高考数学考前回归课本知识技法精细过（十一）：解析几何（曲线与方程） (1)教案

高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十一）

第八节　曲线与方程

一、必记3个知识点

1．曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是①____________.

(2)以这个方程的解为坐标的点都是②______________.那么这个方程叫做③__________________，这条曲线叫做④______________.

2．求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系．

(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．

(3)列式——列出动点P所满足的关系式．

(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．

(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

3．两曲线的交点

(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的⑤________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组⑥________，两条曲线就没有交点．

(2)两条曲线有交点的⑦________条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．

二、必明2个易误点

1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．

2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．

三、技法

1. 直接法求轨迹方程的方法

在不能确定轨迹形状时，要根据题设条件，通过“建(系)、设(点)、限(条件)、代(代入坐标)、化(化简与证明)”的步骤求轨迹方程，关键是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为坐标关系.

2. 定义法求轨迹方程的解题策略

(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．

(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.

3. 代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将点P的坐标转移到点Q的方程中，整理可得点P的轨迹方程.

参考答案

①这个方程的解　②曲线上的点　③曲线的方程　④方程的曲线　⑤公共解　⑥无解　

⑦充要

第九节  圆锥曲线的综合问题

一、必记3个知识点

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2．弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝ ·|y1－y2|

＝ ·.

3．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤

二、必明2个易误点

1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．

2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．

三、技法

1.直接与圆锥曲线位置关系的判定方法

(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．

(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．

2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点

(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．

(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根.

3. 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.

4. 处理中点弦问题常用的求解方法

(1)用“点差法”求解．

(2)用“根与系数的关系”求解：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.

5. 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

6. 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法

(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．

(2)两大解法：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②变量法：其解题流程为

7. 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.

8. 求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.