2020-2021学年西安市西工大附中八年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

这是一份2020-2021学年西安市西工大附中八年级上学期期中数学试题（含答案与解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各数中，与的积仍为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
4．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b﹣3＝0的解是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各组中两个点的连线与y轴平行的是（ ）
A．（1，1）与（﹣1，﹣1） B．（3，2）与（2，3）
C．（3，2）与（5，2） D．（2，3）与（2，5）
7．已知点（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函数y＝kx+5的图象上，则y1、y2、3的大小关系是（　　）
A．3＜y2＜y1 B．y1＜3＜y2 C．y2＜y1＜3 D．y2＜3＜y1
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )

A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
9．在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝﹣2x+1上，点A关于y轴的对称点B恰好落在直线y＝kx+2上，则k的值为（　　）
A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣3
10．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．一次函数y＝2x+4交x轴交于点A，则点A的坐标为_____．
12．已知，那么的平方根是_____．
13．数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，方程组的解是________．

14．若点在轴的负半轴上，则点的坐标为________
15．某公司购进甲、乙两种货物共用去4000元，甲、乙两种货物分别以11%和10%的利润率进行销售，共获利415元，则甲种货物的进价为_____元．
16．在平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（7，10），C为一次函数y＝x+9的图象上动点，若以A、B、C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_____．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方组：
（1）；
（2）．
19．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得 ；乙解题时看错了n，解得．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．
20．2020年10月16日，教育部发布了《关于全面加强和改造新时代学校教育工作的意见》，这是新时代人才培养对学校教育提出的要求．为了增强班级同学积极参加体育锻炼的意识，文老师准备组织班级跳绳比赛．文老师用100元买了若干条跳绳，已知商店里的跳绳规格与价格如下表．若购买了三种跳绳，其中B型跳绳和C型跳绳的条数同样多，且所有跳绳的总长度为120米，求 A、B、C型跳绳各购买了多少条？
规格
A型
B型
C型
跳绳长度（米）
4
8
12
价格（元/条）
4
6
9
21．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．

22．如图在平面直角坐标系中，已知 A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，n）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，且△AOP的面积为6．
（1）求点A的坐标；
（2）若点P为线段BD的中点，求△BOD的面积．

23．如图①，长方形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，OA＝9，OC＝8．
（1）连接OB，则OB将长方形面积分成相等的两部分，则直线OB的函数关系式为　 　．
（2）如图②，点D在边OA上，点E在边BC上，且OD＝BE，连接DE，此时线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分，请说明等分的理由．
（3）如图③，点D在边OA上，且OD＝1．将∠OAB沿DF折叠，折痕交长方形OABC的边于点F，点A落在点A′处，若直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，求直线DF的函数关系式．


参考答案
1．C
【分析】
利用二元一次方程的定义判断即可．
【详解】
A、只含有一个未知数，不符合题意；
B、等式左边不是整式，不符合题意；
C、符合二元一次方程，符合题意；
D、含有未知数的项的次数是2，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．A
【分析】
根据二次根式的化简法则，分别化简四个选项判断正误即可得到答案．
【详解】
解：A. ，故A正确；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D错误；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了对二次根式的化简，掌握开根号得到的数是非负数，灵活运用所学知识是解题的关键．
3．B
【分析】
根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可．
【详解】
解：A、×＝，两数之积是有理数，不合题意；
B、×＝3×＝3，是无理数，符合题意；
C、×＝＝2，两数之积是有理数，不合题意；
D、×＝，两数之积是有理数，不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查二次根式的乘法，关键是根据法则进行计算，再利用无理数的定义判断．
4．A
【分析】
直接根据函数图象与y轴的交点进行解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点为（0，3），

∴方程kx+b﹣3＝0的解是x＝0．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
5．A
【分析】
利用二次根式的运算法则对A、C进行判断；根据二次根式的性质对B、D进行判断．
【详解】
A、，该选项正确；
B、，该选项错误；
C、，该选项错误；
D、，该选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．灵活运用二次根式的性质是解题的关键．
6．D
【分析】
根据横坐标相等的两点的连线平行于y轴，即可得到结论．
【详解】
解：∵点（1，1）与（-1，-1）的横、纵坐标互为相反数，
∴（1，1）与（-1，-1）的连线过原点，与y轴不平行，
∵（3，2）与（2，3）的横坐标不相等，
∴（3，2）与（2，3）两点的连线与y轴不平行，
∵（3，2）与（5，2）的纵坐标相等，
∴（3，2）与（5，2）两点的连线与x轴平行，
∵（2，3）与（2，5）的横坐标相等，
∴（2，3）与（2，5）两点的连线与y轴平行，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握横坐标相等的两点的连线平行于y轴，纵坐标相等的连点的连线平行于x轴．
7．D
【分析】
首先求出函数解析式，再把（﹣3，y1）、（2，y2）代入可得y1，y2的值，然后可得答案．
【详解】
解：∵（1，3）在一次函数y＝kx+5的图象上，
∴3＝k+5，
解得：k＝﹣2，
∴函数解析式为y＝﹣2x+5，
∵点（﹣3，y1）、（2，y2）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，
∴y1＝6+5＝11，
y2＝﹣4+5＝1，
∵1＜3＜11，
∴y2＜3＜y1，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
8．A
【分析】
将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.
【详解】

如图，在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴
在Rt△A‘BD中，
∵∠A’BD=90°，A’D=2米，
∴
∴
∵BD>0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米
即小巷的宽度为2.2米，故答案选A
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键
9．B
【分析】
由点A的坐标以及点A在直线y＝﹣2x+1上，可得出关于m的一元一次方程，解方程可求出m值，即得出点A的坐标，再根据对称的性质找出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法即可求出k值．
【详解】
解：∵点A在直线y＝﹣2x+1上，
∴m＝﹣2×2+1＝﹣3，
∴点A的坐标为（2，﹣3）．
又∵点A、B关于y轴对称，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在直线y＝kx+2上，
∴﹣3＝﹣2k+2，解得：k＝2.5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是求出点B的坐标．
10．B
【分析】
利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证AEM≌CGN，AHN≌CFM，从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论．
【详解】
解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD，
∴AH2＋DH2=AD2=21
即（3DH）2＋DH2=21
解得：DH=，
∴AH=
由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2
∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN
∵AH∥CF
∴∠HEN=∠FCM
∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF
∴AEM≌CGN，AHN≌CFM
∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM
∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH=S正方形EFGH=×=
∵S△FGN=2S△CGN
∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN
= S△MNF＋2S△CGN
= S△MNF＋S△FGN
= S四边形MFGN
=
故选B．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键．
11．（﹣2，0）．
【分析】
根据一次函数解析式，令y＝0，求得x的值，即可得到点A的坐标．
【详解】
解：一次函数y＝2x+4中，当y＝0时，0＝2x+4，
解得x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴交点问题；关键在于能够知道与x轴交于点A，意味着点A纵坐标为0．
12．±414.7
【分析】
根据被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．
【详解】
解：∵，
∴，
∴0172010的平方根是±414.7．
故答案为：±414.7．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的性质．解题的关键是掌握算术平方根的性质，如果被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根也在扩大（或缩小），但只扩大（或缩小）为原来的10倍．
13．
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】
解：直线和直线相交于点
方程组的解是．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与二元一次方程，关键是掌握二元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，二元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的坐标．
14．（0，-4）
【分析】
根据点在y轴的负半轴上的特点解答即可．
【详解】
∵点P在y轴的负半轴上，
∴a2-9=0，a-1＜0，
解得a=-3，
∴点P的坐标为（0，-4）．
故答案为（0，-4）．
【点睛】
本题主要考查了点在y轴上时横坐标是0的特点.
15．1500．
【分析】
设甲种货物的进价为x元，则乙种货物的进价为（4000﹣x）元，根据两种货物共获利415元列方程，解方程即可解答．
【详解】
解：设甲种货物的进价为x元，则乙种货物的进价为（4000﹣x）元，
x•11%+（4000﹣x）•10%＝415，
解得x＝1500，
答：甲种货物的进价为1500元．
故答案为：1500．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程并求解．
16．（0，9）或（﹣7，8）．
【分析】
设C点坐标为（t，t+9），利用两点之间的距离公式可求出AB2，AC2，BC2的值，分AB为斜边、AC为斜边及BC为斜边三种情况考虑，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理，即可得出关于m的方程组，解之即可得出m的值，再将其代入点C的坐标中即可得出结论．
【详解】
解：设C点坐标为（t，t+9），
∵A（1，2）、B（7，10），
∴AB2＝（7﹣1）2+（10﹣2）2＝100，AC2＝（t﹣1）2+（t+9﹣2）2＝t2+50，BC2＝（t﹣7）2+（t+9﹣10）2＝t2﹣t+50．
当AB为斜边时，，
解得：t＝0，
∴点C的坐标为（0，9）；
当AC为斜边时，，
方程组无解；
当BC为斜边时，，
解得：t＝﹣7，
∴点C的坐标为（﹣7，8）．
综上所述：点C的坐标为（0，9）或（﹣7，8）．
故答案为：（0，9）或（﹣7，8）．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质分三种情况列出等式并求解．
17．（1）4﹣；（2）6+5．
【分析】
（1）先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】
解：（1）原式＝
＝4﹣；
（2）原式＝
＝
＝6+5．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算；应先将二次根式最简化，再进行运算，若在运算过程中若能结合题目特点，选用恰当的化简方式，灵活运用二次根式的性质往往有很好的效果．
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）方程组利用加减消元法求出解即可．
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：（1），
②×3﹣①×2，得11x＝﹣15，解得x＝﹣，
把x＝﹣代入①，得，解得y＝，
故原方程组的解为；
（2）原方程组可化为，
①﹣②，得4y＝8，解得y＝2，
把y＝2代入②，得2x﹣2＝4，解得x＝3，
故方程组的解为．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是能熟练运用加减消元法解二元一次方程组．
19．n = 3 , m = 4，
【详解】
试题分析：
由题意可知是方程的解，由此即可求得n的值；是方程的解，由此看求得m的值；这样即可得到正确的原方程组，再解方程组，即可求得原方程组的正确解；
试题解析：
由题意可知是方程的解，
∴，解得n=3；
是方程的解，
∴，解得m=4；
∴原方程组为： ，解此方程组得，
∴m=4，n=3，原方程组的解为：.
点睛：在本题中“甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得 ”这句话的含义是：“”是关于的二元一次方程“”的解.
20．A型跳绳购买了10条，B型跳绳购买了4条，C型跳绳购买了4条．
【分析】
设A型跳绳购买了x条，B型跳绳购买了y条，则C型跳绳购买了y条，根据购买这批跳绳的总费用为100元且所有跳绳的总长度为120米，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设A型跳绳购买了x条，B型跳绳购买了y条，则C型跳绳购买了y条，
依题意得：，
解得：．
答：A型跳绳购买了10条，B型跳绳购买了4条，C型跳绳购买了4条．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用；由题找出等量关系建立二元一次方程组是关键．
21．（1）这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；（2）AE＝m．
【分析】
（1）先根据勾股定理的逆定理可证明△ACD是直角三角形，根据面积和可得结论；
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）如图，

∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，
∴AC＝=，
∵AD＝7，CD＝4，
∴，
∴∠D＝90°，
∴这块空地ABCD的面积＝
=
=
=2+14，
答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；
（2）∵=，
∴4×＝9×AE，
∴AE＝m．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
22．（1）A的坐标是（﹣4，0）；（2）S△BOD＝12
【分析】
（1）已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求出△OCP的面积，进而求得△AOC的面积，即可求得A的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x＝2代入解析式即可求得点P的坐标，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出OP＝PB＝PD，即可得出S△POB＝S△POD，根据等腰三角形三线合一的性质得出F是OB的中点，即可根据S△BOD＝2S△POB求得结果．
【详解】
解：（1）作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，

∵P的横坐标是2，则PE＝2.
∴S△COP＝OC•PE＝×2×2＝2；
∴S△AOC＝S△AOP﹣S△COP＝6﹣2＝4，
∴S△AOC＝OA•OC＝4，即×OA×2＝4，
∴OA＝4，
∴A的坐标是（﹣4，0）.
（2）设直线AP的解析式是y＝kx+b，
则，
解得：，
则直线的解析式是y＝x+2.
当x＝2时，y＝3，即n＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∵点P为线段BD的中点，
∴OP＝PB＝PD，S△POB＝S△POD，
∴F是OB的中点，
∴OB＝4，
∴S△BOD＝2S△POB＝×4×3＝12.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数求一次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等的综合应用，正确求得P、A的坐标是关键．
23．（1）y＝x；（2）见解析；（3）直线FD的表达式为y＝x﹣或y＝x﹣．
【分析】
（1）OA＝9，OC＝8，故点B的坐标为（9，8），即可求解；
（2）由S梯形ODEC＝（CE+OD）×OC＝（BE+AD）×OC＝S梯形ABED，即可求解；
（3）①当直线DA′与BC边相交时，在Rt△HFB和Rt△HFA′中，HF2＝BF2+BH2＝A′F2+A′H2，即42+（8﹣a）2＝a2+（4﹣8）2，解得a＝4﹣4，进而求解；②当直线DA′与AB边相交时，同理可得，点F的坐标为（9，），即可求解．
【详解】
解：（1）∵OA＝9，OC＝8，
故点B的坐标为（9，8），
设直线OB的表达式为y＝kx，
将点B的坐标代入上式得：8＝9k，解得k＝，
故直线OB的表达式为y＝x，
故答案为y＝x；
（2）∵四边形OABC为矩形，则OA＝BC，
∵OD＝BE，故CE＝AD，
S梯形ODEC＝（CE+OD）×OC＝（BE+AD）×OC＝S梯形ABED，
故线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分；
（3）∵直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，
则较小部分的面积为×OA•OC＝＝24．
①当直线DA′与BC边相交时，如图1，

过点D作DN⊥BC于点N，延长DA′交BC于点H，
设AF＝a＝A′F，则BF＝8﹣a，
由题意得：S梯形ODHC＝×OC×（OD+HN）＝×8×（1+HC）＝24，解得HC＝5，
则HN＝HC﹣CN＝HC﹣OD＝5﹣1＝4，则BH＝BC﹣CH＝9﹣5＝4，
在Rt△HND中，DH＝＝4，则A′H＝DH﹣OA′＝DH﹣OA＝4﹣8，
在Rt△HFB和Rt△HFA′中，HF2＝BF2+BH2＝A′F2+A′H2，
即42+（8﹣a）2＝a2+（4﹣8）2，解得a＝4﹣4，
故点F的坐标为（9，4﹣4），
由点F、D的坐标得，直线FD的表达式为y＝x﹣；
②当直线DA′与AB边相交时，如图2，

同理可得，点F的坐标为（9，），
由点D、F的坐标得，直线FD的表达式为y＝x﹣，
综上，直线FD的表达式为y＝x﹣或y＝x﹣．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、梯形面积的计算、矩形的性质、图形的折叠等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．