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四川省泸州市龙马潭区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题(word版 含答案)
展开这是一份四川省泸州市龙马潭区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题(word版 含答案),共29页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省泸州市龙马潭区九年级(上)期末
数学试卷(附答案与解析)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分
1.(3分)已知⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为6,那么点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定
2.(3分)下列交通标志中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)抛物线y=(x﹣2)2+3的顶点坐标是( )
A.(﹣2,3) B.(2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3)
4.(3分)下列说法中错误的是( )
A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件
B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件
C.“抛一枚硬币,正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
5.(3分)若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤4 C.a≤1 D.a≥1
6.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点O是△ABC的外心,则∠BOC的度数为( )
A.40° B.60° C.70° D.80°
7.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是( )
A.(x﹣6)2=﹣4+36 B.(x﹣6)2=4+36
C.(x﹣3)2=﹣4+9 D.(x﹣3)2=4+9
8.(3分)如图,圆锥体的高h=2cm,底面圆半径r=2cm,则圆锥体的全面积为( )cm2.
A.12π B.8π C.4π D.(4+4)π
9.(3分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,EC与⊙O相切于点C,∠ECB=35°,则∠D的度数是( )
A.145° B.125° C.90° D.80°
10.(3分)抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为( )
A.x=1 B.x1=1,x2=﹣1 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=1,x2=﹣3
11.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点,∠CDB=30°,CD=4,则阴影部分的面积为( )
A.π B.4π C.π D.π
12.(3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0
②4a+2b+c>0
③4ac﹣b2<8a
④<a<
⑤b>c.
其中含所有正确结论的选项是( )
A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤
二、填空题:本大题共4个小题,每小题3分共12分
13.(3分)在半径为3的圆中,60°的圆心角所对的劣弧长等于 .
14.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n= .
15.(3分)已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是 .
16.(3分)如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连接GF,给出下列结论:①∠AGD=110.5;②2tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BF=OF;⑥S△OGF=1,则正方形ABCD的面积是12+8,其中正确的是 .(只填写序号)
三、解答题:本大题共3个小题,每小题6分,共18分
17.(6分)解方程:3x2﹣1=4x.
18.(6分)如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,连接DE.
求证:△BDE≌△BCE;
19.(6分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位,画出平移后得到的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2,并直接写出点B2、C2的坐标.
四、本大题共2个小题,每小题7分,共14分
20.(7分)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:
方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
21.(7分)某校要求八年级同学在课外活动中,必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练,为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况,现以八年级2班作为样本,对该班学生参加球类活动的情况进行统计,并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图:
八年级2班参加球类活动人数统计表
项目
篮球
足球
乒乓球
排球
羽毛球
人数
a
6
5
7
6
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)该校八年级学生共有600人,则该年级参加足球活动的人数约 人;
(3)该班参加乒乓球活动的5位同学中,有3位男同学(A,B,C)和2位女同学(D,E),现准备从中选取两名同学组成双打组合,用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.
五、解答题:本大题共2个小题,每小题8分,共16分
22.(8分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)
23.(8分)已知关于x的一元二次方程x²﹣mx+m﹣1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)当x12+x22=6x1x2+1时,求m的值.
六、解答题:本大题共2个小题,每小题12分,共24分。
24.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BC=BF,⊙O是△BEF的外接圆,连接BD.
(1)证明:△CAB≌△FEB;
(2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)当AB=BE=2时,求⊙O的面积.
25.(12分)已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
(3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
2020-2021学年四川省泸州市龙马潭区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分
1.(3分)已知⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为6,那么点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.
【解答】解:∵⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为6,
∴点P到圆心O的距离大于圆的半径,
∴点P在⊙O外.
故选:C.
2.(3分)下列交通标志中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形;
C、是轴对称图形,也是中心对称图形;
D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.
故选:C.
3.(3分)抛物线y=(x﹣2)2+3的顶点坐标是( )
A.(﹣2,3) B.(2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3)
【分析】由抛物线的顶点式y=(x﹣h)2+k直接看出顶点坐标是(h,k).
【解答】解:∵抛物线为y=(x﹣2)2+3,
∴顶点坐标是(2,3).
故选:B.
4.(3分)下列说法中错误的是( )
A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件
B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件
C.“抛一枚硬币,正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
【分析】直接利用随机事件的定义结合概率的意义分别分析得出答案.
【解答】解:A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件,正确,不合题意;
B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件,正确,不合题意;
C.“抛一枚硬币,正面向上的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“正面向上”这一事件发生的频率稳定在附近,此选项错误,符合题意;
D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近,正确.
故选:C.
5.(3分)若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤4 C.a≤1 D.a≥1
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则根的判别式△≥0,据此可以列出关于a的不等式,通过解不等式即可求得a的值.
【解答】解:因为关于x的一元二次方程有实根,
所以Δ=b2﹣4ac=4﹣4a≥0,
解之得a≤1.
故选:C.
6.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点O是△ABC的外心,则∠BOC的度数为( )
A.40° B.60° C.70° D.80°
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数,然后根据圆周角定理可得∠O=2∠A,进而可得答案.
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=70°,
∴∠A=180°﹣70°×2=40°,
∵点O是△ABC的外心,
∴∠BOC=40°×2=80°,
故选:D.
7.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是( )
A.(x﹣6)2=﹣4+36 B.(x﹣6)2=4+36
C.(x﹣3)2=﹣4+9 D.(x﹣3)2=4+9
【分析】根据配方法,可得方程的解.
【解答】解:x2﹣6x﹣4=0,
移项,得x2﹣6x=4,
配方,得(x﹣3)2=4+9.
故选:D.
8.(3分)如图,圆锥体的高h=2cm,底面圆半径r=2cm,则圆锥体的全面积为( )cm2.
A.12π B.8π C.4π D.(4+4)π
【分析】表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2.
【解答】解:底面圆的半径为2,则底面周长=4π,
∵底面半径为2cm、高为2cm,
∴圆锥的母线长为4cm,
∴侧面面积=×4π×4=8π;
底面积为=4π,
全面积为:8π+4π=12πcm2.
故选:A.
9.(3分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,EC与⊙O相切于点C,∠ECB=35°,则∠D的度数是( )
A.145° B.125° C.90° D.80°
【分析】连接BD,由AB是⊙O的直径,得∠ADB=90°,再由EC与⊙O相切于点C,∠ECB=35°,知∠BDC=35°,从而得出∠D的度数.
【解答】解:连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵EC与⊙O相切,∠ECB=35°,
∴∠BDC=35°,
∴∠D=∠ADB+∠BDC=90°+35°=125°,
故选:B.
10.(3分)抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为( )
A.x=1 B.x1=1,x2=﹣1 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=1,x2=﹣3
【分析】直接观察图象,抛物线与x轴交于1,对称轴是直线x=﹣1,所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标,从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解.
【解答】解:观察图象可知,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为(1,0),对称轴为直线x=﹣1,
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(﹣3,0),
∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=1,x2=﹣3.
故选:D.
11.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点,∠CDB=30°,CD=4,则阴影部分的面积为( )
A.π B.4π C.π D.π
【分析】首先证明OE=OC=OB,则可以证得△OEC≌△BED,则S阴影=半圆﹣S扇形OCB,利用扇形的面积公式即可求解.
【解答】解:连接BC.
∵∠COB=2∠CDB=60°,
又∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形.
∵E为OB的中点,∴CD⊥AB,
∴∠OCE=30°,CE=DE,
∴OE=OC=OB=2,OC=4.
S阴影==.
故选:D.
12.(3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0
②4a+2b+c>0
③4ac﹣b2<8a
④<a<
⑤b>c.
其中含所有正确结论的选项是( )
A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号,从而判断①;根据对称轴得到函数图象经过(3,0),则得②的判断;根据图象经过(﹣1,0)可得到a、b、c之间的关系,从而对②⑤作判断;从图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间可以判断c的大小得出④的正误.
【解答】解:①∵函数开口方向向上,
∴a>0;
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号,
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,
故①正确;
②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,
∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x=2时,y<0,
∴4a+2b+c<0,
故②错误;
③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),
∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,
∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,
∵对称轴为直线x=1
∴=1,即b=﹣2a,
∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,
∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0
∵8a>0
∴4ac﹣b2<8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,
∴﹣2<c<﹣1
∴﹣2<﹣3a<﹣1,
∴>a>;
故④正确
⑤∵a>0,
∴b﹣c>0,即b>c;
故⑤正确;
故选:D.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题3分共12分
13.(3分)在半径为3的圆中,60°的圆心角所对的劣弧长等于 π .
【分析】把已知数据代入弧长公式计算,得到答案.
【解答】解:半径为3的圆中,60°的圆心角所对的劣弧长==π,
故答案为:π.
14.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n= ﹣10 .
【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,求出即可.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,
∴﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,
解得:m=﹣2,n=﹣8,
∴m+n=﹣10,
故答案为:﹣10.
15.(3分)已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是 1 .
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形,设△ABC的内切圆切AC于E,切AB于F,切BC于D,连接OE、OF、OD、OA、OC、OB,内切圆的半径为R,则OE=OF=OD=R,根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案.
【解答】解:
∵a=3,b=4,c=5,
∴a2+b2=c2,
∴∠ACB=90°,
设△ABC的内切圆切AC于E,切AB于F,切BC于D,连接OE、OF、OD、OA、OC、OB,内切圆的半径为R,则OE=OF=OD=R,
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC,
∴×AC×BC=×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD,
∴3×4=4R+5R+3R,
解得:R=1.
故答案为:1.
16.(3分)如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连接GF,给出下列结论:①∠AGD=110.5;②2tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BF=OF;⑥S△OGF=1,则正方形ABCD的面积是12+8,其中正确的是 ④⑤⑥ .(只填写序号)
【分析】①由四边形ABCD是正方形,可得∠GAD=∠ADO=45°,又由折叠的性质,可求得∠ADG的度数,从而求得∠AGD;
②利用∠GAD与∠ADG度数求得∠AED度数可得;
③证△AEG≌△FEG得AG=FG,由FG>OG即可得;
④由折叠的性质与平行线的性质,易得△AEG是等腰三角形,由AE=FE、AG=FG即可得证;
⑤设OF=a,先求得∠EFG=45°,从而知BF=EF=GF=OF;
⑥由S△OGF=1求出GF的长,进而可得出BE及AE的长,利用正方形的面积公式可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠GAD=∠ADO=45°,
由折叠的性质可得:∠ADG=∠ADO=22.5°,
∴∠AGD=180°﹣∠GAD﹣∠ADG=112.5°,
故①错误.
∵∠AED=180°﹣∠EAD﹣∠ADE=67.5°,
∴tan∠AED≠1,
则2tan∠AED≠2,故②错误;
由折叠的性质可得:AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,
在△AEG和△FEG中,
∵,
∴△AEG≌△FEG(SAS),
∴AG=FG,
在Rt△GOF中,∵AG=FG>GO,
∴S△AGD>S△OGD,故③错误;
∵∠AGE=∠GAD+∠ADG=67.5°=∠AED,
∴AE=AG,
又AE=FE、AG=FG,
∴AE=EF=GF=AG,
∴四边形AEFG是菱形,故④正确;
设OF=a,
∵四边形AEFG是菱形,且∠AED=67.5°,
∴∠FEG=∠FGE=67.5°,
∴∠EFG=45°,
又∠EFO=90°,
∴∠GFO=45°,
∴GF=EF=a,
∵∠EFO=90°,∠EBF=45°,
∴BF=EF=GF=a,即BF=OF,故⑤正确;
∵S△OGF=1,
∴OG2=1,即a2=1,
则a2=2,
∵BF=EF=a,且∠BFE=90°,
∴BE=2a,
又AE=EF=a,
∴AB=AE+BE=2a+a=(2+)a,
则正方形ABCD的面积是(2+)2a2=(6+4)×2=12+8,
故⑥正确;
故答案为:④⑤⑥.
三、解答题:本大题共3个小题,每小题6分,共18分
17.(6分)解方程:3x2﹣1=4x.
【分析】对原方程进行移项,找出a、b、c的值,根据b2﹣4ac=28结合求根公式即可得出方程的解.
【解答】解:原方程移项得:3x2﹣4x﹣1=0,
∴a=3,b=﹣4,c=﹣1,
∴b2﹣4ac=16﹣4×3×(﹣1)=28,
∴,
∴.
18.(6分)如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,连接DE.
求证:△BDE≌△BCE;
【分析】根据旋转变换的性质得到△BAD≌△BEC,根据全等三角形的性质得到BD=BC,∠ABD=∠EBC,得到∠DBE=∠CBE,根据全等三角形的判定定理证明即可.
【解答】证明:由旋转的性质可知,△BAD≌△BEC,∠DBC=60°,
∴BD=BC,∠ABD=∠EBC,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∵∠DBC=60°,
∴∠ABD=90°﹣60°=30°,
∴∠EBC=30°,
∴∠DBE=60°﹣30°=30°,
∴∠DBE=∠CBE,
在△BDE和△BCE中,
,
∴△BDE≌△BCE.
19.(6分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位,画出平移后得到的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2,并直接写出点B2、C2的坐标.
【分析】(1)利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2,从而得到△AB2C2,再写出点B2、C2的坐标.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)如图,△AB2C2即为所求,点B2(4,﹣2),C2(1,﹣3).
四、本大题共2个小题,每小题7分,共14分
20.(7分)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:
方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
【分析】(1)根据利润=(销售单价﹣进价)×销售量,列出函数关系式即可;
(2)根据(1)式列出的函数关系式,运用配方法求最大值;
(3)分别求出方案A、B中x的取值范围,然后分别求出A、B方案的最大利润,然后进行比较.
【解答】解:(1)由题意得,销售量=250﹣10(x﹣25)=﹣10x+500,
则w=(x﹣20)(﹣10x+500)
=﹣10x2+700x﹣10000;
(2)w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10(x﹣35)2+2250.
∵﹣10<0,
∴函数图象开口向下,w有最大值,
当x=35时,w最大=2250,
故当单价为35元时,该文具每天的利润最大;
(3)A方案利润高.理由如下:
A方案中:20<x≤30,
故当x=30时,w有最大值,
此时wA=2000;
B方案中:,
故x的取值范围为:45≤x≤49,
∵函数w=﹣10(x﹣35)2+2250,对称轴为直线x=35,
∴当x=45时,w有最大值,
此时wB=1250,
∵wA>wB,
∴A方案利润更高.
21.(7分)某校要求八年级同学在课外活动中,必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练,为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况,现以八年级2班作为样本,对该班学生参加球类活动的情况进行统计,并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图:
八年级2班参加球类活动人数统计表
项目
篮球
足球
乒乓球
排球
羽毛球
人数
a
6
5
7
6
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)a= 16 ,b= 17.5 ;
(2)该校八年级学生共有600人,则该年级参加足球活动的人数约 90 人;
(3)该班参加乒乓球活动的5位同学中,有3位男同学(A,B,C)和2位女同学(D,E),现准备从中选取两名同学组成双打组合,用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.
【分析】(1)首先求得总人数,然后根据百分比的定义求解;
(2)利用总数乘以对应的百分比即可求解;
(3)利用列举法,根据概率公式即可求解.
【解答】解:(1)a=5÷12.5%×40%=16,5÷12.5%=7÷b%,
∴b=17.5,
故答案为:16,17.5;
(2)600×[6÷(5÷12.5%)]=90(人),
故答案为:90;
(3)如图,∵共有20种等可能的结果,两名同学恰为一男一女的有12种情况,
∴则P(恰好选到一男一女)==.
五、解答题:本大题共2个小题,每小题8分,共16分
22.(8分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)
【分析】延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长,根据正切的定义求出EF,得到BE的长,根据正切的定义解答即可.
【解答】解:延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,
∵∠BCD=150°,
∴∠DCF=30°,又CD=4,
∴DF=2,CF==2,
由题意得∠E=30°,
∴EF==2,
∴BE=BC+CF+EF=6+4,
∴AB=BE×tanE=(6+4)×=(2+4)米,
答:电线杆的高度为(2+4)米.
23.(8分)已知关于x的一元二次方程x²﹣mx+m﹣1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)当x12+x22=6x1x2+1时,求m的值.
【分析】(1)根据判别式的意义得到Δ=(m﹣2)2≥0,然后解不等式即可;
(2)根据根与系数的关系得到得x1+x2=m,x1x2=m﹣1,利用x12+x22=6x1x2+1,得到2﹣2(m﹣1)=6(m﹣1)=1,然后解m的方程可得到满足条件的m的值.
【解答】解:(1)根据题意得Δ=(﹣m)2﹣4(m﹣1)≥0,
∴(m﹣2)2≥0,
∴m取一切实数;
(2)根据题意得x1+x2=m,x1x2=m﹣1,
∵x12+x22=6x1x2+1,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=6x1x2+1,
即m2﹣2(m﹣1)=6(m﹣1)=1,
解得m=7或m=1,
∴m的值为7或1.
六、解答题:本大题共2个小题,每小题12分,共24分。
24.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BC=BF,⊙O是△BEF的外接圆,连接BD.
(1)证明:△CAB≌△FEB;
(2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)当AB=BE=2时,求⊙O的面积.
【分析】(1)利用等角的余角相等可得∠C=∠F,利用角边角公理即可判定结论成立;
(2)连接OB,通过计算得到∠OBD=90°,利用切线的判定定理即可得出结论;
(3)连接AE,利用勾股定理可求得线段AE的长,进而可求线段BC的长,则线段BF可得,利用勾股定理可求EF2,利用圆的面积公式即可求得结论.
【解答】证明:(1)∵∠ABC=90°,
∴∠EBF=∠ABC=90°.
∴∠F+∠BEF=90°.
∵DF⊥AC,
∴∠ADF=∠CDF=90°.
∴∠C+∠DEC=90°.
∵∠DEC=∠BEF,
∴∠C=∠F.
在△CAB和△FEB中,
,
∴△CAB≌△FEB(ASA).
解:(2)直线BD与⊙O相切,理由:
连接OB,如图,
∵D为AC的中点,AB⊥BC,
∴DB=DC.
∴∠DCB=∠DBC.
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB.
∵∠DEC=∠BEF,
∴∠DEC=∠OBE.
∵∠DEC+∠C=90°,
∴∠OBE+∠C=90°,
∴∠OBE+∠DBE=90°.
即∠OBD=90°.
∴OB⊥BD.
∵OB是圆O的半径,
∴直线BD与⊙O相切.
(3)连接AE,如图,
∵DF是线段AC的垂直平分线,
∴AE=CE,
∵AB=BE=2,∠ABC=90°,
∴AE==2.
∴CE=AE=2.
∴BC=BE+CE=2+2.
∵BC=BF,
∴BF=2+2.
在Rt△BEF中,
EF2=BE2+BF2==16+8.
∴⊙O的面积=π•(EF)2=π•EF2=(4+2)π.
25.(12分)已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
(3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)因为抛物线经过点A(﹣4,0),B(1,0),所以可以设抛物线为y=﹣(x+4)(x﹣1),展开即可解决问题.
(2)先证明∠ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题.
(3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题.
【解答】解:(1)抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣1),即y=﹣x2﹣x+2;
(2)存在.
当x=0,y=﹣x2﹣x+2=2,则C(0,2),
∴OC=2,
∵A(﹣4,0),B(1,0),
∴OA=4,OB=1,AB=5,
当∠PCB=90°时,
∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,
∴当点P与点A重合时,△PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣4,0);
当∠PBC=90°时,PB∥AC,如图1,
设直线AC的解析式为y=mx+n,
把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=x+2,
∵BP∥AC,
∴直线BP的解析式为y=x+p,
把B(1,0)代入得+p=0,解得p=﹣,
∴直线BP的解析式为y=x﹣,
解方程组得或,此时P点坐标为(﹣5,﹣3);
综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);
(3)存在点E,设点E坐标为(m,0),F(n,﹣n2﹣n+2)
①当AC为边,CF1∥AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣7,0),
②当AC为边时,AC∥EF,易知点F纵坐标为﹣2,
∴﹣n2﹣n+2=﹣2,解得n=,得到F2(,﹣2),F3(,﹣2),
根据中点坐标公式得到:=或=,
解得m=或,
此时E2(,0),E3(,0),
③当AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4(﹣1,0),
综上所述满足条件的点E为(﹣7,0)或(﹣1,0)或(,0)或(,0).