专题1.9 绝对值（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
展开专题1.9 绝对值（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题；
5.理解并掌握分类讨论思想、数形结合思想.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
特别说明：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 | 同为正号：绝对值大的数大 |
同为负号：绝对值大的反而小 | |
两数异号 | 正数大于负数 |
－数为0 | 正数与0：正数大于0 |
负数与0：负数小于0 |
特别说明：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立． 若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的意义
1．（2019·广西防城港市·七年级期中）若x的相反数是3，，且，求的值.
【答案】-5
【分析】根据相反数、绝对值求出x，y的值，代入代数式，即可解答.
解：∵x的相反数是3，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
【点拨】本题考查了相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记相反数、绝对值的定义.
举一反三：
【变式1】（2020·山东临沂市·）绝对值大于4而小于7的所有整数之和是________．
【答案】0
【解析】∵绝对值大于4而小于7的所有整数有：-6，-5，6,5，
∴它们的和为：-6-5+6+5=0.
点拨：本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值是表示一个数的点到原点的距离，而距离不分正负，所以要从正、负两个方向上找符合条件的数，特别不要遗漏负方向上的数.
【变式2】 （2018·湖南省长沙市百熙实验学校七年级月考）如果数a的相反数是最大的负整数，数b是绝对值最小的数，数c是最小的正整数,那么a b c= （________________）
【答案】0
【解析】
【分析】根据相反数、负整数、绝对值、正整数的定义及性质进行分析．
解：∵最大的负整数为−1，
∴a的相反数为−1，则a＝1；
∵绝对值最小的数为0，
∴b＝0；
∵最小的正整数为1，
∴c＝1；
则a＋b-c＝1＋0-1＝0．
故答案为：0.
【点拨】此题主要考查相反数、负整数、绝对值、正整数的定义及性质，难度不大．
类型二、求一个数的绝对值
2．（2020·全国七年级课时练习）有理数a、b在数轴上如图，
（1）在数轴上表示﹣a、﹣b；
（2）试把这a、b、0、﹣a、﹣b五个数按从小到大用“＜”连接．
（3）用＞、=或＜填空：|a| a，|b| b．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）＞，=．
【分析】
（1）根据已知a b的位置在数轴上把-a-b表示出来即可；
（2）根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可；
（3）|a|是一个正数，a是一个负数，比较即可；b是一个正数，正数的绝对值等于它本身比较即可．
解：（1）在数轴上表示为：
（2）a＜-b＜0＜b＜-a；
（3）|a|＞a，|b|=b，
故答案为＞，=．
【点拨】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握读数轴和绝对值的求法.
举一反三：
【变式1】3．（2019·仪征市第三中学七年级月考）若，则=___________；若，则a是___________．
【答案】6或-6 非正数
【分析】
根据绝对值的意义即可得到结果.
解：若，则=___________；若，则a是___________．
∵=6，=6，∴若，则=6或-6.
∵0和负数的绝对值等于它的相反数，∴若，则a是非正数.
【点拨】本题考查了绝对值的意义，正确理绝对值的意义是解题的关键.
【变式2】（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算：=________．
【答案】
【分析】
先分析的符号，再关键绝对值是含义可得答案．
解：＜，
＜，
故答案为：
【点拨】本题考查的是绝对值的含义，掌握绝对值的含义是解题的关键．
类型三、化简绝对值
3、（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期中）如图所示，a，b，c分别表示数轴上的数，化简：|2﹣b|+|a+c|﹣|b﹣a﹣c|．
【答案】﹣2．
【分析】由数轴的定义可知：，从而可知，然后根据绝对值运算化简即可得．
解：由数轴的定义得：
∴
∴
．
【点拨】本题考查了数轴的定义、绝对值的化简，利用数轴的定义判断出各式子的符号是解题关键．
举一反三：
【变式1】 （2020·重庆一中七年级月考）如图，化简代数式的结果是__________．
【答案】
【分析】先判断的值的情况，利用数轴可得：＜＜＜＜，再判断的符号，再化简绝对值，合并同类项即可得到答案．
解：＜＜＜＜，
＞，＞，＜，
故答案为：
【点拨】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，掌握绝对值的化简的方法是解题的关键．
【变式2】 （2016·陕西九年级专题练习）计算：________．
【答案】π-3.14
【解析】因为3.14-<0,
所以|3.14-|=-(3.14-= -3.14.
故答案是： -3.14.
类型四、绝对值非负性的应用
4、（2020·渠县三江中学七年级月考）若|x-1|+|y-5|=0，求y-x+2016的值．
【答案】2020
【分析】根据绝对值的非负性求出x和y值，代入计算即可．
解：由题意得，x-1=0，y-5=0，
解得x=1，y=5，
所以，y-x+2016
=5-1+2016
=2020．
【点拨】本题考查了代数式求值，解题的关键是根据绝对值的非负性求出x和y．
举一反三：
【变式1】 （2020·重庆礼嘉中学七年级月考）若|x﹣1|+|y+2|=0，则x﹣3y的值为_____．
【答案】7
【分析】根据绝对值的非负性，可得x=1，y=﹣2，进而即可求解．
解：∵|x﹣1|+|y+2|=0，
∴x﹣1=0，y+2=0，
∴x=1，y=﹣2，
∴x﹣3y=1﹣3×(﹣2)=1+6=7．
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性，是解题的关键．
【变式2】 （2018·福建师范大学泉州附属中学七年级期末）若x为有理数，式子2019－｜x－2｜存在最大值为_________．
【答案】2019
【分析】直接利用绝对值的性质得出|x-2|的最小值为0．进而得出答案．
解：∵x为有理数式子2019-|x-2|存在最大值，
∴|x-2|=0时，2019-|x-2|最大为2019，
故答案为：2019．
【点拨】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键．
类型五、绝对值方程
5、（2020·湖北华一寄宿学校七年级月考）已知求．
【答案】5或7
【分析】
根据绝对值的意义以及a与b的关系求出a和b的值，代入计算即可．
解：∵
∴a=1或-3，b=4或-3，
∵a<b，
∴a=1，b=4，或a=-3，b=4，
=5或7．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握已知一个数的绝对值，求这个数．
举一反三：
【变式1】 （2018·山东德州市·七年级期中）若实数a满足，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点__________．
【答案】B
【分析】由|a-|＝求出a的值，对应数轴上的点即可得出结论．
解：∵|a-|＝
∴a=-1或a=2．
故选B．
【点拨】考查了实数与数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出a值是解题的关键．
【变式2】 （2020·上海市静安区实验中学课时练习）︱x － 1︱ =3，则 x＝_______ ．
【答案】4或－2
【分析】本题考查的是绝对值的性质和有理数的加法.根据绝对值的性质得，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
解：，
，
，
或
类型六、绝对值的其他应用
6、（2018·全国七年级课时练习）为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下(单位：千米)：
＋15，－4，＋13，－10，－12，＋3，－13，－17.
(1)小王在送第几位教师时，所走的路程最远？
(2)若汽车的耗油量为0.1升/千米，这天上午汽车共耗油多少升？
【答案】(1) 17千米；(2)这天上午汽车共耗油8.7升．
【分析】（1）根据每次接送教师所走的路程进行分析判断即可；
（2）将这天上午每次接送教师的行程的绝对值相加得到这天上午行驶的总路程，用总路程乘以0.1即可得到这天上午的油耗量.
解：(1)由题中已知数据可知：小王接送第一位教师行驶了15千米，接送第二位教师行驶了4千米，接送第三位教师行驶了13千米，接送第四位教师行驶了10千米，接送第五位教师行驶了12千米，接送第六位教师行驶了3千米，接送第七位教师行驶了13千米，接送第八位教师行驶了17千米，
∴小王在送最后一位教师时，所在路程最远，行驶了17千米；
(2)由题意可得，这天上午，小王接送教师行驶的总路程为：
|＋15|＋|－4|＋|＋13|＋|－10|＋|－12|＋|＋3|＋|－13|＋|－17|＝87(千米)，
∵每行驶1千米耗油0.1升，
∴这天上午共耗油：87×0.1＝8.7(升)．
答：这天上午汽车共耗油8.7升．
【点拨】（1）解第1小题时需注意，行驶路程的多少与方向无关，只与行驶的路程长度有关；（2）解第2小题时需注意，总的耗油量只与行驶的总路程有关，而与每次行驶的方向无关.
举一反三：
【变式1】 （2020·福建省连江第三中学七年级期中）已知a与b的和为2，b与c互为相反数，若=1，则a=__________．
【答案】1或3
【分析】根据已经得到：a+b=2 b+c=0 且c=1,便可求出a．
解：根据已知有：
b+c=0 且c=1,
当c=1时，b=-1，则a=3
当c=-1时，b=1，则a=1
综上a=1或者3
【点拨】本题考查绝对值的定义，应当分类讨论求值．
【变式2】 （2019·江苏南京市第二十九中学七年级月考）如果、都是不为0的有理数，则代数式的值是__．
【答案】2或或0
【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算．
解：①当x,y中有二正， ；
②当x,y中有一负一正， ；
③当x,y中有二负, ；
故代数式的值是2或或0.
故答案为：2或或0.
【点拨】本题考查绝对值的性质，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数是关键，注意运用分类讨论思想.
类型七、有理数的大小比较
7、（2019·全国七年级课时练习）比较下列每组数的大小：（1）和-20；（2）和
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先计算和-20的绝对值，绝对值大的反而小，即可得到答案；
（2）先计算和的绝对值，绝对值大的反而小，即可得到答案；
解：（1），，
∵，
∴；
（2），，
∵，
∴.
【点拨】本题考查了比较两个负数的大小，解题的关键是先比较两个负数的绝对值的大小.
举一反三：
【变式1】 （2020·贵州铜仁市·七年级期末）比较大小：_____﹣
【答案】>
解：根据两个负数，绝对值大的反而小，即可比较大小.
故答案为>.
【变式2】 （2019·中国人民解放军国防科技大学附属中学七年级月考）比较大小：-（-5）___-（+6）； -2____； ____
【答案】> < >
【解析】
【分析】根据负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较即可．
解：①∵-（-5）=5，-（+6）=-6，
∴-（-5）>-（+6），
②
∴-2<
③
∴>
【点拨】本题考查了有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
类型八、有理数的大小比较的应用
8、（2019·全国七年级）比较a与-a的大小．
【答案】（1）当a>0时，a>-a；（2）当a=0时，a=-a；（3）当a<0时，a<-a．
【解析】试题分析：分a>0，a=0，a<0三种情况讨论即可.
（1）当a>0时，a>-a；（2）当a=0时，a=-a；（3）当a<0时，a<-a．
考点：有理数的大小比较
点评：分类思想是初中数学学习中一个非常重要的思想，是学生对所学知识是否熟练掌握的很重要的一个体现，因而此类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需特别注意.
举一反三：
【变式1】 （2019·四川成都市·北大附中成都为明学校七年级期中）大于－1.5小于2.5的整数共有________个．
【答案】4
【解析】根据取值范围，找出整数即可．
解：∵大于−1.5小于2.5的整数为：−1，0，1，2，
∴大于－1.5小于2.5的整数共有4个.
故答案为4.
【变式2】 （2019·浙江七年级月考）若a<0，b<0，|a|>|b|，则a－b_______0.(填“>”“<”或“＝”)
【答案】<
【分析】根据两个负数作比较，绝对值大的反而小，得到a＜b，即可得出结果.
解：∵a<0，b<0，|a|>|b|，
∴a＜b，
∴a－b＜0，
故答案为＜.
【点拨】本题考查了比较有理数大小，熟知两个负数作比较，绝对值大的反而小是解题关键.
