第29讲 外接球与内切球问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

第29讲 外接球与内切球问题

一．选择题（共20小题）

1．（2021春•润州区校级期末）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　

A． B． C． D．

2．（2021•泉州二模）如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球的球面上，若十四面体的棱长为1，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

3．（2021•三模拟）如图，已知一底面半径为1，体积为的圆锥内接于球（其中球心在圆锥内），则球的表面积为　　

A． B． C． D．

4．（2021•甲卷）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

5．（2021春•让胡路区校级期末）一块边长为的正方形铁片如图所示，将它的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积　　

A． B． C． D．

6．（2021•晋中三模）在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面的交线长度为　　

A． B． C． D．

7．（2021•河南模拟）如图，正方形与正方形所在的平面互相垂直，，点，，，，，在同一个球面上，则该球的体积是　　

A． B． C． D．

8．在半径为的球内放入5个球，其中有4个球大小相等，两两相外切且均与大球相内切，另一个小球与这四个球均相外切，则这个小球半径为　　

A． B． C． D．

9．（2021春•三明期中）在三棱锥中，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

10．（2021•白山三模）如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形．若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为　　

A． B． C． D．

11．（2021•鼓楼区校级模拟）已知矩形，，，点为边的中点将沿翻折，得到四棱锥，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

12．桌面上放着3个半径为1的球，两两相切，在它们上方的空间里放入一个球使其顶点（最高处）恰好和3个球的顶点在同一个平面上，该球的半径为　　

A． B． C． D．

13．（2021•龙岩模拟）如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球，，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则球的半径最大时，球的体积是　　

A． B． C． D．

14．（2021•桂林三模）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

15．（2021•聊城一模）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为　　

A． B． C． D．

16．（2021•5月份模拟）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为　　

A． B． C． D．

17．（2021•广西模拟）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，，与平面所成的角为，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

18．（2021•厦门模拟）如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为　　

A． B． C． D．

19．（2021•江苏模拟）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是，的中点，且，则三棱锥接球的表面积为　　

A． B． C． D．

20．（2021春•扬中市校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共18小题）

21．（2021•蚌埠模拟）有四个半径为1的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切．在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切．则球的半径为 　　．

22．（2021•榆林一模）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于　　．

23．（2021•安徽模拟）已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的3倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为　　．

24．（2021秋•唐山期末）已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为，则球的表面积为　　．

25．（2021春•青羊区校级期末）已知边长为的菱形中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为　　．

26．（2021•沈阳三模）在四面体中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为 　　．

27．（2021春•包河区校级期中）把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为 　　．

28．把半径为的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为　　．

29．（2021•饶阳县校级模拟）如图，在三棱柱中，，为棱上一点，且，平面，则三棱锥的外接球的表面积为 　　．

30．（2021•普陀区模拟）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为　　．

31．（2021•奉贤区校级二模）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则球的体积为 　　；到平面的距离为 　　．

32．（2021•渝水区校级模拟）阿基米德多面体，也称为半正多面体，是指至少由两种类型的正多边形为面构成的凸多面体．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，若得到的几何体是由正三角形与正六边形构成的阿基米德多面体，且该阿基米德多面体的表面积为，则该阿基米德多面体外接球的表面积为 　　．

33．（2021•泰州模拟）由两种或三种正多边形面组成的凸多面体称作阿基米德多面体．将一个棱长为12的正四面体截去4个小正四面体后可以得到一个由正三角形和正六边形构成的阿基米德八面体，则该阿基米德八面体的外接球的表面积为 　　．

34．（2021•潍坊三模）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为 　　．

35．（2021秋•怀化期末）矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　　．

36．（2021•闵行区校级模拟）在棱长为2的正方体，，，，分别为棱，，，的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为　　．

37．（2021•聊城三模）在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，则的最大值为　　，若点为棱的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为　　．

38．（2021•河东区二模）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　．