初中数学苏科版七年级下册7.4 认识三角形导学案及答案

第四讲：认识三角形（2）

一、主要内容     

1、三角形的三条重要线段                           2、三角形的稳定性  

二、基本概念

1、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：

2、三角形的稳定性

     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.   

要点诠释：

（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．

 （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

  （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．

1.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

2.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．★★

【答案与解析】5cm

∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD=BD

∵△BCD的周长=BC+CD=BD，△ACD的周长=AC+CD+AD

∴△BCD的周长-△ACD的周长=BC-AC=3cm

∵BC＝8cm,∴AC=5cm

3. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?

【答案与解析】

 解：三角形的稳定性．

【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．

三、课堂讲解                            

1、如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？

【答案】

解：（1）△ABD与△ADC的面积相等，理由如下：作AF⊥BC，如图1：

因为BD=DC，AF=AF，所以△ABD与△ADC的面积相等；

（2）作图，如图2：

（3）因为△ABC的面积为40，BD=5，

所以△ABD的面积为20，

因为BE为△ABD的中线，所以△BDE的面积为10，

所以△BDE中BD边上的高为4．

2、如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?

【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．

【达标检测】

一、选择题

1．三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) ．

    A．直线    B．线段    C．射线    D．以上答案都不对

2．下列说法不正确的是 (    )

   A．三角形的中线在三角形的内部    B．三角形的角平分线在三角形的内部

   C．三角形的高在三角形的内部      D．三角形必有一高线在三角形的内部

3．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是(   ) ．

A．S1＞S2    B．S1＜S2   

C．S1＝S2    D．以上三种情况都有可能

4．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(   ) ．

    A．三角形的稳定性        B．两点之间线段最短

    C．两点确定一条直线      D．垂线段最短

二、填空题

5.不一定在三角形内部的线段是　　（填“角的平分线”或“高线”或“中线”）．

6.如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝∠_______；BE是△ABC的中线，则________＝_______＝________；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．

7.如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．

8.如果知道三角形的一边之长和这边上的高，三角形________确定．(填“能”或“不能”)

三、解答题

9.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，

（1）求∠BAC的度数．

（2）△ABC是什么三角形．

【答案与解析】

一、选择题

1.B     2.C     3.C      4.A

二、填空题

5. 高线．

6. BAD  CAD  BAC； AE   CE   AC；   AFC  BFC  ⊥

7.15cm2，30cm2；

8.能；

三、解答题

9.解：（1）当高AD在△ABC的内部时(如图(1))．

因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°．

    当高AD在△ABC的外部时(如图(2))．

    因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，

    所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．

综上可知∠BAC的度数为90°或50°．

（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，

    因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，

    所以△ABC是直角三角形．

如图(2)，当AD在△ABC的外部时，

因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，

∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，

所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．

    所以△ABC为钝角三角形．

    综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．