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    四川省泸州市龙马潭区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题(word版 含答案)

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    四川省泸州市龙马潭区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题(word版 含答案)

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    这是一份四川省泸州市龙马潭区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题(word版 含答案),共29页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    2020-2021学年四川省泸州市龙马潭区九年级(上)期末
    数学试卷(附答案与解析)

    一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分
    1.(3分)已知⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为6,那么点P与⊙O的位置关系是(  )
    A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定
    2.(3分)下列交通标志中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    3.(3分)抛物线y=(x﹣2)2+3的顶点坐标是(  )
    A.(﹣2,3) B.(2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3)
    4.(3分)下列说法中错误的是(  )
    A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件
    B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件
    C.“抛一枚硬币,正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
    D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
    5.(3分)若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则a的取值范围是(  )
    A.a<1 B.a≤4 C.a≤1 D.a≥1
    6.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点O是△ABC的外心,则∠BOC的度数为(  )

    A.40° B.60° C.70° D.80°
    7.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是(  )
    A.(x﹣6)2=﹣4+36 B.(x﹣6)2=4+36
    C.(x﹣3)2=﹣4+9 D.(x﹣3)2=4+9
    8.(3分)如图,圆锥体的高h=2cm,底面圆半径r=2cm,则圆锥体的全面积为(  )cm2.

    A.12π B.8π C.4π D.(4+4)π
    9.(3分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,EC与⊙O相切于点C,∠ECB=35°,则∠D的度数是(  )

    A.145° B.125° C.90° D.80°
    10.(3分)抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为(  )

    A.x=1 B.x1=1,x2=﹣1 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=1,x2=﹣3
    11.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点,∠CDB=30°,CD=4,则阴影部分的面积为(  )

    A.π B.4π C.π D.π
    12.(3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
    ①abc>0
    ②4a+2b+c>0
    ③4ac﹣b2<8a
    ④<a<
    ⑤b>c.
    其中含所有正确结论的选项是(  )

    A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤
    二、填空题:本大题共4个小题,每小题3分共12分
    13.(3分)在半径为3的圆中,60°的圆心角所对的劣弧长等于   .
    14.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n=   .
    15.(3分)已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是   .
    16.(3分)如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连接GF,给出下列结论:①∠AGD=110.5;②2tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BF=OF;⑥S△OGF=1,则正方形ABCD的面积是12+8,其中正确的是   .(只填写序号)

    三、解答题:本大题共3个小题,每小题6分,共18分
    17.(6分)解方程:3x2﹣1=4x.
    18.(6分)如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,连接DE.
    求证:△BDE≌△BCE;

    19.(6分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
    (1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位,画出平移后得到的△A1B1C1;
    (2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2,并直接写出点B2、C2的坐标.

    四、本大题共2个小题,每小题7分,共14分
    20.(7分)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
    (1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
    (2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
    (3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:
    方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
    方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元
    请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
    21.(7分)某校要求八年级同学在课外活动中,必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练,为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况,现以八年级2班作为样本,对该班学生参加球类活动的情况进行统计,并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图:
    八年级2班参加球类活动人数统计表
    项目
    篮球
    足球
    乒乓球
    排球
    羽毛球
    人数
    a
    6
    5
    7
    6
    根据图中提供的信息,解答下列问题:
    (1)a=   ,b=   ;
    (2)该校八年级学生共有600人,则该年级参加足球活动的人数约   人;
    (3)该班参加乒乓球活动的5位同学中,有3位男同学(A,B,C)和2位女同学(D,E),现准备从中选取两名同学组成双打组合,用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.

    五、解答题:本大题共2个小题,每小题8分,共16分
    22.(8分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)

    23.(8分)已知关于x的一元二次方程x²﹣mx+m﹣1=0有两个实数根x1,x2.
    (1)求m的取值范围;
    (2)当x12+x22=6x1x2+1时,求m的值.
    六、解答题:本大题共2个小题,每小题12分,共24分。
    24.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BC=BF,⊙O是△BEF的外接圆,连接BD.
    (1)证明:△CAB≌△FEB;
    (2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
    (3)当AB=BE=2时,求⊙O的面积.

    25.(12分)已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
    (3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.


    2020-2021学年四川省泸州市龙马潭区九年级(上)期末数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分
    1.(3分)已知⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为6,那么点P与⊙O的位置关系是(  )
    A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定
    【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.
    【解答】解:∵⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为6,
    ∴点P到圆心O的距离大于圆的半径,
    ∴点P在⊙O外.
    故选:C.
    2.(3分)下列交通标志中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.
    【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形;
    B、是轴对称图形,不是中心对称图形;
    C、是轴对称图形,也是中心对称图形;
    D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.
    故选:C.
    3.(3分)抛物线y=(x﹣2)2+3的顶点坐标是(  )
    A.(﹣2,3) B.(2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3)
    【分析】由抛物线的顶点式y=(x﹣h)2+k直接看出顶点坐标是(h,k).
    【解答】解:∵抛物线为y=(x﹣2)2+3,
    ∴顶点坐标是(2,3).
    故选:B.
    4.(3分)下列说法中错误的是(  )
    A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件
    B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件
    C.“抛一枚硬币,正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
    D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
    【分析】直接利用随机事件的定义结合概率的意义分别分析得出答案.
    【解答】解:A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件,正确,不合题意;
    B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件,正确,不合题意;
    C.“抛一枚硬币,正面向上的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“正面向上”这一事件发生的频率稳定在附近,此选项错误,符合题意;
    D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近,正确.
    故选:C.
    5.(3分)若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则a的取值范围是(  )
    A.a<1 B.a≤4 C.a≤1 D.a≥1
    【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则根的判别式△≥0,据此可以列出关于a的不等式,通过解不等式即可求得a的值.
    【解答】解:因为关于x的一元二次方程有实根,
    所以Δ=b2﹣4ac=4﹣4a≥0,
    解之得a≤1.
    故选:C.
    6.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点O是△ABC的外心,则∠BOC的度数为(  )

    A.40° B.60° C.70° D.80°
    【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数,然后根据圆周角定理可得∠O=2∠A,进而可得答案.
    【解答】解:∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠ACB=70°,
    ∴∠A=180°﹣70°×2=40°,
    ∵点O是△ABC的外心,
    ∴∠BOC=40°×2=80°,
    故选:D.
    7.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是(  )
    A.(x﹣6)2=﹣4+36 B.(x﹣6)2=4+36
    C.(x﹣3)2=﹣4+9 D.(x﹣3)2=4+9
    【分析】根据配方法,可得方程的解.
    【解答】解:x2﹣6x﹣4=0,
    移项,得x2﹣6x=4,
    配方,得(x﹣3)2=4+9.
    故选:D.
    8.(3分)如图,圆锥体的高h=2cm,底面圆半径r=2cm,则圆锥体的全面积为(  )cm2.

    A.12π B.8π C.4π D.(4+4)π
    【分析】表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2.
    【解答】解:底面圆的半径为2,则底面周长=4π,
    ∵底面半径为2cm、高为2cm,
    ∴圆锥的母线长为4cm,
    ∴侧面面积=×4π×4=8π;
    底面积为=4π,
    全面积为:8π+4π=12πcm2.
    故选:A.
    9.(3分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,EC与⊙O相切于点C,∠ECB=35°,则∠D的度数是(  )

    A.145° B.125° C.90° D.80°
    【分析】连接BD,由AB是⊙O的直径,得∠ADB=90°,再由EC与⊙O相切于点C,∠ECB=35°,知∠BDC=35°,从而得出∠D的度数.
    【解答】解:连接BD,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∵EC与⊙O相切,∠ECB=35°,
    ∴∠BDC=35°,
    ∴∠D=∠ADB+∠BDC=90°+35°=125°,
    故选:B.

    10.(3分)抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为(  )

    A.x=1 B.x1=1,x2=﹣1 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=1,x2=﹣3
    【分析】直接观察图象,抛物线与x轴交于1,对称轴是直线x=﹣1,所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标,从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解.
    【解答】解:观察图象可知,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为(1,0),对称轴为直线x=﹣1,
    ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(﹣3,0),
    ∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=1,x2=﹣3.
    故选:D.
    11.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点,∠CDB=30°,CD=4,则阴影部分的面积为(  )

    A.π B.4π C.π D.π
    【分析】首先证明OE=OC=OB,则可以证得△OEC≌△BED,则S阴影=半圆﹣S扇形OCB,利用扇形的面积公式即可求解.
    【解答】解:连接BC.
    ∵∠COB=2∠CDB=60°,
    又∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形.
    ∵E为OB的中点,∴CD⊥AB,
    ∴∠OCE=30°,CE=DE,
    ∴OE=OC=OB=2,OC=4.
    S阴影==.
    故选:D.
    12.(3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
    ①abc>0
    ②4a+2b+c>0
    ③4ac﹣b2<8a
    ④<a<
    ⑤b>c.
    其中含所有正确结论的选项是(  )

    A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤
    【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号,从而判断①;根据对称轴得到函数图象经过(3,0),则得②的判断;根据图象经过(﹣1,0)可得到a、b、c之间的关系,从而对②⑤作判断;从图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间可以判断c的大小得出④的正误.
    【解答】解:①∵函数开口方向向上,
    ∴a>0;
    ∵对称轴在y轴右侧
    ∴ab异号,
    ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,
    ∴c<0,
    ∴abc>0,
    故①正确;
    ②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,
    ∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),
    ∴当x=2时,y<0,
    ∴4a+2b+c<0,
    故②错误;
    ③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),
    ∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,
    ∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,
    ∵对称轴为直线x=1
    ∴=1,即b=﹣2a,
    ∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,
    ∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0
    ∵8a>0
    ∴4ac﹣b2<8a
    故③正确
    ④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,
    ∴﹣2<c<﹣1
    ∴﹣2<﹣3a<﹣1,
    ∴>a>;
    故④正确
    ⑤∵a>0,
    ∴b﹣c>0,即b>c;
    故⑤正确;
    故选:D.
    二、填空题:本大题共4个小题,每小题3分共12分
    13.(3分)在半径为3的圆中,60°的圆心角所对的劣弧长等于 π .
    【分析】把已知数据代入弧长公式计算,得到答案.
    【解答】解:半径为3的圆中,60°的圆心角所对的劣弧长==π,
    故答案为:π.
    14.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n= ﹣10 .
    【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,求出即可.
    【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,
    ∴﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,
    解得:m=﹣2,n=﹣8,
    ∴m+n=﹣10,
    故答案为:﹣10.
    15.(3分)已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是 1 .
    【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形,设△ABC的内切圆切AC于E,切AB于F,切BC于D,连接OE、OF、OD、OA、OC、OB,内切圆的半径为R,则OE=OF=OD=R,根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案.
    【解答】解:
    ∵a=3,b=4,c=5,
    ∴a2+b2=c2,
    ∴∠ACB=90°,
    设△ABC的内切圆切AC于E,切AB于F,切BC于D,连接OE、OF、OD、OA、OC、OB,内切圆的半径为R,则OE=OF=OD=R,
    ∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC,
    ∴×AC×BC=×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD,
    ∴3×4=4R+5R+3R,
    解得:R=1.
    故答案为:1.
    16.(3分)如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连接GF,给出下列结论:①∠AGD=110.5;②2tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BF=OF;⑥S△OGF=1,则正方形ABCD的面积是12+8,其中正确的是 ④⑤⑥ .(只填写序号)

    【分析】①由四边形ABCD是正方形,可得∠GAD=∠ADO=45°,又由折叠的性质,可求得∠ADG的度数,从而求得∠AGD;
    ②利用∠GAD与∠ADG度数求得∠AED度数可得;
    ③证△AEG≌△FEG得AG=FG,由FG>OG即可得;
    ④由折叠的性质与平行线的性质,易得△AEG是等腰三角形,由AE=FE、AG=FG即可得证;
    ⑤设OF=a,先求得∠EFG=45°,从而知BF=EF=GF=OF;
    ⑥由S△OGF=1求出GF的长,进而可得出BE及AE的长,利用正方形的面积公式可得出结论.
    【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠GAD=∠ADO=45°,
    由折叠的性质可得:∠ADG=∠ADO=22.5°,
    ∴∠AGD=180°﹣∠GAD﹣∠ADG=112.5°,
    故①错误.

    ∵∠AED=180°﹣∠EAD﹣∠ADE=67.5°,
    ∴tan∠AED≠1,
    则2tan∠AED≠2,故②错误;

    由折叠的性质可得:AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,
    在△AEG和△FEG中,
    ∵,
    ∴△AEG≌△FEG(SAS),
    ∴AG=FG,
    在Rt△GOF中,∵AG=FG>GO,
    ∴S△AGD>S△OGD,故③错误;

    ∵∠AGE=∠GAD+∠ADG=67.5°=∠AED,
    ∴AE=AG,
    又AE=FE、AG=FG,
    ∴AE=EF=GF=AG,
    ∴四边形AEFG是菱形,故④正确;

    设OF=a,
    ∵四边形AEFG是菱形,且∠AED=67.5°,
    ∴∠FEG=∠FGE=67.5°,
    ∴∠EFG=45°,
    又∠EFO=90°,
    ∴∠GFO=45°,
    ∴GF=EF=a,
    ∵∠EFO=90°,∠EBF=45°,
    ∴BF=EF=GF=a,即BF=OF,故⑤正确;

    ∵S△OGF=1,
    ∴OG2=1,即a2=1,
    则a2=2,
    ∵BF=EF=a,且∠BFE=90°,
    ∴BE=2a,
    又AE=EF=a,
    ∴AB=AE+BE=2a+a=(2+)a,
    则正方形ABCD的面积是(2+)2a2=(6+4)×2=12+8,
    故⑥正确;
    故答案为:④⑤⑥.
    三、解答题:本大题共3个小题,每小题6分,共18分
    17.(6分)解方程:3x2﹣1=4x.
    【分析】对原方程进行移项,找出a、b、c的值,根据b2﹣4ac=28结合求根公式即可得出方程的解.
    【解答】解:原方程移项得:3x2﹣4x﹣1=0,
    ∴a=3,b=﹣4,c=﹣1,
    ∴b2﹣4ac=16﹣4×3×(﹣1)=28,
    ∴,
    ∴.
    18.(6分)如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,连接DE.
    求证:△BDE≌△BCE;

    【分析】根据旋转变换的性质得到△BAD≌△BEC,根据全等三角形的性质得到BD=BC,∠ABD=∠EBC,得到∠DBE=∠CBE,根据全等三角形的判定定理证明即可.
    【解答】证明:由旋转的性质可知,△BAD≌△BEC,∠DBC=60°,
    ∴BD=BC,∠ABD=∠EBC,
    ∵AB⊥BC,
    ∴∠ABC=90°,
    ∵∠DBC=60°,
    ∴∠ABD=90°﹣60°=30°,
    ∴∠EBC=30°,
    ∴∠DBE=60°﹣30°=30°,
    ∴∠DBE=∠CBE,
    在△BDE和△BCE中,

    ∴△BDE≌△BCE.
    19.(6分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
    (1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位,画出平移后得到的△A1B1C1;
    (2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2,并直接写出点B2、C2的坐标.

    【分析】(1)利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1;
    (2)利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2,从而得到△AB2C2,再写出点B2、C2的坐标.
    【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;
    (2)如图,△AB2C2即为所求,点B2(4,﹣2),C2(1,﹣3).

    四、本大题共2个小题,每小题7分,共14分
    20.(7分)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
    (1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
    (2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
    (3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:
    方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
    方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元
    请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
    【分析】(1)根据利润=(销售单价﹣进价)×销售量,列出函数关系式即可;
    (2)根据(1)式列出的函数关系式,运用配方法求最大值;
    (3)分别求出方案A、B中x的取值范围,然后分别求出A、B方案的最大利润,然后进行比较.
    【解答】解:(1)由题意得,销售量=250﹣10(x﹣25)=﹣10x+500,
    则w=(x﹣20)(﹣10x+500)
    =﹣10x2+700x﹣10000;

    (2)w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10(x﹣35)2+2250.
    ∵﹣10<0,
    ∴函数图象开口向下,w有最大值,
    当x=35时,w最大=2250,
    故当单价为35元时,该文具每天的利润最大;

    (3)A方案利润高.理由如下:
    A方案中:20<x≤30,
    故当x=30时,w有最大值,
    此时wA=2000;
    B方案中:,
    故x的取值范围为:45≤x≤49,
    ∵函数w=﹣10(x﹣35)2+2250,对称轴为直线x=35,
    ∴当x=45时,w有最大值,
    此时wB=1250,
    ∵wA>wB,
    ∴A方案利润更高.
    21.(7分)某校要求八年级同学在课外活动中,必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练,为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况,现以八年级2班作为样本,对该班学生参加球类活动的情况进行统计,并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图:
    八年级2班参加球类活动人数统计表
    项目
    篮球
    足球
    乒乓球
    排球
    羽毛球
    人数
    a
    6
    5
    7
    6
    根据图中提供的信息,解答下列问题:
    (1)a= 16 ,b= 17.5 ;
    (2)该校八年级学生共有600人,则该年级参加足球活动的人数约 90 人;
    (3)该班参加乒乓球活动的5位同学中,有3位男同学(A,B,C)和2位女同学(D,E),现准备从中选取两名同学组成双打组合,用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.

    【分析】(1)首先求得总人数,然后根据百分比的定义求解;
    (2)利用总数乘以对应的百分比即可求解;
    (3)利用列举法,根据概率公式即可求解.
    【解答】解:(1)a=5÷12.5%×40%=16,5÷12.5%=7÷b%,
    ∴b=17.5,
    故答案为:16,17.5;
    (2)600×[6÷(5÷12.5%)]=90(人),
    故答案为:90;
    (3)如图,∵共有20种等可能的结果,两名同学恰为一男一女的有12种情况,
    ∴则P(恰好选到一男一女)==.

    五、解答题:本大题共2个小题,每小题8分,共16分
    22.(8分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)

    【分析】延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长,根据正切的定义求出EF,得到BE的长,根据正切的定义解答即可.
    【解答】解:延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,
    ∵∠BCD=150°,
    ∴∠DCF=30°,又CD=4,
    ∴DF=2,CF==2,
    由题意得∠E=30°,
    ∴EF==2,
    ∴BE=BC+CF+EF=6+4,
    ∴AB=BE×tanE=(6+4)×=(2+4)米,
    答:电线杆的高度为(2+4)米.

    23.(8分)已知关于x的一元二次方程x²﹣mx+m﹣1=0有两个实数根x1,x2.
    (1)求m的取值范围;
    (2)当x12+x22=6x1x2+1时,求m的值.
    【分析】(1)根据判别式的意义得到Δ=(m﹣2)2≥0,然后解不等式即可;
    (2)根据根与系数的关系得到得x1+x2=m,x1x2=m﹣1,利用x12+x22=6x1x2+1,得到2﹣2(m﹣1)=6(m﹣1)=1,然后解m的方程可得到满足条件的m的值.
    【解答】解:(1)根据题意得Δ=(﹣m)2﹣4(m﹣1)≥0,
    ∴(m﹣2)2≥0,
    ∴m取一切实数;
    (2)根据题意得x1+x2=m,x1x2=m﹣1,
    ∵x12+x22=6x1x2+1,
    ∴(x1+x2)2﹣2x1x2=6x1x2+1,
    即m2﹣2(m﹣1)=6(m﹣1)=1,
    解得m=7或m=1,
    ∴m的值为7或1.
    六、解答题:本大题共2个小题,每小题12分,共24分。
    24.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BC=BF,⊙O是△BEF的外接圆,连接BD.
    (1)证明:△CAB≌△FEB;
    (2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
    (3)当AB=BE=2时,求⊙O的面积.

    【分析】(1)利用等角的余角相等可得∠C=∠F,利用角边角公理即可判定结论成立;
    (2)连接OB,通过计算得到∠OBD=90°,利用切线的判定定理即可得出结论;
    (3)连接AE,利用勾股定理可求得线段AE的长,进而可求线段BC的长,则线段BF可得,利用勾股定理可求EF2,利用圆的面积公式即可求得结论.
    【解答】证明:(1)∵∠ABC=90°,
    ∴∠EBF=∠ABC=90°.
    ∴∠F+∠BEF=90°.
    ∵DF⊥AC,
    ∴∠ADF=∠CDF=90°.
    ∴∠C+∠DEC=90°.
    ∵∠DEC=∠BEF,
    ∴∠C=∠F.
    在△CAB和△FEB中,

    ∴△CAB≌△FEB(ASA).
    解:(2)直线BD与⊙O相切,理由:
    连接OB,如图,

    ∵D为AC的中点,AB⊥BC,
    ∴DB=DC.
    ∴∠DCB=∠DBC.
    ∵OB=OE,
    ∴∠OBE=∠OEB.
    ∵∠DEC=∠BEF,
    ∴∠DEC=∠OBE.
    ∵∠DEC+∠C=90°,
    ∴∠OBE+∠C=90°,
    ∴∠OBE+∠DBE=90°.
    即∠OBD=90°.
    ∴OB⊥BD.
    ∵OB是圆O的半径,
    ∴直线BD与⊙O相切.
    (3)连接AE,如图,

    ∵DF是线段AC的垂直平分线,
    ∴AE=CE,
    ∵AB=BE=2,∠ABC=90°,
    ∴AE==2.
    ∴CE=AE=2.
    ∴BC=BE+CE=2+2.
    ∵BC=BF,
    ∴BF=2+2.
    在Rt△BEF中,
    EF2=BE2+BF2==16+8.
    ∴⊙O的面积=π•(EF)2=π•EF2=(4+2)π.
    25.(12分)已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
    (3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)因为抛物线经过点A(﹣4,0),B(1,0),所以可以设抛物线为y=﹣(x+4)(x﹣1),展开即可解决问题.
    (2)先证明∠ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题.
    (3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题.
    【解答】解:(1)抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣1),即y=﹣x2﹣x+2;
    (2)存在.
    当x=0,y=﹣x2﹣x+2=2,则C(0,2),
    ∴OC=2,
    ∵A(﹣4,0),B(1,0),
    ∴OA=4,OB=1,AB=5,
    当∠PCB=90°时,
    ∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25
    ∴AC2+BC2=AB2
    ∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,
    ∴当点P与点A重合时,△PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣4,0);
    当∠PBC=90°时,PB∥AC,如图1,
    设直线AC的解析式为y=mx+n,
    把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,
    ∴直线AC的解析式为y=x+2,
    ∵BP∥AC,
    ∴直线BP的解析式为y=x+p,
    把B(1,0)代入得+p=0,解得p=﹣,
    ∴直线BP的解析式为y=x﹣,
    解方程组得或,此时P点坐标为(﹣5,﹣3);
    综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);
    (3)存在点E,设点E坐标为(m,0),F(n,﹣n2﹣n+2)
    ①当AC为边,CF1∥AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣7,0),
    ②当AC为边时,AC∥EF,易知点F纵坐标为﹣2,
    ∴﹣n2﹣n+2=﹣2,解得n=,得到F2(,﹣2),F3(,﹣2),
    根据中点坐标公式得到:=或=,
    解得m=或,
    此时E2(,0),E3(,0),
    ③当AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4(﹣1,0),
    综上所述满足条件的点E为(﹣7,0)或(﹣1,0)或(,0)或(,0).




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