第21讲 数列求和-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第21讲数列求和
一、单选题
1．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用倒序相加法得到，得到答案.
【详解】
依题意，记，
则，
又，两式相加可得
，
则.
故选：B．
2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，若等比数列满足，则（ ）．
A．2020 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
由函数解析式可知，，
而根据等比数列的性质 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题
【详解】
∵，∴．
∵数列为等比数列，且，∴．
∴，
∴由倒序求和可得．
故选：A．
3．（2021·全国·高二专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
【答案】A
【分析】
由题得 ①， ②，两式相加化简即得解.
【详解】
令 ①
则 ②
①+②可得：，
，..
故选：A
4．（2021·江西·新余市第一中学高二月考）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【答案】A
【分析】
根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.
【详解】
∵，
∴．
又∵，
∴．
令，
则，
两式相加得，∴．
故选：A
5．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
【答案】C
【分析】
设，得到，再利用倒序相加求和得解.
【详解】
解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选：C
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
6．（2021·河南南阳·高二期中）已知数列满足，，，则数列的前2021项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用累加法得到，带入得到，再利用分组求和法计算得到答案.
【详解】
，即.


.
.
故


.
故选：A.
7．（2021·河南南阳·高三期中（文））意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列，则数列的前2021项的和为（ ）
A．2020 B．1348 C．1347 D．672
【答案】B
【分析】
求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.
【详解】
由数列各项除以2的余数，
可得为，
所以是周期为3的周期数列，
一个周期中三项和为，
因为，
所以数列的前2020项的和为，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：
本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
8．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．126 C．247 D．254
【答案】C
【分析】
根据和的关系得到，计算，，故，利用分组求和法计算得到答案.
【详解】
，当时，，故；
当时，，，相减得到，
数列是首项为，公比为的等比数列，故，验证时成立，故，
，，
.
故选：C.
9．（2021·西藏·拉萨中学高二月考）数列满足，则它的前20项和等于（ ）
A．-10 B．-20 C．10 D．20
【答案】D
【分析】
根据，利用并项求和法即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以


.
故选：D.
10．（2021·全国·高二课时练习）已知数列中，，，则（ ）．
A．3009 B．3031 C．3010 D．3030
【答案】B
【分析】
由条件求数列的前几项，由此确定数列具有周期性，利用组合求合法求.
【详解】
在数列中，，，可得，，，…，即奇数项为1，偶数项为2，
则．
故选：B．
11．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，其前项和，则项数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
利用分组求和的办法，求出数列的前项和，解方程即可.
【详解】
由题知，．又，由得．
故选：C
12．（2021·河南·高二月考（文））设数列的前项和为，若，，则（ ）
A．620 B．630 C．640 D．650
【答案】A
【分析】
当为奇数时，，可得的奇数项构成等差数列，由等差数列的求和公式可得奇数项的和，当为偶数时，，可计算偶数项的和，由分组求和即可求解.
【详解】
当为奇数时，，
故数列的奇数项构成以为首项，为公差的等差数列；
所以，
当为偶数时，，
所以，，，，
所以，
所以.
故选：A.

二、多选题
13．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
【答案】ACD
【分析】
对于A，令直接求解，对于B，当时，，然后与已知的式子相减可求出，对于C，利用进行判断，对于D，利用错位相减法求解即可
【详解】
当时，，∴，∴A正确；
当时，，
∴，
∴，∵上式对也成立，∴（），∴B错误；
∵，
∴数列为递减数列，∴C正确；
∵，∴，两式相减得，
∴，
∴．∴D正确．
故选：ACD．
14．（2021·河北衡水中学高三月考）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的第2021项为
C．数列的前项和
D．数列的前项和
【答案】CD
【分析】
由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和
【详解】
数列各项乘以10再减4得到数列
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；
从而所以故B错误
当时；
当时
0.3.
当时也符合上式，所以故C正确
因为所以当时
当2时，
所以
所以
又当时也满足上式，所以，故D正确.
故选：CD.
15．（2021·广东荔湾·高二期末）设为数列的前项和，且，若数列满足：，且，则以下说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递增数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用求得通项公式，即可得判断A；化简判断的正负可判断单调性判断B；利用错位相减法可求得，再作差判断的正负可判断D.
【详解】
，则当时，，
两式相减得，当时，也适合，故，
则，则，所以数列是等比数列，故A正确；
，，
当时，，即，则数列不是递增数列，故B错误；
，
，
两式相减可得，
所以，故C正确；
，
当时，，则,
当时，，则，
当时，，则，
综上可得，故D正确.
故选：ACD.
16．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列的前项和为，，，数列的前项和为，下列正确的结论是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】BCD
【分析】
推导出，可判断AB选项的正误；利用等比数列的通项公式可判断C选项的正误；利用裂项求和法可判断D选项的正误.
【详解】
因为，所以，，
，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，
故数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，，
，
所以，.
所以，BCD选项正确，A选项错误.
故选：BCD.
17．（2021·全国·高三月考）已知数列满足，（），则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列
B．数列的前项和不超过
C．存在等差数列，使得对恒成立
D．不存在实数，使得对恒成立
【答案】ABC
【分析】
先由题意求得，将其代入A选项直接得出结论；B选项，利用放缩技巧将其裂项求和得结论；C选项，利用超越不等式得到结论；D选项，由错位相减法可得结论.
【详解】
将两边同除以，得到，所以为等差数列，首项为，公差为1，所以，
对于A选项，，此时令，则，所以数列是等差数列，正确；
B选项，
，
所以，所以正确；
C选项，，
又令，则，
令，则，令，则，
所以在单减，在单增，
又，所以，即成立，
所以，所以存在等差数列，使得对恒成立
所以正确；
D选项，令，
则，所以，
令,则，
所以，
所以，故错误，
故选：ABC
18．（2021·江苏·海安高级中学高二期中）已知数列的前项和为，且，，若，则正整数的值可以为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】CD
【分析】
由题意，项和转换可得，裂项相消可得
，令，解不等式即可
【详解】
由已知可得，
当时，，即，
∴，

，
令，得，
即
解得（舍去）或，
∴结合选项，知正整数的值可以为8或9．
故选：CD
19．（2021·江苏·高二单元测试）设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
对于AB，通过累乘法求出的通项公式，进而求出的通项公式，即可求解；
对于CD，通过的通项公式求出的通项公式，再通过裂项相消求，进而求解.
【详解】
由题意，得，
∴当时，，
又当时也符合上式，
∴，易得，∴，
故A，B正确；
，
∴，
易知单调递增，
∴，∴，故C错误，D正确.
故选:ABD．


三、填空题
20．（2021·上海市行知中学高二期中）已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为 ___．
【答案】
【分析】
当时，，当时，可得的通项公式，再利用裂项求和即可求解.
【详解】
当时，，
当时，，
因为满足上式，所以，
所以
所以，
故答案为：.
21．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________
【答案】
【分析】
先求得，由，可得，由此即可求解
【详解】
因为，
所以
，
由，可得，解得，
所以满足的最小值为，
故答案为：
22．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））无穷数列满足：只要必有则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，则=_________.
【答案】7578
【分析】
根据新定义得数列是周期数列，从而易求得．
【详解】
∵成等比数列，，∴，
又，为“和谐递进数列”，∴，，，，…，
∴数列是周期数列，周期为4．
∴．
故答案为：7578．
23．（2021·全国·模拟预测）已知数列满足，，，则下列表达式的值为____________．
【答案】
【分析】
依次求得，由此求得所求表达式的值.
【详解】
，，
，
，
，
，
，
，

．
故答案为：

四、解答题
24．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）令，求数列的前2020项和.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
（1）
因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）
因为，所以，
所以.
（3）
由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
25．（2021·全国·高二课时练习）设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn.
【答案】
（1）证明见解析
（2）Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－
【分析】
（1）根据an＝Sn－Sn－1得到，即，得到证明.
（2）计算Sn＝n·2n－n，根据错位相加法结合分组求和法计算得到答案.
（1）
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，
即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则，所以，
又＋1＝2，故数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）
知，所以Sn＝n·2n－n，
故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).
设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，
则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，
所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以M＝(n－1)×2n＋1＋2，
所以Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－.
26．（2021·陕西西安·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，设，求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）当时，，可得，两式相减即可求解；
（2）由（1）可求得，进而可得，，利用乘公比错位相减求和即可求解.
【详解】
（1）当时，，，
两式相减可得：，即，
所以，不满足，
所以数列的通项公式为；
（2）当时，由，，可得，
，满足，所以，
可得，，
，
，
两式相减可得：

，
所以.
27．（2021·广东顺德·一模）已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．
【答案】
（1）；
（2）
【分析】
（1）结合等差数列性质，将具体项转化为关于的关系式，可求通项， ，可求解的通项公式；
（2）由（1）知，再采用错位相减法即可求解．
（1）
（1）方法1：设数列的公差为d，由题意得：
，解得，，故；
由可得：，即有或（舍），从而有数列为首项为1，公比为的等比数列，即可得；
（2）
（2）由（1）得，
①，
②，
①②得：
，故．
28．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，.数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据与的关系以及等差数列的通项公式即可求解.
（2）由，利用叠加，裂项相消法即可证明.
（1）
∵，，
∴，∴，
当时，有，
∴，∴，
∵，∴
∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，，
偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，
，
∴.
（2）
，所以得，
从而
，
从而可得
29．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
【答案】
（1）；
（2）选①时，；选②时，；选③时，.
【分析】
（1）利用等差数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）选①时，得到，利用裂项相消法可求得；
选②时，得到，利用分组求和法，结合等差等比求和公式求得；
选③时，得到，利用错位相减法可求得.
（1）
是递增的等差数列，数列的公差，
由题意得：，解得：，，
．
（2）
选①时，．
，
．
选②时，，
．
选③时，，
，
则，
两式作差得：
．
30．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列的首项，其前项和为，且.数列满足：(b1+ b2.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意得到和，两式相减得，解得答案.
（2）计算，，放缩和，利用裂项相消法计算得到证明.
（1）
由得，两式相减得，
由，得，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列，
当为奇数时，，当为偶数时，.
综上所述.
（2）
由，，，，
两式相减得，，验证成立，故.
则，
那么，
故，
同理
，
故
，得证.
【点睛】
本题考查了求数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中数列的放缩是解题的关键，同学们需要灵活掌握.
31．（2021·上海·模拟预测）已知无穷数列满足，.
（1）若；
（i）求证：；
（ii）数列的前项和为且，求证：；
（2）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由.
【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）（i）首先根据已知条件推出与的大小关系，计算出，然后求出的取值范围，从而可使问题得证；（ii）首先根据条件求出，然后求出，从而结合（i）的结论使问题得证；
（2）首先分，，三种情况求出的取值范围，当时，求出的取值范围，从而可推出在时，当时，，不符合题意，即可求解的取值范围．
【详解】
（1）（i）由可得，
①当时，∵，∴，∴，
②假设时，，则，
∴时，，，
由①②可知对一切正整数都有，
∴，
∴，
∴，
∴，
但当时，，
∴．
（ii）∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
由（i）知，可得，即，
∴．
（2）∵对任意的，都有，
且，∴显然，由（1）证明知，
①若，则，∴，∴；
②若，则为常数列，∴；
③若，则，∴，
又，
若，则，则，
∴，
∴当时，有，
∴当时，，不符合题意．
综上可知，.
【点睛】
关键点点睛：对于数列不等式的证明、不等式恒成立问题．解题中注意问题的转化，如利用，求出这个式子的取值范围后可证明不等式，利用裂项相消求和法求出，利用分类讨论求出参数的取值范围.
32．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））已知数列为等比数列，正项数列满足，且，.
（1）求和的通项公式；
（2）若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设，求.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）先判断数列是等差数列，再由等差数列和等比数列的通项公式求解即可；
（2）由分组转化求和法即可求解
（1）
因为，
所以，又，
所以.
即，又，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.
所以，即，
设的公比为，又，，
所以，解得，
所以.
综上，数列和的通项公式分别为，；
（2）
由（1）知，，，，，
，，，.
所以
.
.
33．（2021·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）利用递推作差法求出通项公式，且证明当时也符合，再利用构造法结合已知条件求出的通项公式；
（Ⅱ）借助分组求和、等差、等比数列求和公式即可求出数列的前项和．
【详解】
（Ⅰ）由得
当时，，可得；
当时，，
两式相减得，
所以，
当时也满足上式，
所以的通项公式为，
因为，
因为，
所以，
即，且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，





．
34．（2021·广东·江门市培英高级中学模拟预测）已知数列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，根据构造即可得证；求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出数列的前项和；
（2）求出数列得通项公式，利用错位相减法即可求得数列的前项和．
【详解】
（1）证明：因为，
所以，即，
，
所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，
则 ，故，
所以

；
（2）解：，
则①
②
①②得：


所以.
35．（2021·山东肥城·模拟预测）设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；
（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】
（1）令，则，可得，得；
当时，由可得，
两式相减得，即，
由数列的各项为正，可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
即数列的通项公式为；
（2）由得，则有，
因为

，
因此，.
36．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记的前项和为，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由已知方程可得或，结合正项数列即可确定的通项公式；
（2）利用正弦型函数的性质判断的周期，并求出一个周期内的项，最后根据周期求.
（1）
，
或，
为正项数列，
；
（2）
，
是周期为12的周期数列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，

.
37．（2021·浙江·三模）已知数列，满足，为数列的前项和，记的前项和为，的前项积为，且.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，对任意自然数，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，，推得，结合，求得，从而求得.
（2）由，结合（1）中，求得，；代入问题所示表达式，由，进行裂项求和，将不等关系转化为，从而求得参数取值范围.
【详解】
解：（1）∵，
.
∵，∴，
∵，∴.
∵，∴，∴.
（2）∵，，
∴.∵，
∴，
∴，∴，.
∵
∴

两边同乘以（时，），
∴条件不等式等价于，
∴当n为偶数时，恒成立，当时，，故；
当 n为奇数时，恒成立，当时，，故；
故.
【点睛】
方法点睛：根据和求得与的关系，分别根据题目条件给出的求得数列通项；型如，可以通过这种方法进行裂项求和，对于含有型的表达式，需要分奇偶讨论，分别求得参数取值范围.
38．（2021·浙江·二模）对任意非零数列，定义数列，其中的通项公式为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若数列，满足的前项和为，且，．求证．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．
【分析】
（Ⅰ）利用相乘相消法求出通项公式即可；
（Ⅱ）由可求出，利用，由相乘相消法求出，根据进行放缩，即可证明出结论.
【详解】
（Ⅰ）因为，，
所以，
故；
（Ⅱ）因为，所以，，
又当时，，，
所以对任意，．
又由，
于是
由得．
【点睛】
关键点点睛：根据所给条件求通项公式，相乘相消法是解题的关键，在证明不等式中，恰当放缩是难点.