2021届浙江省丽水、湖州、衢州高三4月教学质量检测（二模）数学试题

丽水、湖州、衢州2021年4月三地市高三教学质量检测试卷

数学试题卷

注意事项：

    1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分

150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，其中为虚数单位，则

A．   B．   C．    D．2

2．已知直线，和平面

A．若，，则    B．若，，则

C．若，，则    D．若，，则

3．函数（）的图象向左平移个单位，所得到图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则的最小值是

A．       B．            C．             D．

4．若整数满足不等式组则的最大值是

A．   B．       C．       D．

5．函数的图象可能是

6．“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是

A．             B．       

C．           D．

7．设，随机变量的分布列是

则当在内增大时，

A．增大                    B．减小

C．先减小后增大           D．先增大后减小

8．某市抽调位医生分赴所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是

A．                           B． 

C．                   D．

9．设是定义在上的奇函数，满足，数列满足，且．则

A．    B．   C．   D．

10．已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有

，则函数的最小值是

A．       B．          C．         D．

第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）

注意事项：

用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．

11．已知函数 则 ▲ ，

函数的单调递减区间是 ▲ ．

12．某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体

的表面积是 ▲ ，体积是 ▲ ．

13．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点

， 则 ▲ ， ▲ ．

14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数和，则是的更为精确的近似值．现第一次用“调日法”:由得到的更为精确的近似值为，则 ▲ ．第二次用“调日法”：由得到的更为精确的近似值为，．．．，记第次用“调日法”得到的更为精确的近似值为．

若，则 ▲ ．

15．设,，若，且的最大值是，则 ▲ ．

16．已知平面向量，若，，，，

则的最大值是 ▲ ．

17．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于两点，且，，则下列结论正确的有 ▲ ．（请填正确的序号，注意：不选、错选得分，漏选得分．）

①双曲线的离心率；        ②双曲线的一条渐近线斜率是；

③线段；                    ④的面积是．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本小题满分14分）

在锐角中，角的对边分别为，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

19.（本小题满分15分）

已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且°，是的中点，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

20.（本小题满分15分）

已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是与的等差中项．数列的前项和为，且．

求证：（Ⅰ）数列是等差数列；

（Ⅱ）．

21.（本小题满分15分）

已知是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，且的最小值和最大值分别为和．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）动点在抛物线上，且在直线的

 右侧．过点作椭圆的两条切线分别交直线于

两点．当时，求点的坐标．

22．（本小题满分15分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（其中为自然对数的底数）

丽水、湖州、衢州2021年4月三地市高三教学质量检测试卷

数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11. ;         12. ;            13. ; 

14. ；        15.          16.          17.  ②④

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本小题满分14分）

在锐角中，角的对边分别为，且．

   （Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

解析：（Ⅰ）由

得-------------------------------------2分

化简-------------------------------------2分

由于为锐角三角形，所以，得，

又，故.-------------------------------------------------7分

（Ⅱ）由正弦定理得，----------------------------9分

得

又，得.---------------------------------11分

由余弦定理得-------------13分

所以.------------------14分

19.（本小题满分15分）

已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形

且，是的中点，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

解析：(Ⅰ)设中点为，连结，如图所示．

由得 ．-----------2分

由是正三角形得．-----------4分

又，故，

因此．-----------6分   

(Ⅱ) 设中点为，平面交于，连结．

设．由得，

由直角梯形得．     

由得，-----------------------------9分

所以为在平面内的射影，

所以为与平面所成的角．--------------------------------11分

     在中，，

由，，得，------------14分

．

所以，直线与平面所成角的正弦值为．---------------------15分 

20.（本小题满分15分）

已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是与的等差中项．数列的前项和为，且,．

求证：（Ⅰ）数列是等差数列；

（Ⅱ）．

解析：（Ⅰ）由已知，

得

设数列的公比为，则，解得或（舍去）

解得.-----------------------------------------------------------------------3分

由，得，

两式相减得，

解得.-----------------------------------------------------------------6分

故，于是为定值，

因此数列是等差数列.-----------------------------------------------7分

（2）因为当时，恒有不等式成立，-----------------------------------10分

所以 ----------------------------------------------12分

      因此

  从而 ．-----------------15分

 (注：用数学归纳法证明酌情给分)

21.（本小题满分15分）

已知是椭圆的左、右焦点，

动点在椭圆上，且的最小值和最大值分别和．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）动点在抛物线上，且在直线的

 右侧．过点作椭圆的两条切线分别交直线于

两点．当时，求点的坐标．

解析：（Ⅰ）由，------------2分

解得，，，------------4分

所以椭圆方程为  -----------5分  

（Ⅱ）不妨设，，，，，

设过点作椭圆的切线方程为，-----------------------7分

由，

得  

由得到，

所以，--------------------------------------9分

令，，

因为，

所以-------------------------------------------12分

解得，

点的坐标为 .----------------------------------------------------------------15分 

22．（本小题满分15分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．（其中为自然对数的底数）

解析：（Ⅰ）当时，所以．---------------------1分

此时，------------------------------------------------------------3分

故，-----------------------------------------------------------------4分

所以所求切线方程为，即．-----------5分

（Ⅱ）由题意得对对任意恒成立．

令，得，----------------------------------------------------------6分

设（），

，

设，则，

所以在递减，故．--------------------------------8分

①当时，，所以在单调递增，

所以满足题意．-------------------------------------------------------------10分

②当时，存在使得，

即且在单调递减，在单调递增，

--------------------------------------12分

所以，即，解得

即，由在递减，

可知．----------------------------------------------------------------14分

综上所述可得．-----------------------------------------------------------------------15分