专题09 解分式方程与含参数的分式方程-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）

2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）

专题09 解分式方程与含参数的分式方程

【典型例题】

1．（2021·广西覃塘·八年级期中）解下列分式方程：

（1）；            （2）．

【答案】（1）x=4；（2）x=3

【分析】

（1）方程两边同时乘以去分母化为整式方程，然后解整式方程即可；

（2））方程两边同时乘以去分母，然后解整式方程即可．

【详解】

解：（1）方程两边同时乘以去分母，得：，

移项得：

∴，

经检验：是原分式方程的解；

（2）方程两边同时乘以去分母，得：，

∴

∴，

经检验：是原分式方程的解．

【点睛】

本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．

2．（2021·湖南溆浦·八年级期中）若关于的分式方程有增根，求的值．

【答案】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，即，代入整式方程计算即可求出的值．

【详解】

解：去分母得：，

由分式方程有增根，得到，即，

把代入整式方程得：．

【点睛】

此本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

【专题训练】

一、选择题

1．（2021·山东东平·八年级期中）已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．﹣5

【答案】D

【分析】

首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

【详解】

解：∵方程有增根，

∴x﹣5＝0，

∴x＝5，

，

去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a，

x＝3x﹣15﹣a，

把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了分式方程的增根，熟知分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值是解本题的关键．

2．（2021·广西覃塘·八年级期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ）

A．1或﹣4或6 B．1或4或﹣6 C．﹣4或6 D．4或﹣6

【答案】A

【分析】

按照解分式方程的步骤，把分式方程化为整式方程，根据整式方程的特点及分式方程的增根情况，即可求得k的值．

【详解】

分式方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得：kx=3(x-2)-2(x+2)

整理得：(k-1)x=-10

当k=1时，上述方程无解，从而原分式方程无解；

当k≠1时，分式方程的增根为2或-2

当x=2时，则有2(k-1)=-10，解得：k=-4；

当x=-2时，则有-2(k-1)=-10，解得：k=6

综上所述，当k的值为1或﹣4或6时，分式方程无解；

故选：A．

【点睛】

本题考查了分式方程无解问题，本题很容易漏掉k=1的情况，这是由于化为一元一次方程后，一次项的系数不是常数．

3．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）如果关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（    ）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】

解分式方程可得x=，求出a为1，2，6，9，18，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的范围，则满足条件的整数a有两个．

【详解】

解：解方程得，x=，

∵x-6≠0，

∴x≠6，

∴≠6，

∴a≠3，

∵有正整数解，
∴整数a=1，2，6，9，18，
解不等式组得，

∴不等式组的解集为：，
∵关于y的不等式组至少有两个偶数解，
∴a-1≤2，
∴a≤3，
∴满足条件的整数a有两个1，2．
故选：C．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解、分式方程的解，有一定难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．

4．（2021·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程＝﹣2的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和是（　　）

A．5 B．6 C．9 D．10

【答案】A

【分析】

先解不等式组，根据不等式组有3个整数解可以确定m的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是整数在取值范围内找到符合条件整数m，再根据增根排除掉使分母为0的根，从而可得答案．

【详解】

解：

解不等式①得，

解不等式②得,

∵不等式组仅有三个整数解，

∴，即，

所以，m的整数值为2、3、4、5

解＝﹣2，

方程两边乘以得：

移项合并同类项得，

∵方程的解是整数，

∴整数或或，

∵时方程有增根，

∴，

∴或，满足条件的整数m的值之和是5．

故选：A．

【点睛】

本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解集，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．

二、填空题

5．（2021·上海·上外附中九年级阶段练习）若关于x的方程无解，则_________．

【答案】

【分析】

先去分母得到整式方程，由于关于x的方程无解，则x-3=0，即x=3，然后把x=3代入即可求出m的值．

【详解】

解：去分母得，

解得，

∵关于x的方程无解.

∴x=3，

∴

∴m=.

故答案为.

【点睛】

此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.

6．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围为________．

【答案】且

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a的范围即可．

【详解】

解：去分母得： ，
解得： ，
由分式方程的解为正数，得到 ，且 ，
解得：a＜-1且a≠-2，
故答案为：且．

【点睛】

此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．（2021·山东莱州·八年级期中）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是 _______．

【答案】m≠﹣1

【分析】

首先去分母，把分式方程化为整式方程，用m表示x，当x﹣1＝0时分式方程有增根，求出m＝﹣1，因此分式方程不会产生增根时m≠﹣1．

【详解】

解：＝，

1+x﹣1＝﹣m，

x＝﹣m，

当x﹣1＝0时分式方程有增根，

∴x＝1，

把x＝1代入x＝﹣m，

得m＝﹣1，

∵分式方程不会产生增根，

∴m≠﹣1，

故答案为：m≠﹣1．

【点睛】

本题主要考查了分式方程有增根的条件，准确计算是解题的关键．

8．（2021·福建省福州第一中学八年级期中）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数a的和为___．

【答案】13

【分析】

解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得到a的范围；解分式方程，根据分式方程有意义和方程有正数解求得a的范围，从而得到2＜a≤6，且a≠5，所以a的整数解为3，4，6，则和为13．

【详解】

解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为≤x＜5，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴1＜≤2，
∴2＜a≤6；
分式方程两边都乘以（x-1）得：ax-2-3=x-1，
解得：x= ，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
∵方程有正数解，
∴＞0，≠1，
∴a＞1，a≠5，
∴2＜a≤6，且a≠5，
∴a的整数解为3，4，6，和为13．

故答案为：13．

【点睛】

考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解题关键是掌握不等式解集的确定，转化思想和解分式方程不要忘记检验．

三、解答题

9．（2021·山东任城·八年级期中）解分式方程：

（1）；           （2）．

【答案】（1）x＝﹣2；（2）该分式方程无解

【详解】

解：（1），

方程同乘x（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3x＝0．

去括号，得2x﹣2﹣3x＝0．

移项，得2x﹣3x＝2．

合并同类项，得﹣x＝2．

x的系数化为1，得x＝﹣2．

经检验：当x＝﹣2时，x（x﹣1）≠0．

∴该分式方程的解为x＝﹣2．

（2），

方程两边同乘x﹣2，得x﹣1＝1+3（x﹣2）．

去括号，得x﹣1＝1+3x﹣6．

移项，得x﹣3x＝1﹣6+1．

合并同类项，得﹣2x＝﹣4．

x的系数化为1，得x＝2．

经检验：当x＝2时，x﹣2＝0．

∴x＝2是该分式方程的增根．

∴该分式方程无解．

【点睛】

本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．

10．（2021·山东·周村二中八年级期中）解方程：

（1）              （2）

【答案】（1）；（2）无解

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

（1）解：，

去分母，得，

去括号，整理得，

解得：，

经检验是原分式方程的解．

∴原分式方程的解为；

（2）解：去分母，得．

去括号，得，

解得．

检验：当时，，因此不是原分式方程的解．

所以原分式方程无解．

【点睛】

本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

11．（2021·湖南隆回·八年级期中）解方程：

（1）＝；             （2）＋＝1

【答案】（1）x=4；（2）x=-3

【分析】

（1）方程两边同时乘以最简公分母x（x+2），解整式方程得到x的值，再检验即可；

（2）方程两边同时乘以最简公分母x2-1，解整式方程得到x的值，再检验即可．

【详解】

解：（1）＝

去分母得2（x+2）=3x，

去括号得2x+4=3x，

移项、合并同类项得x=4，

检验：当x=4时，x（x+2）0，

∴原分式方程的解为x=4；

（2）＋＝1

去分母得（x+1）2+4=x2-1，

去括号得x2+2x+1+4=x2-1，

移项、合并同类项得2x=-6，

系数化为1得x=-3，

检验：当x=-3时，x2-10，

∴原分式方程的解为x=-3．

【点睛】

此题考查解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤是解题的关键，不要忘记检验．

12．（2021·山东东平·八年级期中）解方程．

（1）．          （2）．

【答案】（1）无解；（2）x＝3

【分析】

（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：（1）去分母得：3x﹣（x+2）＝0，

解得：x＝1，

检验：把x＝1代入得：x（x﹣1）＝0，

∴x＝1是增根，分式方程无解；

（2）去分母得：1﹣3（x﹣2）＝1﹣x，

去括号得：1﹣3x+6＝1﹣x，

移项合并得：﹣2x＝﹣6，

解得：x＝3，

检验：把x＝3代入得：x﹣2≠0，

∴x＝3是分式方程的解．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的计算，准确分析计算是解题的关键．

13．（2021·山东莱州·八年级期中）解分式方程：

（1）﹣＝1；            （2）＝﹣2．

【答案】（1）x＝5；（2）原方程无解

【分析】

（1）先把方程两边乘以（x+2）（x﹣2），得到整式方程x（x+2）﹣14＝（x+2）（x﹣2），再解整式方程得x＝5，然后进行检验确定原方程的解；

（2）先把方程两边乘以（x﹣2），得到整式方程1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），再解整式方程得x＝2，然后进行检验确定原方程的解．

【详解】

解：（1）去分母得x（x+2）﹣14＝（x+2）（x﹣2），

解得x＝5，

检验：x＝5时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以x＝5是原方程的解，

所以原方程的解为x＝5；

（2）去分母得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

解得x＝2，

检验：x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是原方程的增根，

所以原方程无解．

【点睛】

此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解过程，易错点容易忽略检验分式方程的解．

14．（2021·山东新泰·八年级期中）解下列方程：

（1）；                 （2）．

【答案】（1）x=0；（2）无解

【分析】

（1）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可；

（2）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可．

【详解】

解：（1）

x=0，

检验：当x=0时，=-40，故x=0是原方程的解，

∴x=0是分式方程的解；

（2）

14x=28

x=2，

检验：当x=2时，=0，故x=2不是原方程的解，

∴原分式方程无解．

【点睛】

此题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤及正确去分母求解是解题的关键，解分式方程不要忽略检验．

15．（2021·贵州思南·八年级期中）解分式方程

（1）；         （2）．

【答案】（1）；（2）无解

【分析】

（1）先将分式转化为整式方程，进行求解，最后检验方程的根；

（2）先将分式转化为整式方程，进行求解，最后检验方程的根．

【详解】

解：（1）

同时乘以，得：

化简得：

解得：

当时，

∴为原分式方程的解；

（2）

同时乘以，得：

化简得：

解得：

当时，

所以，是原分式方程的增根，原分式方程无解．

【点睛】

此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解过程，易错点为忽略检验分式方程的根．

16．（2021·山东潍坊·八年级期中）解方程

（1）        （2）

【答案】（1）；（2）原方程无解

【分析】

（1）方程的两边同乘以化为整式方程，然后求解即可；

（2）将分解因式，原方程化为：然后方程两边同乘以化为整式方程进行求解即可．

【详解】

解：（1）方程的两边同乘以得：，

解得：，                   

经检验，是原方程的解；

（2）将分解因式，原方程化为：

方程两边同乘以得：，               

整理得：

解得：，

检验：当时，

∴是增根，原方程无解．

【点睛】

本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．

17．（2021·福建省福州第一中学八年级期中）解方程：

（1）             （2）

【答案】（1）无解；（2）

【分析】

（1）方程两边同乘最简公分母x-2，化为一元一次方程方程，解方程并检验即可；

（2）方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1)，化为一元一次方程方程，解方程并检验即可．

【详解】

（1）方程两边同乘最简公分母x-2，得：1+3（x-2）=x-1

解得：x=2

检验：当x=2时，x-2=2-2=0

所以x=2是原方程的增根

故原方程无解

（2）方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1)，得：4-（x+2）(x+1)=-(x+1)(x-1)

解得：

检验：当时，(x+1)(x-1)=

故原方程的解为

【点睛】

本题考查了解分式方程，其步骤是：两边乘最简公分母化为整式方程，解整式方程，检验．注意：解分式方程一定要检验．

18．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）已知关于的方程无解，求的值．

【答案】或或

【分析】

直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．

【详解】

解：方程两边同乘以，得：

，

化简得：，

当时，原方程无解，

可能的增根是或，

当时，，当时，，

当或时，原方程唯一的实根是增根，原方程无解，

或或时原方程无解．

【点睛】

本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键．