第44讲 解析几何中的极点极线问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第44讲 解析几何中的极点极线问题 一．选择题（共4小题）1．（2021•柯桥区模拟）过点的两条直线，分别与双曲线相交于点，和点，，满足，且．若直线的斜率，则双曲线的离心率是　　A． B． C．2 D．2．（2021•武汉模拟）已知椭圆内有一点，过的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中，且，若变化时，的斜率总为，则椭圆的离心率为　　A． B． C． D．3．（2021•武汉模拟）已知，分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于，两点（点，异于，，则直线，的斜率之比　　A． B． C． D．4．（2021•湖北月考）已知椭圆的左右顶点分别为，，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点（异于，，若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，，则　　A． B．3 C． D．2二．填空题（共4小题）5．已知椭圆内有一点过点的两条直线分别与椭圆相交于．和，两点若，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为　　6．（2021•龙凤区校级月考）已知椭圆内一点，过点的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中且，若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为　　．7．设为椭圆的右焦点，过椭圆外一点作椭圆的切线，切点为，若，则点的轨迹方程为　　．8．（2021•南通模拟）若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是　　．三．解答题（共32小题）9．（2021•朝阳区校级期中）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，已知，是椭圆上不同于顶点的两点，直线与交于点，直线与交于点．若弦过椭圆的右焦点，求直线的方程．10．（2021•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为，点，分别是椭圆的左、右顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线过椭圆的短轴顶点时，求的面积．11．（2021•邗江区校级期中）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．（1）求椭圆的标准方程；（2）记，的面积分别为，，若，求的值；（3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．12．（2021春•射洪市期末）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，、分别是椭圆的左、右顶点，短轴为，长轴长是焦距的2倍，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于、两点．（1）若时，记、的面积分别为、，求的值；（2）记直线、的斜率分别为、，是否存在常数使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．13．（2021•全国模拟）椭圆的右焦点为，规定直线为椭圆的右准线，椭圆上的任意一点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为．已知椭圆．（1）若点，是椭圆上的任意一点，求的最小值；（2）若，分别是椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，非顶点），证明：直线与的交点在椭圆的右准线上．14．（2021•南平二模）已知椭圆．（Ⅰ）若椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得弦长为．①求椭圆方程；②过点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，若，求直线的斜率；（Ⅱ）设，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且，类比（Ⅰ）②直接写出直线的斜率．（不必证明）15．（2021•安徽模拟）设，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两直线分别与椭圆交于，和，，若．（Ⅰ）证明：直线的斜率为定值；（Ⅱ）过点作的平行线，与椭圆交于，两点，证明：点平分线段．16．（2021•安阳三模）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其短轴长为2，离心率为．点，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两直线分别与椭圆交于点，和，，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率为定值．17．（2021•南昌一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的动直线与抛物线交于，两点，直线过点，，且点关于直线的对称点，．（1）求抛物线的方程，并证明直线是抛物线的切线；（2）过点且垂直于的直线交轴于点，，与抛物线的另一个交点分别为，，记的面积为，的面积为，求的取值范围．18．（2021•金华模拟）如图，已知抛物线，过点的直线斜率为，与抛物线交于，两点．（Ⅰ）求斜率的取值范围；（Ⅱ）直线与轴交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，设直线与直线的交点的横坐标为，是否存在这样的，使，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．19．（2021•新津县校级月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知点，延长交抛物线于点，以点为圆心作与直线相切的圆，求圆的半径，判断圆与直线的位置关系，并说明理由．20．（2015•四川）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．22．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．23．（2021•越秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点．设抛物线的焦点为．（1）若点在抛物线上且，求抛物线的方程；（2）证明为定值．24．（2021•浙江）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．（Ⅰ）设中点为，证明：垂直于轴；（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．25．（2021•金安区校级期末）如图所示，已知点，是轴左侧一点，抛物线上存在不同的两点，，中点为，，的中点均在上．（1）求证：；（2）若是半椭圆上的动点，求长度的取值范围．26．（2021•杨浦区期末）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，，满足，的中点均在抛物线上（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，，，，证明：；（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值．27．（2021•怀化一模）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，．（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值．28．（2021秋•通州区期末）如图，已知椭圆经过点，离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．29．（2013•江西）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．30．（2021•张掖期末）如图，椭圆的两顶点，，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点．（1）当时，求直线的方程；（2）当点异于，两点时，求证：点与点横坐标之积为定值．31．（2021秋•枣强县校级期末）椭圆的两顶点为，如图，离心率为，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点．（Ⅰ）当时，求直线的方程；（Ⅱ）当点异于，两点时，求证：为定值．32．（2015秋•成都校级月考）在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为．设过点的直线，与此椭圆分别交于点，，，，其中，，．（Ⅰ）设动点满足：，求点的轨迹；（Ⅱ）设，求点的坐标；（Ⅲ）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标．33．（2021春•南开区校级月考）已知椭圆的右焦点为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若．求证：直线经过定点．34．（2021•北京）已知椭圆的右焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．35．（2012•福建）如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线的方程；（2）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．36．（2013•崇明县一模）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，的周长为8，且△面积最大时，△为正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：①以为直径的圆与轴的位置关系？②在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．37．（2021•江西）如图，已知双曲线的右焦点为，点，分别在的两条渐近线上，轴，，为坐标原点）．（1）求双曲线的方程；（2）过上一点，的直线与直线相交于点，与直线相交于点．证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．38．（2021•青浦区三模）曲线．（1）若曲线表示双曲线，求的范围；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的范围；（3）设，曲线与轴交点为，在上方），与曲线交于不同两点，，与交于，求证：，，三点共线．39．（2011春•绍兴校级期末）设椭圆过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．40．（2015•株洲一模）如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点．（1）如果点的坐标为，求椭圆的方程；（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论．