高考数学考前回归课本知识技法精细过（九）：解析几何（直线与圆）教案

高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（九）

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

一、必记2个知识点

1．直线的倾斜角和斜率

(1)直线的倾斜角的定义

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴①________与直线l②________之间所成的③__________α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线倾斜角α的取值范围是④____________.

(2)斜率的定义

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的⑤________叫做这条直线的斜率，常用k表示，即⑥________.倾斜角是90°的直线，斜率k不存在．

(3)斜率公式

当直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l的斜率k＝⑦____________.

(4)直线的方向向量

经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为⑧____________，当直线的斜率k存在时，方向向量的坐标可记为⑨________.

2．直线方程的几种基本形式

二、必明4个易误点

1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．

2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．

3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．

4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.

三、技法

1. 斜率的求法

(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．(α≠90°)

(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．

2．斜率取值范围的三种求法

(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．

(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求范围．

(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.

3. 求直线方程的关注点

在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.

4. 直线方程的综合应用

(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．

(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

参考答案

①正向　②向上方向　③最小正角　④0°≤α＜180°　⑤正切值　⑥k＝tan α　

⑦(其中x1≠x2)　⑧(x2－x1，y2－y1)　⑨(1，k)　⑩y＝kx＋b　⑪y－y0＝k(x－x0)　

⑫＝　⑬＋＝1　⑭Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)

第二节　两条直线的位置关系与距离公式

一、必记3个知识点

1．平行与垂直

若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：

(1)直线l1∥l2的充要条件是①____________.

(2)直线l1⊥l2的充要条件是②____________.

若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合．

若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.

2．两直线相交

(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．

(2)相交⇔方程组有③________，交点坐标就是方程组的解．

(3)平行⇔方程组④________.

(4)重合⇔方程组有⑤________.

3．三种距离

(1)两点间的距离

平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝⑥ ____________.

特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝⑦________.

(2)点到直线的距离

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝⑧______.

(3)两条平行线的距离

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝⑨____________.

二、必明2个易误点

1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．

2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．

三、技法

1. 由一般式确定两直线位置关系的方法

2. 处理距离问题的3种方法

(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式．

(2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便．

(3)两平行直线间的距离

①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；

②利用两平行线间的距离公式．

提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等.

3. 中心对称问题的2个类型及求解方法

(1)点关于点对称：

若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．

(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：

①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；

②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

4．轴对称问题的2个类型及求解方法

(1)点关于直线的对称：

若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组

可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．

(2)直线关于直线的对称：

一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.

参考答案

①k1＝k2且b1≠b2　②k1·k2＝－1  ③唯一解　④无解　⑤无数个解

⑥　⑦　⑧　⑨

第三节　圆的方程

一、必记3个知识点

1．圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为①________，半径为②________的圆．

2．圆的一般方程

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③____________，半径为④____________________的圆；

(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⑤____________；

(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．

3．点与圆的位置关系

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；

若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；

若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.

二、必明1个易误点

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．

三、技法

1.求圆的方程的两种方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法：

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

2．确定圆心位置的方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．

提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.

3. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆上点(x，y)有关的代数式的最值的常见类型及解法．

①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；

②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.

参考答案

①(a，b)　②r　③  ④  ⑤　

⑥r2　⑦＞r2　⑧＜r2

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、必记4个知识点

1．直线与圆的位置关系

判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：

(1)代数法：利用判别式

(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.

2．圆的切线方程

若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为⑦____________.

3．直线与圆相交

直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝⑧____________，即l＝2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．

4．两圆位置关系的判断

两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)的圆心距为d，则

(1)d＞r1＋r2⇔两圆⑨________；

(2)d＝r1＋r2⇔两圆⑩________；

(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆⑪________；

(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑫________；

(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑬________.

二、必明2个易误点

1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．

2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．

三、技法

1. 判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

注：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

2. 求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法

先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．

3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法

4. 求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，

则|AB|＝2.

(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在).

5. 判断两圆位置关系的方程

常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．

6．两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.

参考答案

①相交　②相切　③相离　④相交　⑤相切

⑥相离　⑦＋＝r2　⑧d2＋2　⑨外离　⑩外切　⑪相交　⑫内切　⑬内含