高中物理人教版 (新课标)选修39 带电粒子在电场中的运动导学案

这是一份高中物理人教版 (新课标)选修39 带电粒子在电场中的运动导学案，共7页。学案主要包含了带电微粒在重力作用下的运动，带电粒子在偏转过程中的能量变化，等效法在电场中的应用，带电粒子在交变电场中的加速等内容，欢迎下载使用。


1．对下列物理公式的理解，其中正确的是( )
A．由公式a=eq \f(v,t)可知，加速度a由速度的变化量v和时间t决定
B．由公式a=eq \f(F,m)可知，加速度a由物体所受合外力F和物体的质量m决定
C．由公式E=eq \f(F,q)可知，电场强度E由电荷受到的电场力F和电荷的电荷量q决定
D．由公式C=eq \f(Q,U)可知，电容器的电容C由电容器所带电荷量Q和两极板间的电势差U决定
答案 B
解析 A、C、D三项均为比值法定义，且只是计算式，而不是决定式，故A、C、D错误；只有B正确．
2．某平行板电容器的电容为C，带电荷量为Q，相距为d，今在板间中点放一电荷量为q的点电荷，则它所受到的电场力的大小为( )
A.eq \f(2kQq,d2) B.eq \f(4kQq,d2) C.eq \f(Qq,Cd) D.eq \f(2Qq,Cd)
答案 C
解析 由U=eq \f(Q,C)，E=eq \f(U,d)，F=Eq得：F=eq \f(Qq,Cd).
3. 电子电荷量为e，质量为m，以速度v0沿着电场线射入场强为E的匀强电场中，如图1所示，电子从A点入射到达B点速度为零，则A、B两点的电势差为________；A、B间的距离为________．
图1
答案 eq \f(mv\\al(2,0),2e) eq \f(mv\\al(2,0),2eE)
解析 由分析知，电子进入电场，只在电场力作用下运动，所以电场力对电子做负功．由动能定理得：
0-eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)=-Ue，U=eq \f(mv\\al(2,0),2e)
又U=Ed，d=eq \f(U,E)=eq \f(mv\\al(2,0),2eE).
一、带电微粒在重力作用下的运动
带电微粒不同于带电粒子；它的质量较大，重力不能忽略，因此带电微粒在电场中至少受两个力作用．
【例1】 两平行金属板A、B水平放置，一个质量为m=510-6 kg的带电微粒，以v0=2 m/s的水平速度从两板正中央位置射入电场，如图2所示，A、B两板间距离为d=4 cm，板长l=10 cm.
(1)当A、B间的电压为UAB=1 000 V时，微粒恰好不偏转，沿图中虚线射出电场，求该粒子的电荷量和电性．
(2)令B板接地，欲使该微粒射出偏转电场，求A板所加电势的范围
图2
导思1.eq \x(\a\al(沿直线,运动))eq \(――→,\s\up7(要求))eq \x(\a\al(竖直方向,合力为零))―→eq \x(mg=q\f(UAB,d))
2.eq \x(\a\al(恰好穿出,偏转电场))―→水平穿过平行板的同时竖直位移y=±
解析 (1)当UAB= 1 000 V时，重力跟电场力相等，微粒才沿初速度v0方向做匀速直线运动，故qeq \f(UAB,d)=mg，q=eq \f(mgd,UAB)=210-9C；重力方向竖直向下，电场力方向竖直向上，而场强方向竖直向下(UAB＞0)，所以粒子带负电．
(2)当qE＞mg时，带电粒子向上偏，从右上边缘M点飞出，如图所示，设此时A=1，因为B=0，所以UAB=1，电场力和重力都沿竖直方向，粒子在水平方向做匀速直线运动，速度vx=v0；在竖直方向a=eq \f(q1,md)-g，侧位移y=eq \f(d,2)，所以eq \f(1,2)d=eq \f(1,2)at2，t=eq \f(l,v0)，代入a和t解得1=eq \f(mv\\al(2,0)d2+mgdl2,ql2)=2 600 V．当qE＜mg时，带电微粒向下偏转，设A=2，则竖直方向a′=g-eq \f(q2,md)，同理可得2=600 V，故欲使微粒射出偏转电场，A板电势的范围为600 V≤A≤2 600 V.
答案 (1)210-9 C 负电 (2)600 V≤A≤2 600 V
变式训练1 如图3所示，水平放置的平行板间的匀强电场正中间的P点有一个带电微粒正好处于静止状态，如果将平行带电板改为竖直放置，带电微粒的运动将是( )
图3
A．继续保持静止状态
B．从P点开始做自由落体运动
C．从P点开始做平抛运动
D．从P点开始做初速度为零、加速度为eq \r(2)g的匀加速直线运动
答案 D
解析 对微粒进行受力分析可知：mg=Eq,若将平行板改为竖直，则微粒受力F=eq \r(mg2+Eq2)=eq \r(2)mg,所以微粒将做初速度为零的匀加速直线运动，a=eq \r(2)g.
方法总结 有关带电粒子的重力是否忽略问题
若所讨论的问题，带电粒子受到的重力远远小于电场力，即mg≪qE，则可忽略重力的影响．譬如：一电子在电场强度为4.0103 V/m的电场中，它所受到的电场力的大小为F=eE=6.410-16 N，它所受到的重力G=mg≈8.910-30 N，eq \f(G,F)≈1.410-14.可见，重力在此问题中的影响微不足道，完全可以略去不计．此时若考虑了重力，反而会给问题的解决带来不必要的麻烦．要指出的是，忽略粒子的重力并不是忽略粒子的质量．反之，若带电粒子所受的重力跟电场力可以比拟，譬如：在密立根油滴实验中，带电油滴在电场中受力平衡，显然这时就必须考虑重力了．若再忽略重力，油滴平衡的依据就不存在了．总之，是否考虑带电粒子的重力要根据具体情况而定，一般说来：(1)基本粒子：如电子、质子、粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．(2)带电粒子：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．
二、带电粒子在偏转过程中的能量变化
粒子动能的变化由动能定理求解．关键是正确的求出各力做功的代数和；粒子电势能的变化等于电场力做的功，关键点是把电场力做的功找准求对．
例2 一个初动能为Ek的带电粒子以速度v垂直电场线方向飞入两块平行金属板间，飞出时动能为3Ek.如果这个带电粒子的初速度增加到原来的2倍，不计重力，那么该粒子飞出时动能为( )
A．4Ek B．4.5Ek
C．6Ek D．9.5Ek
解析 带电粒子做类平抛运动，平行于极板方向的速度大小不变，带电粒子通过电场的时间变为原来的eq \f(1,2)，沿电场方向的位移变为原来的eq \f(1,4)，电场力做功变为原来的eq \f(1,4).
由动能定理得Ek′=qEy′=eq \f(1,4)yqE ①
原速飞过时由动能定理有Ek=3Ek-Ek=qEy ②
而Ek′=Ek末′-4Ek ③
解得Ek末′=4.5 Ek
答案 B
变式训练2 如图4所示，O1O2为带电平行板电容器的中轴线，三个相同的带电粒子沿轴线射入两板间．粒子1打到B板的中点，粒子2刚好打在B板边缘，粒子3从两板间飞出，设三个粒子只受电场力作用，则( )
图4
A．三个粒子在电场中运动时间关系为t1＜t2=t3
B．三个粒子在电场中运动时间关系为t1=t2＞t3
C．三个粒子在电场中运动的初速度关系为v1=v2=v3
D．三个粒子在飞行过程中动能的变化量关系为E1=E2=E3
答案 B
解析 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a，由y=eq \f(1,2)at2可判断出t1=t2＞t3，故A错误，B正确；水平方向做匀速直线运动，结合x=vt可判断出v1＜v2＜v3，所以C错误；由动能定理知qEy=Ek，故E1=E2＞E3，故D错误．
方法总结 电场力做的功等于qEy，y是粒子在竖直方向的偏转量，y不一定等于eq \f(d,2)(d为两板间距)．
三、等效法在电场中的应用
等效方法的实质是在力的作用效果相同的前提下相互替代，其优点是将非理想模型转化为理想模型，使复杂问题变得简单．
带电体在匀强电场中受恒定电场力和重力，可根据力的独立作用原理分别研究每一种力对物体的作用效果；也可以求出电场力和重力的合力，即“等效重力”，再与重力场中的力学问题进行类比解答．
例3 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图5所示，珠子所受静电力是其重力的eq \f(3,4)，将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则：
(1)珠子所能获得的最大动能是多大？
(2)珠子对环的最大压力是多大？
图5
解析 (1)因为qE=eq \f(3,4)mg，所以qE、mg的合力F合与竖直方向的夹角的正切值tan =eq \f(qE,mg)=eq \f(3,4)，即=37，则珠子由A点静止释放后从A到B过程中做加速运动，如下图所示，B点动能最大，由动能定理得：qErsin -mgr(1-cs )=Ek，解得B点动能即最大动能Ek=eq \f(1,4)mgr.
(2)设珠子在B点受圆环弹力为FN，有FN-F合=eq \f(mv2,r)，即FN=F合+eq \f(mv2,r)=eq \r(mg2+qE2)+eq \f(1,2)mg=eq \f(5,4)mg+eq \f(1,2)mg=eq \f(7,4)mg.
由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力也为eq \f(7,4)mg.
答案 (1)eq \f(1,4)mgr (2)eq \f(7,4)mg
变式训练3 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为，如图6所示，现给小球一个初速度v0，使小球能在竖直平面内做圆周运动．试问：小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值为多大？
图6
答案 A点速度最小 vA= eq \r(v\\al(2,0)-\f(4gl,cs )).
解析 重力跟电场力的合力为：eq \f(mg,cs )，从B到A的过程由动能定理得：- eq \f(mg,cs )2l=eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)-eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
解得：vA= eq \r(v\\al(2,0)-\f(4gl,cs )).
方法总结 因为小球在B点时静止，所以小球在B点受力平衡，对小球进行受力分析，小球受重力mg、拉力FT和电场力F作用．当小球向上转时，拉力不做功，只有重力和电场力做功，并且重力和电场力始终不变，所以我们可以将小球所受的重力和电场力看做一个力，即这两个力的合力．这样就可以把这个问题转换成一个我们所熟悉的圆周运动来处理了，这个合力就相当于只有重力在小球上做功时的“重力”了，那么平衡点B就相当于小球运动的最低点，A点就相当于小球运动的最高点，此即为小球速度最小的位置．
四、带电粒子在交变电场中的加速
交变电场作用下粒子的电场力方向发生改变，从而影响粒子的运动性质，要分段研究．同时还要注意：由于电场力周期性变化，粒子的运动性质也具有周期性．
例4 如图7甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U0，反向值也为U0.现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO′的速度v0=eq \f(\r(3)qU0T,3dm)射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响．求：粒子射出电场时的位置离O′点的距离范围及对应的速度．

图7
解析 (1)当粒子由t=nT时刻进入电场，向下侧移最大，则y1=eq \f(qU0,2dm) (eq \f(2T,3))2 + eq \f(qU0,dm) (eq \f(2T,3) ) eq \f(T,3) - eq \f(qU0,2dm) (eq \f(T,3))2 = eq \f(7qU0T2,18dm)
当粒子由t=nT+eq \f(2T,3)时刻进入电场，向上侧移最大，则：y2=eq \f(qU0,2dm)(eq \f(T,3))2=eq \f(qU0T2,18dm)
在距离O′中点下方eq \f(7qU0T2,18dm)至上方eq \f(qU0T2,18dm)范围内有粒子射出．射出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为：vy=eq \f(U0q,dm)eq \f(T,3)=eq \f(U0qT,3dm)，所以射出速度大小为：
v=eq \r(v\\al(2,0)+v\\al(2,y))= eq \r(\f(\r(3)U0qT,3dm)2+\f(U0qT,3dm)2)=eq \f(2U0qT,3dm)
设速度方向与v0的夹角为，则：tan =eq \f(vy,v0)=eq \f(1,\r(3))，所以=30.
答案 在距离O′中点下方eq \f(7qU0T2,18dm)至上方eq \f(qU0T2,18dm)范围内有粒子射出，速度大小为eq \f(2U0qT,3dm)，方向与v0的夹角为30斜向下．
变式训练4 如图8甲所示，A、B是在真空中平行放置的金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀强电场．A、B两板间距离d=15 cm.今在A、B两极加上如图乙所示的电压，交变电压的周期T=1.010-6s；t=0时，A板电势比B板电势高，电势差U0=
1 080 V．一个比荷eq \f(q,m)=1.0108 C/kg的带负电粒子在t=0时从B板附近由静止开始运动，不计重力．问：
(1)当粒子的位移为多大时，粒子速度第一次达到最大值？最大速度为多大？
(2)粒子运动过程中将与某一极板相碰撞，求粒子撞击极板时的速度大小．
图8
答案 (1)4.010-2m 2.4105 m/s
(2)2.08105 m/s
解析 根据题意作出带电粒子在交变电场中运动的v-t图象，如右图所示．
(1)带负电的粒子在电场中加速或减速的加速度大小为：a=eq \f(qU0,md)=7.21011m/s2
由v-t图象可知当粒子的位移x=eq \f(1,2)a(eq \f(T,3))2=4.010-2m时，速度有最大值，最大值为v=at=2.4105 m/s.
(2)一个周期内粒子运动的位移为：x0=2eq \f(1,2)a(eq \f(T,3))2-2eq \f(1,2)a(eq \f(T,6))2=6.010-2 m
因为n=eq \f(d,x0)=2.5，在前两个周期内粒子运动的位移x2=2x0=1210-2m，由此可以判断粒子在第三个周期内与A板碰撞，在第三周期内粒子只要运动x=3 cm即与A板碰撞，可知在第三周期的前eq \f(T,3)内某时刻就与A板碰撞．
与A板碰撞的速度为：v=eq \r(2ax)=2.08105 m/s.
方法总结 解决带电粒子在交变电场中的运动问题时最好采用v-t图象进行分析，这样可以将粒子的运动情况清楚地反映出来，有利于解题．
【即学即练】
1. 如图9所示，有一质量为m、带电荷量为q的油滴，被置于竖直放置的两平行金属板间的匀强电场中，设油滴是从两板中间位置，并以初速度为零进入电场的，可以判定( )
图9
A．油滴在电场中做抛物线运动
B．油滴在电场中做匀加速直线运动
C．油滴打在极板上的运动时间只决定于电场强度和两板间距离
D．油滴打在极板上的运动时间不仅决定于电场强度和两板间距离，还决定于油滴的比荷
答案 BD
解析 油滴受重力和电场力作用，且两个力大小方向均恒定，即油滴受到恒定的合外力作用，且初速度为0，所以粒子沿合力方向做匀加速直线运动，B项正确；粒子打到极板上的时间由水平方向位移eq \f(d,2)=eq \f(1,2)at2决定，t= eq \r(\f(dm,qE))，故D选项正确．
2. 一平行板电容器中存在匀强电场，电场沿竖直方向．两个比荷不同的带正电的粒子a 和b从电容器中的P点(如图10所示)以相同的水平速度射入两平行板之间，测得a和b与电容器极板的撞击点到入射点之间的水平距离之比为1∶2.若不计重力，则a和b的比荷之比是( )
图10
A．1∶2 B．1∶8
C．2∶1 D．4∶1
答案 D
解析 两带电粒子都做类平抛运动，在水平方向上做匀速运动，有x=v0t；在竖直方向上做匀加速运动，有y=eq \f(1,2)at2=eq \f(qE,2m)t2，整理得eq \f(q,m)=eq \f(2yv\\al(2,0),Ex2)，因为场强E相同，初速度v0相同，偏移量y相同，所以比荷与水平位移的平方成反比，故选项D正确．
3. 如图11所示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球，从平行板电场中的中点P以相同的初速度垂直于电场方向进入电场，它们分别落在A、B、C三点，可以判断( )
图11
A．落在A点的小球带正电，落在B点的小球不带电
B．三个小球在电场中运动的时间相等
C．三个小球到达极板时的动能关系为EkA＞EkB＞EkC
D．三个小球在电场中运动时的加速度关系为aA＞aB＞aC
答案 A
解析 因三球水平速度相同，但水平位移不同，说明tA＞tB＞tC；由竖直方向y=eq \f(1,2)at2，y相同则可得出aA＜aB＜aC，所以A点必为带正电小球，aA=eq \f(mg-qE,m)，落于B点的小球不带电，aB=eq \f(mg,m)=g，落于C点的小球带负电，aC=eq \f(mg+qE,m)；由合外力FA＜FB＜FC，竖直位移相同，故WA合＜WB合＜WC合，由动能定理，可得EkC＞EkB＞EkA.