专题04 等腰三角形中的有关问题-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）
专题04 等腰三角形中的有关的问题
【典型例题】
1．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）若BC的长为10，求△DAF的周长；
（2）若∠DAF=30°，求∠BAC的度数．

【答案】（1）10；（2）105°
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠FAC=∠C，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】
解：（1）∵DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴DA=DB，FA=FC，
∴BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=10，
∴△DAF的周长=DA+FA+DF=10；

（2）∵DA=DB，FA=FC，
∴∠DAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠DAB+∠FAC=∠B+∠C，
∵∠DAF=30°，
∴∠DAB+∠FAC+∠B+∠C=180°-∠DAF=150°，
∴∠DAB+∠FAC=75°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAF+∠FAC=105°．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．


【专题训练】
一、 选择题
1．（2021·浙江北仑·八年级期中）等腰三角形的顶角是40°，则底角的度数为________°．
【答案】70
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
【详解】
解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为=70°．
故答案为：70．
【点睛】
本题考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．
2．（2021·湖北·安陆市陈店乡初级中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为4cm，8cm，则该等腰三角形的周长是______．
【答案】20cm
【分析】
由题意根据等腰三角形的性质分情况讨论即当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况进行求值．
【详解】
解：当腰长为4cm时，4+4=8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4=20cm．
故该三角形的周长为：20cm．
故答案为：20cm．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系.注意已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
3．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 ___．

【答案】2
【分析】
根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．
【详解】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DEAB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵BE＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，求得是解题的关键．
4．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，把△ABC沿DE翻折，使点A与点C重合，要使△BCD也是等腰三角形，且BC=DC，则∠A的度数应为________．

【答案】
【分析】
先根据等腰三角形的性质用∠A表示出∠B及∠ACB的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠ACD=∠A，再根据BC=DC可知∠B=∠BDC，再根据三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵△CDE是△ADE翻折而成，
∴∠ACD=∠A，
∵BC=DC，
∴∠B=∠BDC，
∴∠B=∠ACB=2∠A，
∵∠B+∠ACB+∠A=180°，即5∠A=180°， 解得∠A=36°．
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟知图形翻折变换后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
5．（2021·山东省日照市实验中学八年级期中）在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是___．

【答案】4
【分析】
作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长．
【详解】
解：如图：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BFC'中，C'F＝8×＝4，
∴CE+EF的最小值为4．
故填：4．

【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线的问题、角平分线的性质以及含30度直角三角形的性质等知识点，正确添加辅助线并灵活运用角平分线的性质成为解答本题的问题．
二、解答题
6．（2021·宁夏·石嘴山市星海中学（石嘴山市第三中学星海分校）八年级期中）如图，△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB、AC边．
（1）若∠B＝30°，∠C＝40°，求∠MAN的度数；
（2）若BC＝8cm，求△AMN的周长．

【答案】（1）40°；（2）8cm
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，AN=CN，则∠BAM=∠B=30°，∠CAN=∠C=40°，再由三角形外角的性质可得∠AMN=∠BAM+∠B=60°，∠ANM=∠C+∠CAN=80°，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，AN=CN，则△AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC．
【详解】
解：（1）∵△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB、AC边，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠BAM=∠B=30°，∠CAN=∠C=40°，
∴∠AMN=∠BAM+∠B=60°，∠ANM=∠C+∠CAN=80°，
∴∠MAN=180°-∠AMN-∠ANM=40°；
（2）∵△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB、AC边，
∴AM=BM，AN=CN，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC=8cm

【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能熟练掌握线段垂直平分线的性质．
7．（2021·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校八年级期中）如图，点D、E在△ABC的边上，AD＝AE，BD＝CE．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC和△ADE以外的所有等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC
【分析】
（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据等腰三角形的三线合一，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，从而可证得AB=AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【详解】
（1）证明：过点A作AF⊥BC于点F，如下图：

∵AD=AE，AF⊥BC，
∴DF=EF，
∵BD=CE，
∴BD+DF=EF+CE
即：BF=CF，
又∵AF⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=（180°－108°）÷2=36°．
同理∠ADE=∠AED=72°，
∴∠BAD=∠ADE－∠B=72°－36°=36°，
∴∠B=∠BAD=36°，
∴△ABD是等腰三角形；
同理∠EAC=∠C=36°，
∴△AEC是等腰三角形；
∵∠BAD=36°，∠DAE=36°，
∴∠BAE=∠BEA=72°，
∴△ABE是等腰三角形；
同理∠CAD=∠CDA=72°，
∴△ADC是等腰三角形．
综上所述：除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质．能够掌握辅助线的作法，熟练应用数形结合思想是解题的关键．
8．（2021·江苏南通·八年级期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（90°＜α＜180°）．
（1）AC边上的高 　 　AB边上的高（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若点D，E分别在边AC，AB上，且CE＝BD，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明：如果不相等，请说说理由；
（3）若点D在边AC上，点E在边BA的延长线上，且CE＝BD，当α＝120°时，请直接写出线段AE，AD，AB之间的数量关系．

【答案】（1）＝；（2）AE＝AD，理由见解析；（3）AE﹣AD＝AB，理由见解析．
【详解】
（1）设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，利用面积法证明即可；
（2）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），可得结论；
（3）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝AB．证出AT＝AC，可得结论．
解：（1）过B作BM⊥CA延长线于M，过C作CN⊥BA延长线于N，
设AC边上的高为BM，AB边上的高为CN，
∵S△ABC＝•AC•OM＝•AB•ON，AB＝AC，
∴OM＝ON，
故答案为：＝；

（2）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CN⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BM⊥CA交CA的延长线于M．
∵∠M＝∠N＝90°，
在△ABM和△CAN中

∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴BM＝CN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，
在Rt△BMD和Rt△CNE中

∴Rt△BMD≌Rt△CNE（HL），
∴MD＝NE，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．

（3）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝AB．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，由（2）得AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′
∵AT=E′T-AE′=ET-AD
∴AE=AT+AT+AD=2AT+AD，，
∵∠BAC=120°，
∴∠EAC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∵CT⊥AE，
∴∠TCA=90°-∠TAC=90°-60°=30°，
∴AT＝AC，
∵AB＝AC，
∴AE﹣AD＝2AT＝AB．

【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，线段和差，掌握等腰三角形的性质，三角形面积，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，线段和差是解题关键．
9．（2021·福建顺昌·八年级期中）如图，将一块含有30°的直角三角板放置在平面直角坐标系中，∠OAB=60°，已知点A的坐标为（3，0）．点P、Q分别是x轴和线段AB上的动点，它们同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向x轴的负方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示AP= ；AQ= ．
（2）当t为何值时，△APQ是等边三角形；
（3）若△APQ是直角三角形，求点P的坐标．

【答案】（1）2t，6-t ；（2）2；（3）P的坐标为（﹣3，0）或（，0）
【分析】
（1）由题意知OA＝3，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，得出AB的长度，得到AP＝2t，BQ＝t，AQ＝AB－BQ即可得出答案；
（2）由等边三角形的判定得AP=AQ，即可得出答案；
（3）分两种情况去讨论当PQ⟘AB时和当PQ⟘OA时，分别计算即可．
【详解】
解：（1）∵A(3，0)
∴OA＝3，
∵∠OAB＝60°，OA⟘OB，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
∵点P以每秒2个单位长度的速度从点A向x轴的负方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，设运动时间为t秒，
∴AP＝2t，BQ＝t，AQ＝AB－BQ＝6－t，
故答案为：2t；6-t．
（2）由（1）可知，
AP＝2t，AQ＝6－t，
要使△APQ是等边三角形则AP＝AQ，
∴2t＝6-t
即t＝2
∴当t＝2时，△APQ是等边三角形；
（3）若△APQ是直角三角形，有两种情况：
①当PQ⟘AB时，∠QPA=30°，如图

AP＝2AQ，即2t=2(6-t)
解得：t＝3，此时AP＝6＞3，点P在x轴的负半轴，
∴OP＝AP－OA＝6－3＝3，
∴P（﹣3，0），
②当PQ⟘OA时，∠PQA＝30°，如图

AQ＝2AP，即6-t＝2∙2t
解得：t=，AP＝，点P在x的正半轴，
OP＝OA －AP＝，
此时P（，0），
综上所述：当△APQ是直角三角形时，P的坐标为（﹣3，0）或（，0）．
【点睛】
本题考查了坐标轴上动点问题，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，等边三角形的判定，直角三角的分类讨论情况，熟练各性质定理是解题的关键．
10．（2021·吉林·永吉县教师进修学校八年级期中）在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．


【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立
【分析】
（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可；
（2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可；
（3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°．
【详解】
解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，
即∠2=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠4=∠5，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠4=∠6=45°，
∴∠5=45°，
∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°，
即BC⊥CE；


（2）成立.理由是：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，
即∠2=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACE=135°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°，
即BC⊥CE；


（3）成立
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°．

【点睛】
本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键．
11．（2021·辽宁甘井子·八年级期中）如图，，都是等边三角形，，．


（1）求证：；
（2）猜想，的位置关系，并证明；
（3）若将“，”改为“，”，其他条件不变，请直接写出的度数__________（用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】
利用等边三角形的性质，可以得出边角对应相等，即可得出，证得等边；
利用已知条件中角的关系，进行角度转化，同时利用“8”字模型得出，最终证得；
利用（2）中证明过程，将条件变为，代入，即可得出角度的代数式．
【详解】
证明：如图所示，

∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴．
∴，
∴，
∴．
（2）猜想：．
证明：∵，
∴．
∵在和中，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴在中，．
∴


∴．
（3）由（2）得：∵，，
∴．
∴在中，．
∴

．
【点睛】
本题主要考察的是等边三角的证明，利用等边三角形的性质，进行全等三角形的证明，角度的转化求解是解题的关键．
12．（2021·广西·河池市宜州区教育局教学研究室八年级期中）如图，在等边△ABC中，AB=6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，直接写出t的值．

【答案】（1）6秒；（2）或；（3）8秒
【分析】
（1）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可；
（2）分别就和列方程求解可得；
（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值．
【详解】
解：（1）设点、运动秒后，、两点重合，
，
解得：，
∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合；
（2）当点在上运动时，如图2，

若，
， ，
，
，
，即，
解得；
如图3，若，

由得，
解得．
综上所述，当为或时， 是直角三角形；
（3）当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时、两点重合，恰好在处，
如图4，假设是等腰三角形，

，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，， ，
，
，
，
解得，符合题意．
所以假设成立，当、运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键．