第18讲 不等式的最值问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第18讲 不等式的最值问题 参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2021春•沈阳期末）若正数，满足，当取得最小值时，的值为　　A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：，，，，，当且仅当，即时取等号，的值为3．故选：．2．（2021•和平区校级二模）已知，，为正实数，则的最大值为　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，当且仅当时取等号，故的最大值为，故选：．3．（2021•西湖区校级模拟）已知，，．则的最大值为　　A．1 B． C． D．2【解答】解：，，．则，令，，则，则．当且仅当时，取得等号，则的最大值为，故选：．4．（2021秋•杨浦区校级期末）设，则取得最小值时，的值为　　A． B．2 C．4 D．【解答】解：法一：，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，故选：．法二：，当且仅当，，，即，，时取等号，故取得最小值时，的值为．．故选：．5．（2021春•重庆校级期中）设，则的最小值为　　A．2 B．4 C． D．【解答】解：由，可得，则．当且仅当时取等号．因此的最小值为．故选：．6．（2021秋•镇平县校级期末）若不等式对一切正数、恒成立，则正数的最小值为　　A．1 B．2 C． D．【解答】解：不等式对一切正数、恒成立，．令，，．令，则，，令，解得，可知当时，取得极大值即最大值，．．故的最小值为2．故选：．7．（2021•济南三模）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是　　A．或 B．或 C． D．【解答】解：若恒成立，则使恒成立，，求得故选：．8．（2021•唐山二模）已知正数、、满足，则的最小值为　　A．3 B． C．4 D．【解答】解：由题意可得，，，当且仅当即时取等号，又，，当且仅当时取等号，，，，，当且仅当且时取等号，的最小值为4故选：．9．（2021春•柯桥区期末）已知正实数，满足，若对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，则实数的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，，【解答】解：，可得，由，，解得，对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，可得的最小值，可令，则在递增，可得的最小值为，则，故选：．10．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知正实数，满足，若对任意满足条件的，，都有恒成立，则实数的最大值为　　A． B．7 C． D．8【解答】解：正实数，满足，而，，，或（舍去），．又正实数，有恒成立，恒成立，，令，，由双钩函数的性质得在，上单调递增，（6）．，即的最大值为7．故选：．11．（2021春•东湖区校级期中）已知，，，则的最小值是　　A． B． C． D．【解答】解：由，得，解得且，①当时，，，，当且仅当即时取等号；②当时，，，当且仅当即时取等号．综上可得，最小值故选：．12．（2021春•西陵区校级期中）设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为　　A．1 B． C．2 D．【解答】解：正实数，，满足，，，当且仅当，时取等号．，，，时取等号．的最大值为2．故选：．13．设，，，且，则的最大值是　　A．13 B．12 C．11 D．10【解答】解：，，，且，，即，那么令函数，令，则，当在，时，，在，上是单调递减；当在，时，，在，上是单调递增；（2）；同理：令，则，当在，时，，在，上是单调递减；当在，时，，在，上是单调递增；（2）．故当，，时，函数取得最大值，即．故选：．14．（2021•浙江模拟）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为　　A． B． C． D．2【解答】解：，，由柯西不等式得，故当最大时，有，，，，时，取得最小值为．故选：．二．填空题（共15小题）15．（2021•浙江模拟）已知正数，，满足：，，则的取值范围是　　．【解答】解：令，，由，，由，得，即，则问题等价为，满足约束条件，求目标函数的取值范围，根据线性规划，作出对应的图象，求出，，故答案为：16．（2021•浙江模拟）若正数，满足，则的最小值为　　．【解答】解：正数，满足，．．当且仅当，即时取等号，此时结合，得，可知的最小值为．故答案为．17．（2021•徐汇区校级开学）设实数、、满足，则的最小值为　　．【解答】解：法1：令，，其中：，，．则，当且仅当取等号．的最小值为．故答案为：．．法实数，，满足，，当，时取等号，的最小值为．故答案为：．18．（2021秋•浙江月考）若实数，满足条件，且，则的最小值为　2　．【解答】解：，，令，则，因此，则原式（1）．的最小值为2．故答案为：2．19．（2021•南通模拟）已知，，，若，则的最小值为　　．【解答】解：，，．令，解得，，．则，当且仅当，即，时取等号．的最小值为．故答案为：．20．（2021秋•上城区校级期中）若，，则的最小值为　　．【解答】解：，，所以，所以．当且仅当时，取得最小值．故答案为：21．（2021春•泗县校级期末）设正实数，满足，则的取值范围是 　　．【解答】解：正实数，满足，，，当且仅当时取等号．则，．故的取值范围为．故答案为：22．（2021秋•皇姑区校级期末）设，则最小值为　4　．【解答】解：，则（当时取等号）（当即时取等号）（当且仅当即时取等号）即最小值为4故答案为：423．（2021秋•浦东新区校级期中）若不等式对任意，恒成立，则的取值范围是　，　．【解答】解：不等式，，，，令，可得：．．可知：时函数取得最大值，．．．不等式对任意，恒成立，的取值范围是．故答案为：，．24．（2021秋•河东区校级月考）已知正实数，满足，则的最小值是　　．【解答】解：正实数，满足，，当且仅当且，即，时取等号，则的最小值．故答案为：．25．（2015•宝安区校级二模）设二次函数的值域为，，则的最大值为　　．【解答】解：因为二次函数的值域为，，所以，所以由于（当且仅当时取等号）所以．故答案为：26．（2021•蓝山县校级模拟）已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为　3　．【解答】解：一元二次不等式对一切实数都成立，当时，不符合题意；当时，根据的图象，，由此，，，得，则，即时，取等号，故答案为：3．27．（2021春•青羊区校级期末）已知正实数，满足，若对任意满足条件的，，都有恒成立，则实数的取值范围为　，　．【解答】解：正实数，满足，而，，，或（舍去），．又正实数，有恒成立，恒成立，，令，，由双钩函数的性质得在，上单调递增，（6）．．故答案为：，．28．（2021•辽宁）对于，当非零实数，满足且使最大时，的最小值为　　．【解答】解：，由柯西不等式得，故当最大时，有，当时，取得最小值为．故答案为：29．对于，当非零实数、满足且使最大时，的最小值为　　．【解答】解：，，由柯西不等式得，，故当最大时，有，，，当时，取得最小值为．故答案为：．三．解答题（共3小题）30．例2．若的最小值．【解答】解：；故其最小值为3．31．已知正实数，满足，求的最小值．【解答】解：，由，可得（当且仅当时取等号），所以且，所以，所以的最小值为．32．（2021•天门模拟）已知实数，，，满足，，试求的最值．【解答】解：由柯西不等式得即将条件代入可得，解得当且仅当时等号成立，可知，，时最大，，，时，最小．