高中物理人教版 (新课标)选修3选修3-4第十二章 机械波5 多普勒效应教案及反思

多普勒效应的两种定量分析

方 法 一

     设表示波源S相对于介质的速度，表示观察者A相对于介质的速度，表示波的传播速度，且＜，＜，表示波源发出的波的频率，表示观察者接收到的波的频率,表示波源的振动周期，表示波长，则：

T=，。                  

    因为波源每完成一次全振动就向外发出一个波长的波，即向外发出一个完全波，而波在均匀介质中以速度匀速传播，所以当波源频率为时，就表示单位时间内波源全振动次，共发出个完全波，均匀分布在单位时间内波在介质中的传播长度上，因而有每个波长。

    观察者接收到的波的频率表示单位时间内通过观察者的完全波的个数，所以：

。

1、当波源和观察者相对于介质都不动时

单位时间内波源发出几个完全波，就有几个完全波在单位时间内经过观察者，所以。

2、当波源相对于介质不动，观察者运动时

当观察者朝着波源运动时，波相对于观察者的速度为，而波长仍为，所以，即观察者接收到的波的频率增大为波源频率的倍。同理，当观察者远离波源运动时，波相对于观察者的速度为，可得，即观察者接收到的波的频率减小为波源频率的。

3、当观察者相对于介质不动，波源运动时

例如我们站在轨道旁听驶来驶去的火车的汽笛声，这时波源发出的波面如图1所示。波一经从波源发出，在均匀介质中就以球面波的形式传播，球面波的球心就是发出该波时波源所在的位置。波源向右运动时，相当于波面的球心向右运动。所以，波源右方的波面变得密集，左方的波面变得稀疏。也就是说，波源右方的波长变短，左方的波长变长。但波在介质中的传播速度并没有改变，因而观察者在波源右方时，即波源接近观察者时，观察者在单位时间内接收到的完全波的个数增多，即接收到的波的频率增大。同理，观察者在波源左方时，即波源远离观察者时，接收到的波的频率减小。

    定量分析如下：当波源朝着观察者运动时，波长被压缩为=，其中为波源的周期，而波速是由介质决定的，与波源的运动与否无关，故观察者接收到的波的频率====，即接收到的波的频率增大为波源频率的倍。同理，当波源远离观察者运动时，波长被拉伸为=+，故观察者接收到的波的频率===，即接收到的波的频率减小为波源频率的。

4、当波源和观察者都相对于介质运动，且运动在同一直线上时

此种情况我们应该分类考虑，包括观察者的运动会引起波相对于观察者的速度由变为；波源的运动会引起波长由变为。

  ⑴  当波源和观察者相向运动时(如图2)

由     ,

得  

⑵  当波源和观察者背离运动时（如图3）

由    ，

得   

⑶  当波源追观察者时（如图4）

由    ，  

得   

⑷  当观察者追波源时（如图5）

由    ，  

得 

综合以上情况可得=。当观察者朝着波源运动时，前取“+”号；远离波源运动时，前取“-”号。当波源朝着观察者运动时，前取“-”号；远离观察者运动时，前取“+”号。

方法二

      我们再以声波在空气中的传播为例，推导波源的频率与观察者接收到的波的频率之间的关系。

      设声源和观察者都沿同一直线运动，相对于地面的速度分别为和，空气中声音传播的速度为，且＜，＜，空气相对于地面没有流动。声源相继发出两个声信号的时刻为、，时间间隔为T=-=，其中T为声源发出的声波的振动周期，为其频率。这两个声信号以速度从声源向观察者传播，观察者接收到这两个声信号的时刻为、，时间间隔为=-=，其中为观察者接收到的声波的周期，为其频率，则第一个信号经过时间-被观察者A接收到，第二个信号经过时间-被观察者A接收到。设声源发出第一个信号时，S、A间的距离为，两个声信号从声源传播到观察者的过程中，它们运动的距离关系可采用画草图的方法来表示。设、、分别表示观察者A在、、时刻的位置，、分别表示波源S在、时刻的位置。下面我们分八种情况来分析推导与间的关系式。

  1.  S不动，A向着S运动（如图6）

由图7可得：

              =   ……〈1〉   

            又              ……〈2〉

            由〈1〉、〈2〉式可得：          ……〈3〉

 2.S不动，A背离S运动（如图8）

由图9可得：=  ……〈4〉

             由〈2〉、〈4〉式可得：         ……〈5〉

    3. A不动，S向着A运动（如图10）

由图11可得：=         ……〈6〉

由〈2〉、〈6〉式可得：                     ……〈7〉

4. A不动，S背离A运动（如图12）

由图13可得： =-           ……〈8〉

由〈2〉、〈8〉式可得：                     ……〈9〉

5. S、A都运动，且相向运动（如图2）

由图14可得：

+=++   ……〈10〉

由〈2〉、〈10〉式可得：                   ……〈11〉

6. S、A都运动，且背离对方（如图3）

由图15可得：

-= --   ……〈12〉                  

由〈2〉、〈12〉式可得：                   ……〈13〉

7. S、A都运动，且S追A（如图4）

由图16可得：

-=+-      ……〈14〉

由〈2〉、〈14〉式可得：                     ……〈15〉

8. S、A都运动，且A追S（如图5）

由图17可得：

+=+-      ……〈16〉

由〈2〉、〈16〉式可得：                     ……〈17〉

     综合以上结果可得=。当A向着S运动时，前取“+”号；当A背离S运动时，前取“-”号。当S向着A运动时，前取“-”号；当S背离A运动时，前取“+”号。

      对比以上两种方法，虽然分析的思路不同，但得到的结论是相同的，即=。当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的波的频率增大；如果二者相互远离，观察者接收到的波的频率减小。