时间即可用x表示出AP、AQ的长度；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，求解即可求出答案；
（3）画出图形，根据∠B＝30°求出BP边上的高，根据面积列方程即可得到答案．
【解答过程】解：（1）由题意得得：AP＝tcm，AQ＝AB﹣BQ＝（83−2t）cm，
故答案为：tcm，（83−2t） cm；
（2）设经过t秒，△PAQ的面积等于3cm2，
由题意得，12t（83−2t）＝3，
化简得t2﹣43t+3＝0，
解得t1＝23−3，x2＝23+3，
答：经过（23−3）秒或（23+3）秒，△PAQ的面积等于3cm2；
（3）如图，连结PQ，过Q作QH⊥BP于点H，
∵QH⊥BP，∠B＝30°，
∴QH=12BQ＝t，
而BP＝83−t，
当△BPQ的面积等于6cm2时，12×BP×QH＝6，
∴12×（83−t）×t＝6，
整理得：t2﹣83t+12＝0，
解得：t1＝43+6，t2＝43−6．
答：经过（43+6）秒或（43−6）秒，△BPQ的面积等于6cm2．
23．（8分）（2021•宜昌）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少95m%，求m的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【解题思路】（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则100x+100×30%x+100×20%x＝15000，解得x＝100，可得结论；
（2）由“今年的灌溉用水量比去年减少95m%”可列出等式，进而求出m的值；
（3）分别计算去年因用水量减少所节省的水费和今年的两项投入之和，再进行比较即可．
【解答过程】解：（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则
100x+100×30%x+100×20%x＝15000，
解得x＝100，
∴漫灌用水：100×100＝10000吨，
喷灌用水：30%×10000＝3000吨，
滴灌用水：20%×10000＝2000吨，
∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌试验田用水2000吨．
（2）由题意可得，100×（1﹣2m%）×100×（1﹣m%）+100×（1+m%）×30×（1﹣m%）+100×（1+m%）×20×（1﹣m%）＝15000×（1−95m%），
解得m＝0（舍），或m＝20，
∴m＝20．
（3）节省水费：15000×95m%×2.5＝13500元，
维修投入：300×30＝9000元，
新增设备：100×2m%×100＝4000元，
13500＞9000+4000，
∴节省水费大于两项投入之和．