还剩15页未读，
继续阅读
2021-2022学年度第一学期八年级数学第13章《轴对称》13.4 课题学习 最短路径问题 期末复习练习卷（人教版）
展开
这是一份2021-2022学年度第一学期八年级数学第13章《轴对称》13.4 课题学习 最短路径问题 期末复习练习卷（人教版），共18页。
2021-2022学年度第一学期八年级数学第13章《轴对称》13.4 课题学习 最短路径问题 期末复习练习卷（人教版）
一、单选题
1.如图， ΔABC 中， AB=AC ， BC=3 ， SΔABC=6 ， AD⊥BC 于点 D ， EF 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ，在 EF 上确定一点 P ，使 PB+PD 最小，则这个最小值为（ ）
A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A. 7.5 B. 8.5 C. 10.5 D. 13.5
3.如图所示，点 P 为 ∠AOB 内一点，分别作出 P 点关于 OB、OA 的对称点 P1,P2 ，连接 P1P2 交 OA 于 M ，交 OB 于 N,P1P2=5 ，则 △PMN 的周长为（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
4.如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5.如下图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A. B.
C. D.
6.如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= α ，∠PQN= β ，当MP+PQ+QN最小时，则 β−α 的值为( )
A. 10° B. 20° C. 40° D. 60°
7.如图所示，在正方形网格中，点A、B、C、D、E、F是网格线交点；直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，则点M在（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
8.如图，四边形ABCD中， ∠C=50° ， ∠B=∠D=90° ，E，F分别是BC，DC上的点，当 △AEF 的周长最小时， ∠EAF 的度数为（ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
9.已知在 Rt△ACB 中， ∠C=90°,∠ABC=75° ， AB=5 ．点 E 为边 AC 上的动点，点 F 为边 AB 上的动点，则线段 FE+EB 的最小值是（ ）
A. 532 B. 52 C. 5 D. 3
10.如图，在等边三角形 ABC 中， D ， E 分别是 BC ， AC 的中点，点 P 是线段 AD 上的一个动点，当 △PCE 的周长最小时， P 点的位置在（ ）
A. A 点处 B. D 点处 C. AD 的中点处 D. △ABC 三条高的交点处
二、填空题
11.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，则∠AOB的度数是 ．
12.如图，∠MON=40°，点P是∠MON中的一个定点，点A、B分别在射线OM、ON移动，当△PAB的周长最小时，则∠APB的度数为
13.如图，∠AOB＝ α ，点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别在OA，OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为 .
14.如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面积是9cm2 ， 腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为 .
15.如图， AC ， BD 在 AB 的同侧， AC=3 ， BD=18 ， AB=12 ，点 M 为 AB 的中点，连接 CM ， DM ， CD ，若 ∠CMD=120° ，则 CD 的最大值为 .
三、解答题
16.如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上．点E为直线CD上的动点，连接BE ， 作AF⊥BE于F ． 点P为BC边上的动点，连接DP和PF ．
（Ⅰ）当点E为CD边的中点时，求△ABF的面积为；
（Ⅱ）当DP＋PF最短时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P ， 并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．
17.如图所示， ∠ABC=30°，∠ABC 内有一点 P ，点 P 到点 B 的距离为 10cm， 在 BA、BC 边上各取一点 P1、P2， 使 ΔPP1P2 的周长最小并求出这个最小值．（保留作图痕迹并说明结果）
18.点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，P1P2交OA、OB于M、N，若P1P2=8，则△MPN的周长是多少？
19.如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 15 km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
20.作图题：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
①在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1并写出A1 ， B1 ， C1的坐标；
②在y轴上画出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
③求△ABC的面积．
21.如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1 ， P2 ， 使得△PP1P2的周长最小，作出点P1 ， P2 ， 叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．
22.如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】线段垂直平分线的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故答案为：B．
【分析】根据AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，得出AD的值，由EF垂直平分AB，得出点A，B关于直线EF对称，即可得出PB+PD的最小值。
2.【答案】 D
【考点】三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴ CD=12BC=1.5 ，AD⊥BC
∴ S△ABC=12×3×AD=18
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故答案为：D.
【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得 CD=12BC=1.5 ，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.
3.【答案】 C
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ P 点关于 OB、OA 的对称点 P1,P2 ，
∴ PP1、PP2 分别被 OB、OA 垂直平分 ，
∴ P1N=PN ， P2M=PM ，
∵ P1P2=5 ，
∴ △PMN 的周长等于 PM+PN+MN=P2M+P1N+MN=P1P2=5 .
故答案为：C.
【分析】根据轴对称的性质可得P1N=PN，P2M=PM，于是△PMN的周长=PM+PN+MN=P1P2可求解.
4.【答案】 B
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ 12 BC•AD= 12 ×4×AD＝12，
∴AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短=（CP+PD）+CD=AD+ 12 BC=6+2=8，
故答案为：B．
【分析】连接AD，由△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，得出AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，得出点C关于直线EF的对称点为A，由此得出AD的长为CP+PD的最小值，即可得出结论。
5.【答案】 D
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点P关于直线l的对称点P'，连接QP'交直线l于M．
则 PM+MQ=P′M+MQ=P′Q,
根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．
故答案为：D．
【分析】作点P关于直线l的对称点P'，连接QP'交直线l于M．得出PM+MQ=P′M+MQ=P′Q,根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．
6.【答案】 C
【考点】轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= 12 (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ 12 (180°-α)=110°- 12 α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= 12 (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= 12 (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- 12 α+α+ 12 (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，得出∠OPM=∠OPM′，∠OPM= 12 (180°-α)，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出答案。
7.【答案】 B
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据题意,得点F是边长为3的正方形的一个顶点,AD是正方形的对角线,根据正方形的性质,可得点G是点F关于l的对称点,连接EG,交直线AD于点B,
故答案为：B.
【分析】根据直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，计算求解即可。
8.【答案】 A
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，∠B=∠D=90°，
∴∠DAB=360º-∠C -∠B-∠D =360º-50º-90º-90º=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°-50°=80°，
故答案为：A．
【分析】根据使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A''，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠EAA′+∠A″AF=50°，即可得出答案。
9.【答案】 B
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点F关于直线AB的对称点F’ ， 连接AF’ ， 如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’ ，
此时EF+EB= EF’+EB ，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0 ， 此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
BF0= 12 AB= 12×5=52 ，
故答案为：B ．
【分析】过点F作AC的对称点F' ， 延长AF' ， BC交于点B' ， 当B，E，F'三点共线且AB'垂直时，求出BD的长即可。
10.【答案】 D
【考点】等腰三角形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小
则此时点B、P、E在同一直线上，
又∵BE为中线，△ABC是等边三角形
∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的三条高的交点．
故答案为：D
【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短求解即可。
二、填空题
11.【答案】 30°
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D ， 连接CD ，
分别交OA、OB于点M、N ， 连接OC、OD、PM、PN、MN ， 如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D ，
∴PM=DM ， OP=OD ， ∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C ，
∴PN=CN ， OP=OC ， ∠COB=∠POB ，
∴OC=OP=OD ， ∠AOB= 12 ∠COD ，
∵△PMN周长的最小值是8cm ，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP ，
∴OC=OD=CD ， 即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D ， 连接CD ， 分别交OA、OB于点M、N ， 连接OC、OD、PM、PN、MN ， 由对称的性质得出PM=DM ， OP=OD ， ∠DOA=∠POA；PN=CN ， OP=OC ， ∠COB=∠POB ， 得出OC=OP=OD ， ∠AOB= 12 ∠COD ， 证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结论。
12.【答案】 100°
【考点】等腰三角形的性质，轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″，
由轴对称性质得：OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，
∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，
∴∠OP′P″=∠OP″P′=（180°-80°）÷2=50°，
∵∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，
∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°.
【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质，得出∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，即可得出∠APB的度数.
13.【答案】 180°−2α
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD交OB、OA于N、M.
此时 △PNM 周长有最小值；
∵P关于OB、OA的对称点C、D，
∴OB垂直平分PC，OA垂直平分PD，
∴ CN=PN，PM=DM，
∴ ∠CPN=∠C，∠DPM=∠D，
∵ ∠PRN=∠PTM=90° ，
∴ ∠ONM=∠BNC=90−∠C，∠OMN=∠BMD=90°−∠D
∵ ∠ONM+∠OMN+∠AOB=180°
∴ 90−∠C+90°−∠D+∠AOB=180°
∴ ∠C+∠D=∠AOB
∴ ∠CPN+∠DPM=∠AOB=α，
在四边形 OTPR 中，可得： ∠CPD+∠BOA=180° ，
∴ ∠NPM+∠CPN+∠DPM+∠AOB=180° ，
∴ ∠NPM=180°−α−α=180°−2α
故答案为： 180°−2α.
【分析】作P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD交OB、OA于N、M，此时△PNM周长有最小值，由轴对称的性质可得CN=PN，PM=DM，由等腰三角形的性质可得∠CPN=∠C，∠DPM=∠D，根据余角的概念可得∠ONM=90°-∠C，∠OMN=90°-∠D，在△OMN中，由内角和定理可得∠C+∠D=∠AOB，则∠CPN+∠DPM=∠AOB=α，由四边形内角和为360°可得∠CPD+∠BOA=180°，据此解答.
14.【答案】 6cm
【考点】三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ 12 BC•AD＝ 12 ×3×AD＝9cm2 ，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM的最小值＝6（cm）.
故答案为：6cm.
【分析】连接AD，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，由S△ABC＝ 12 BC•AD＝9cm2 ， 可求出AD=6，根据轴对称的性质及两点之间线段最短，可得AD的长为BM+MD的最小值，据此即得结论.
15.【答案】 27
【考点】等边三角形的判定与性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点 A 关于 CM 的对称点 A′ ，点 B 关于 DM 的对称点 B′ ，
∵∠CMD=120° ，
∴∠AMC+∠DMB=60° ，
∴∠CMA′+∠DMB′=60° ，
∴∠A′MB′=∠CMD−60°=60° ，
∵点 M 为 AB 的中点，
∴ MA=MB=12AB=6 ，
∴ MA′=MB′ ，
∴△A′MB′ 为等边三角形， MA′=MB′=A′B′ ，
由轴对称的性质可得： CA=CA′ ， DB=DB′ ，
∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD =3+6+18=27 ，
∴CD 的最大值为27.
故答案为：27.
【分析】作点A关于CM 的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，由平角的概念可得∠AMC+∠DMB=60°，由轴对称的性质可得∠AMC=∠A′MC，∠DMB=∠DMB′，进而求出∠A′MB′=60°，由中点的概念可得MA=MB=6，推出△A′MB′为等边三角形， 得到MA′=MB′=A′B′，根据两点之间，线段最短的性质可知：当点C、A′、B′、D共线时，CD取得最小值，据此求解.
三、解答题
16.【答案】 解：（Ⅰ）根据题意可得，当E为CD中点时，由勾股定理可得AF=BF=2 2
则△ABF的面积为 12 AF·BF=4
（Ⅱ）先取格点G、M、N，分别连接DG、MN交于点D′，取AB的中点H，连接H D′ 交BC于P，点P即为所求．
【考点】三角形的面积，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（Ⅰ）证明△AFB是等边直角三角形即可解决问题；（Ⅱ） 先取格点G、M、N，分别连接DG、MN交于点D′，取AB的中点H，连接H D′ 交BC于P，点P即为所求．
17.【答案】 解：如图，以BC为对称轴作P的对称点M，
以BA为对称轴作出P的对称点N，
连MN交BA、BC于点P1、P2
∴△PP1P2为所求作三角形
∴ ∠PBP1=∠NBP1 , ∠PBP2=∠MBP2
∵ ∠ABC=30°
∴ ∠MBN=∠MBP+∠NBP=2∠PBP2+∠PBP1 = 2(∠PBP2+∠PBP1)=2∠ABC=60°
又BN=BP=MB=10
∴△BMN是等边三角形
∴ ΔPP1P2 的周长=PP1+P1P2+PP2=NP1+P1P2+MP2=MN=BP=10cm．
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB，AC的对称点，进而可画出所求的图形，再根据 ∠ABC=30° 得到△BMN是等边三角形，再由BP=BN求出△BMN的边长即可求解．
18.【答案】 解：∵点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，
∴PM=MP1 ， PN=NP2；
∴P1M+MN+NP2=PM+MN+PN=P1P2=8，
∴△PMN的周长为8．
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】利用轴对称解决最短路径问题。
19.【答案】 解：设小河为直线MN，如图，
作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线．在Rt△A′DB中，由勾股定理得：
A′B= DA'2+DB2 = (3+2+2)2+(15)2 =8（km）．
答：他要完成这件事情所走的最短路程是8km．
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 利用轴对称求最短问题，设小河为直线MN，如图， 作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线 ，根据勾股定理即可算出A'B的长，从而得出答案。
20.【答案】 解：①如图所示，△A1B1C1即为所求；A1的坐标（2，﹣3），B1的坐标（3，﹣1），C1的坐标（﹣2，1）；
②如图所示，点P即为所求；
③S△ABC=S△ABD+S△BCD= 12 ×3×2+ 12 ×3×2=6
①如图所示见解析，A1的坐标（2，﹣3），B1的坐标（3，﹣1），C1的坐标（﹣2，1）；②如图所示见解析；③6．
【考点】坐标与图形性质，坐标与图形变化﹣对称，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】①分别找到A、B、C三点的对称点，连线即可。
②作点A关于y轴的对称点A',连接A'B,与y轴的交点即为点P。
③AC与y轴相交于点D，BD将△ABC分割成两个三角形，分别求其面积即可得△ABC的面积。
21.【答案】 解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1 ， 交OB于P2 ， 连接PP1 ， PP2 ， △PP1P2即为所求．
理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1 ， 交OB于P2 ， 连接PP1 ， PP2 ， △PP1P2即为所求．
22.【答案】 解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON， 由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8， ∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°， 则△MON为等边三角形， ∴MN=8， ∵QP=QM，RN=RP， ∴△PQR周长=MN=8，
【考点】等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON， 由轴对称的性质可知， OM=ON=OP=8， 再证明△MON是等边三角形，就可得出MN=8，然后证明△PQR周长=MN 。
2021-2022学年度第一学期八年级数学第13章《轴对称》13.4 课题学习 最短路径问题 期末复习练习卷（人教版）
一、单选题
1.如图， ΔABC 中， AB=AC ， BC=3 ， SΔABC=6 ， AD⊥BC 于点 D ， EF 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ，在 EF 上确定一点 P ，使 PB+PD 最小，则这个最小值为（ ）
A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A. 7.5 B. 8.5 C. 10.5 D. 13.5
3.如图所示，点 P 为 ∠AOB 内一点，分别作出 P 点关于 OB、OA 的对称点 P1,P2 ，连接 P1P2 交 OA 于 M ，交 OB 于 N,P1P2=5 ，则 △PMN 的周长为（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
4.如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5.如下图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A. B.
C. D.
6.如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= α ，∠PQN= β ，当MP+PQ+QN最小时，则 β−α 的值为( )
A. 10° B. 20° C. 40° D. 60°
7.如图所示，在正方形网格中，点A、B、C、D、E、F是网格线交点；直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，则点M在（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
8.如图，四边形ABCD中， ∠C=50° ， ∠B=∠D=90° ，E，F分别是BC，DC上的点，当 △AEF 的周长最小时， ∠EAF 的度数为（ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
9.已知在 Rt△ACB 中， ∠C=90°,∠ABC=75° ， AB=5 ．点 E 为边 AC 上的动点，点 F 为边 AB 上的动点，则线段 FE+EB 的最小值是（ ）
A. 532 B. 52 C. 5 D. 3
10.如图，在等边三角形 ABC 中， D ， E 分别是 BC ， AC 的中点，点 P 是线段 AD 上的一个动点，当 △PCE 的周长最小时， P 点的位置在（ ）
A. A 点处 B. D 点处 C. AD 的中点处 D. △ABC 三条高的交点处
二、填空题
11.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，则∠AOB的度数是 ．
12.如图，∠MON=40°，点P是∠MON中的一个定点，点A、B分别在射线OM、ON移动，当△PAB的周长最小时，则∠APB的度数为
13.如图，∠AOB＝ α ，点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别在OA，OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为 .
14.如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面积是9cm2 ， 腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为 .
15.如图， AC ， BD 在 AB 的同侧， AC=3 ， BD=18 ， AB=12 ，点 M 为 AB 的中点，连接 CM ， DM ， CD ，若 ∠CMD=120° ，则 CD 的最大值为 .
三、解答题
16.如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上．点E为直线CD上的动点，连接BE ， 作AF⊥BE于F ． 点P为BC边上的动点，连接DP和PF ．
（Ⅰ）当点E为CD边的中点时，求△ABF的面积为；
（Ⅱ）当DP＋PF最短时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P ， 并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．
17.如图所示， ∠ABC=30°，∠ABC 内有一点 P ，点 P 到点 B 的距离为 10cm， 在 BA、BC 边上各取一点 P1、P2， 使 ΔPP1P2 的周长最小并求出这个最小值．（保留作图痕迹并说明结果）
18.点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，P1P2交OA、OB于M、N，若P1P2=8，则△MPN的周长是多少？
19.如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 15 km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
20.作图题：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
①在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1并写出A1 ， B1 ， C1的坐标；
②在y轴上画出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
③求△ABC的面积．
21.如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1 ， P2 ， 使得△PP1P2的周长最小，作出点P1 ， P2 ， 叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．
22.如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】线段垂直平分线的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故答案为：B．
【分析】根据AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，得出AD的值，由EF垂直平分AB，得出点A，B关于直线EF对称，即可得出PB+PD的最小值。
2.【答案】 D
【考点】三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴ CD=12BC=1.5 ，AD⊥BC
∴ S△ABC=12×3×AD=18
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故答案为：D.
【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得 CD=12BC=1.5 ，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.
3.【答案】 C
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ P 点关于 OB、OA 的对称点 P1,P2 ，
∴ PP1、PP2 分别被 OB、OA 垂直平分 ，
∴ P1N=PN ， P2M=PM ，
∵ P1P2=5 ，
∴ △PMN 的周长等于 PM+PN+MN=P2M+P1N+MN=P1P2=5 .
故答案为：C.
【分析】根据轴对称的性质可得P1N=PN，P2M=PM，于是△PMN的周长=PM+PN+MN=P1P2可求解.
4.【答案】 B
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ 12 BC•AD= 12 ×4×AD＝12，
∴AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短=（CP+PD）+CD=AD+ 12 BC=6+2=8，
故答案为：B．
【分析】连接AD，由△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，得出AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，得出点C关于直线EF的对称点为A，由此得出AD的长为CP+PD的最小值，即可得出结论。
5.【答案】 D
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点P关于直线l的对称点P'，连接QP'交直线l于M．
则 PM+MQ=P′M+MQ=P′Q,
根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．
故答案为：D．
【分析】作点P关于直线l的对称点P'，连接QP'交直线l于M．得出PM+MQ=P′M+MQ=P′Q,根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．
6.【答案】 C
【考点】轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= 12 (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ 12 (180°-α)=110°- 12 α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= 12 (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= 12 (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- 12 α+α+ 12 (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，得出∠OPM=∠OPM′，∠OPM= 12 (180°-α)，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出答案。
7.【答案】 B
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据题意,得点F是边长为3的正方形的一个顶点,AD是正方形的对角线,根据正方形的性质,可得点G是点F关于l的对称点,连接EG,交直线AD于点B,
故答案为：B.
【分析】根据直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，计算求解即可。
8.【答案】 A
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，∠B=∠D=90°，
∴∠DAB=360º-∠C -∠B-∠D =360º-50º-90º-90º=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°-50°=80°，
故答案为：A．
【分析】根据使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A''，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠EAA′+∠A″AF=50°，即可得出答案。
9.【答案】 B
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点F关于直线AB的对称点F’ ， 连接AF’ ， 如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’ ，
此时EF+EB= EF’+EB ，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0 ， 此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
BF0= 12 AB= 12×5=52 ，
故答案为：B ．
【分析】过点F作AC的对称点F' ， 延长AF' ， BC交于点B' ， 当B，E，F'三点共线且AB'垂直时，求出BD的长即可。
10.【答案】 D
【考点】等腰三角形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小
则此时点B、P、E在同一直线上，
又∵BE为中线，△ABC是等边三角形
∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的三条高的交点．
故答案为：D
【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短求解即可。
二、填空题
11.【答案】 30°
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D ， 连接CD ，
分别交OA、OB于点M、N ， 连接OC、OD、PM、PN、MN ， 如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D ，
∴PM=DM ， OP=OD ， ∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C ，
∴PN=CN ， OP=OC ， ∠COB=∠POB ，
∴OC=OP=OD ， ∠AOB= 12 ∠COD ，
∵△PMN周长的最小值是8cm ，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP ，
∴OC=OD=CD ， 即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D ， 连接CD ， 分别交OA、OB于点M、N ， 连接OC、OD、PM、PN、MN ， 由对称的性质得出PM=DM ， OP=OD ， ∠DOA=∠POA；PN=CN ， OP=OC ， ∠COB=∠POB ， 得出OC=OP=OD ， ∠AOB= 12 ∠COD ， 证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结论。
12.【答案】 100°
【考点】等腰三角形的性质，轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″，
由轴对称性质得：OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，
∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，
∴∠OP′P″=∠OP″P′=（180°-80°）÷2=50°，
∵∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，
∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°.
【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质，得出∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，即可得出∠APB的度数.
13.【答案】 180°−2α
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD交OB、OA于N、M.
此时 △PNM 周长有最小值；
∵P关于OB、OA的对称点C、D，
∴OB垂直平分PC，OA垂直平分PD，
∴ CN=PN，PM=DM，
∴ ∠CPN=∠C，∠DPM=∠D，
∵ ∠PRN=∠PTM=90° ，
∴ ∠ONM=∠BNC=90−∠C，∠OMN=∠BMD=90°−∠D
∵ ∠ONM+∠OMN+∠AOB=180°
∴ 90−∠C+90°−∠D+∠AOB=180°
∴ ∠C+∠D=∠AOB
∴ ∠CPN+∠DPM=∠AOB=α，
在四边形 OTPR 中，可得： ∠CPD+∠BOA=180° ，
∴ ∠NPM+∠CPN+∠DPM+∠AOB=180° ，
∴ ∠NPM=180°−α−α=180°−2α
故答案为： 180°−2α.
【分析】作P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD交OB、OA于N、M，此时△PNM周长有最小值，由轴对称的性质可得CN=PN，PM=DM，由等腰三角形的性质可得∠CPN=∠C，∠DPM=∠D，根据余角的概念可得∠ONM=90°-∠C，∠OMN=90°-∠D，在△OMN中，由内角和定理可得∠C+∠D=∠AOB，则∠CPN+∠DPM=∠AOB=α，由四边形内角和为360°可得∠CPD+∠BOA=180°，据此解答.
14.【答案】 6cm
【考点】三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ 12 BC•AD＝ 12 ×3×AD＝9cm2 ，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM的最小值＝6（cm）.
故答案为：6cm.
【分析】连接AD，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，由S△ABC＝ 12 BC•AD＝9cm2 ， 可求出AD=6，根据轴对称的性质及两点之间线段最短，可得AD的长为BM+MD的最小值，据此即得结论.
15.【答案】 27
【考点】等边三角形的判定与性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点 A 关于 CM 的对称点 A′ ，点 B 关于 DM 的对称点 B′ ，
∵∠CMD=120° ，
∴∠AMC+∠DMB=60° ，
∴∠CMA′+∠DMB′=60° ，
∴∠A′MB′=∠CMD−60°=60° ，
∵点 M 为 AB 的中点，
∴ MA=MB=12AB=6 ，
∴ MA′=MB′ ，
∴△A′MB′ 为等边三角形， MA′=MB′=A′B′ ，
由轴对称的性质可得： CA=CA′ ， DB=DB′ ，
∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD =3+6+18=27 ，
∴CD 的最大值为27.
故答案为：27.
【分析】作点A关于CM 的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，由平角的概念可得∠AMC+∠DMB=60°，由轴对称的性质可得∠AMC=∠A′MC，∠DMB=∠DMB′，进而求出∠A′MB′=60°，由中点的概念可得MA=MB=6，推出△A′MB′为等边三角形， 得到MA′=MB′=A′B′，根据两点之间，线段最短的性质可知：当点C、A′、B′、D共线时，CD取得最小值，据此求解.
三、解答题
16.【答案】 解：（Ⅰ）根据题意可得，当E为CD中点时，由勾股定理可得AF=BF=2 2
则△ABF的面积为 12 AF·BF=4
（Ⅱ）先取格点G、M、N，分别连接DG、MN交于点D′，取AB的中点H，连接H D′ 交BC于P，点P即为所求．
【考点】三角形的面积，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（Ⅰ）证明△AFB是等边直角三角形即可解决问题；（Ⅱ） 先取格点G、M、N，分别连接DG、MN交于点D′，取AB的中点H，连接H D′ 交BC于P，点P即为所求．
17.【答案】 解：如图，以BC为对称轴作P的对称点M，
以BA为对称轴作出P的对称点N，
连MN交BA、BC于点P1、P2
∴△PP1P2为所求作三角形
∴ ∠PBP1=∠NBP1 , ∠PBP2=∠MBP2
∵ ∠ABC=30°
∴ ∠MBN=∠MBP+∠NBP=2∠PBP2+∠PBP1 = 2(∠PBP2+∠PBP1)=2∠ABC=60°
又BN=BP=MB=10
∴△BMN是等边三角形
∴ ΔPP1P2 的周长=PP1+P1P2+PP2=NP1+P1P2+MP2=MN=BP=10cm．
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB，AC的对称点，进而可画出所求的图形，再根据 ∠ABC=30° 得到△BMN是等边三角形，再由BP=BN求出△BMN的边长即可求解．
18.【答案】 解：∵点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，
∴PM=MP1 ， PN=NP2；
∴P1M+MN+NP2=PM+MN+PN=P1P2=8，
∴△PMN的周长为8．
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】利用轴对称解决最短路径问题。
19.【答案】 解：设小河为直线MN，如图，
作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线．在Rt△A′DB中，由勾股定理得：
A′B= DA'2+DB2 = (3+2+2)2+(15)2 =8（km）．
答：他要完成这件事情所走的最短路程是8km．
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 利用轴对称求最短问题，设小河为直线MN，如图， 作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线 ，根据勾股定理即可算出A'B的长，从而得出答案。
20.【答案】 解：①如图所示，△A1B1C1即为所求；A1的坐标（2，﹣3），B1的坐标（3，﹣1），C1的坐标（﹣2，1）；
②如图所示，点P即为所求；
③S△ABC=S△ABD+S△BCD= 12 ×3×2+ 12 ×3×2=6
①如图所示见解析，A1的坐标（2，﹣3），B1的坐标（3，﹣1），C1的坐标（﹣2，1）；②如图所示见解析；③6．
【考点】坐标与图形性质，坐标与图形变化﹣对称，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】①分别找到A、B、C三点的对称点，连线即可。
②作点A关于y轴的对称点A',连接A'B,与y轴的交点即为点P。
③AC与y轴相交于点D，BD将△ABC分割成两个三角形，分别求其面积即可得△ABC的面积。
21.【答案】 解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1 ， 交OB于P2 ， 连接PP1 ， PP2 ， △PP1P2即为所求．
理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1 ， 交OB于P2 ， 连接PP1 ， PP2 ， △PP1P2即为所求．
22.【答案】 解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON， 由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8， ∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°， 则△MON为等边三角形， ∴MN=8， ∵QP=QM，RN=RP， ∴△PQR周长=MN=8，
【考点】等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON， 由轴对称的性质可知， OM=ON=OP=8， 再证明△MON是等边三角形，就可得出MN=8，然后证明△PQR周长=MN 。
相关试卷
人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题练习： 这是一份人教版八年级上册<a href="/sx/tb_c102536_t7/?tag_id=28" target="_blank">13.4课题学习 最短路径问题练习</a>，共19页。试卷主要包含了4 课题学习 最短路径问题等内容，欢迎下载使用。
初中人教版13.4课题学习 最短路径问题同步测试题： 这是一份初中人教版13.4课题学习 最短路径问题同步测试题，共2页。试卷主要包含了 4 课题学习 最短路径问题等内容，欢迎下载使用。
初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课后作业题： 这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课后作业题，文件包含第13章轴对称134课题学习最短路径问题简答题专练2021-2022学年八年级上册数学把关题分类专练人教版解析版doc、第13章轴对称134课题学习最短路径问题简答题专练2021-2022学年八年级上册数学把关题分类专练人教版原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
