考点03 分式与二次根式-数学考点一遍过学案

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考点03 分式与二次根式

一、分式
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注意】①若B≠0，则有意义；
②若B=0，则无意义；
③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
（1）约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则
把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
（1）通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母
几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
（1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．
用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
二、二次根式
1．二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
3．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；
除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

考向一 分式的有关概念
1．分式的三要素：
（1）形如的式子；
（2）均为整式；
（3）分母中含有字母．
2．分式的意义：
（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．
（2）无意义的条件是分母为0．
（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．

典例1 使得式子有意义的x的取值范围是
A．x≥4 B．x>4 C．x≤4 D．x<4
【答案】D
【解析】使得式子有意义，则：4-x>0，解得：x<4，
即x的取值范围是：x<4，
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

1．若分式在实数范围内无意义，则x的取值范围是
A．x≠1 B．x=1
C．x=0 D．x>1
考向二 分式的基本性质
分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：
（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；
（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．

典例2 分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为
A．扩大为原来2倍 B．缩小为原来的倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
【答案】B
【解析】∵若x、y的值都扩大到原来的2倍，则为
∴把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的，
故选B．
【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．

2．下列变形正确的是
A．= B．
C．–1= D．=
考向三 分式的约分与通分
约分与通分的区别与联系：
1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；
3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．

典例3 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x-1
C．约分的结果是1
D．化简-的结果是1
【答案】D
【解析】A、=，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2-1，故本选项错误；
C、=，故本选项错误；D、-=1，故本选项正确，故选D．
【名师点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．

3．下列分式中，是最简分式的是
A． B． C． D．
考向四 分式的运算
（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．
（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．

典例4 化简：．
【解析】


．
【名师点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．

4．先化简，再求值：，其中x=4．






考向五 二次根式的概念与性质
1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．
2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．

典例5 函数y=的自变量的取值范围是
A．x>0且x≠0 B．x≥0且x≠ C．x≥0 D．x≠
【答案】B
【解析】根据题意得，x≥0且，
∴x≥0且x≠．
故选B．
【名师点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数是非负数且分母不为零．

5．已知：x>4，化简__________．

典例6 下列二次根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A，，故原选项不是最简二次根式；
B，，故原选项不是最简二次根式；
C，是最简二次根式；
D，=4，故原选项不是最简二次根式，
故选C．

6．下列二次根式；5；；；；．其中是最简二次根式的有
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
考向六 二次根式的运算
1．二次根式的运算
（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．
（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．
（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
2．比较分式与二次根式的大小
（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；
（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．

典例7 下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、原式=2=，正确；
B、原式==，错误；
C、为最简结果，错误；
D、原式==2，错误，
故选A．

7．计算：（1）–2÷6；
（2）（3–）÷．








典例8 比较大小：__________5（填“>” “<”或“=”）．
【答案】>
【解析】因为，28>25，所以>5．故答案为：>．
【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．

8．设a=－，b=－1，c=，则a，b，c之间的大小关系是
A．c>b>a B．a>c>b
C．b>a>c D．a>b>c


1．式子有意义，则实数a的取值范围是
A． B． C．且 D．a>2
2．若分式的值为零，则x值为
A．x=±3 B．x=0 C．x=-3 D．x=3
3．下列式子是最简二次根式的是
A． B． C． D．
4．在化简分式的过程中，开始出现错误的步骤是
A． B．
C． D．
5．下列关于分式的判断，正确的是
A．当x=2时，的值为零
B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
6．计算的结果是
A． B． C． D．1
7．若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为
A．1 B．2
C． D．
8．化简的结果是，则a的值是
A．1 B．-1 C．2 D．-2
9．已知 ，则 化简的结果是
A． B．
C． D．
10．下列运算中错误的是
A．×= B．2＋3=5
C． D．=4
11．若分式的值为0，则x的值为
A．1 B．−1
C．±1 D．无解
12．化简：的结果是
A．2 B．
C． D．
13．若x、y满足，则的值等于
A． B．
C． D．
14．已知，则的值为
A． B．
C． D．不确定
15．计算：=_____________．
16．与数字最接近的整数是__________．
17．比较大小：2____________．（填“>、<、或=”）
18．计算（-22）（22）的结果是__________．
19．已知a，b互为倒数，代数式÷的值为_____________．
20．若，则__________．
21．计算：（1）；
（2）．




22．先化简，再求值：，其中，．





23．先化简：，再从-1≤m≤2中选取合适的整数代入求值．






24．先化简，再求值：，其中m为一元二次方程的根．





25．先化简，再求代数式的值，其中a=2cos30°．






1．（2019•常州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是
A．x=-1 B．x=3
C．x≠-1 D．x≠3
2．（2019•武汉）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x>0 B．x≥-1
C．x≥1 D．x≤1
3．（2019•黄石）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x>1且x≠2 D．x<1
4．（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
5．（2019•贵港）若分式的值等于0，则x的值为
A．±1 B．0
C．-1 D．1
6．（2019•株洲）
A．4 B．4
C． D．2
7．（2019•扬州）分式可变形为
A． B．
C． D．
8．（2019•江西）计算（）的结果为
A．a B．-a
C． D．
9．（2019·天津）计算的结果是
A．2 B． C．1 D．
10．（2019•临沂）计算a-1的正确结果是
A． B．
C． D．
11．（2019•北京）如果m+n=1，那么代数式的值为
A．-3 B．-1 C．1 D．3
12．（2019•河北）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在

A．段① B．段② C．段③ D．段④
13．（2019·重庆A卷）估计的值应在
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
14．（2019•广州）代数式有意义时，x应满足的条件是__________．
15．（2019·安徽）计算的结果是__________．
16．（2019•衡阳）=__________．
17．（2019•吉林）计算：·__________．
18．（2019·天津）计算的结果等于__________．
19．（2019·南充）计算：__________．
20．（2019•武汉）计算的结果是__________．
21．（2019•大连）计算：（2）26．




22．（2019•益阳）化简： ．





23．（2019•深圳）先化简（1），再将x=-1代入求值．




24．（2019•河南）先化简，再求值：，其中x=．




25．（2019•烟台）先化简（x+3），再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．





26．（2019•安顺）先化简，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．






变式拓展

1．【答案】B
【解析】∵分式在实数范围内无意义，
∴1-x=0，即x=1，
故选B．
2．【答案】D
【解析】A．≠，故A错误；
B．=，故B错误；
C．-1=，故C错误，
故选D．
3．【答案】D
【解析】A、=，错误；
B、=，错误；
C、=，错误；
D、是最简分式，正确．
故选D．
4．【解析】
=
=
=，
当x=4时，原式=．
5．【答案】B
【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使在实数范围内有意义，必须．故选B．
6．【答案】B
【解析】，
，
，
∴、、是最简二次根式，
故选B．
7．【解析】（1）原式=–2××
=–2．
（2）原式=（3–）÷
=÷
=．
8．【答案】D
【解析】a=－=（−1），b=−1，c===×（−1），
∵>1>，∴a>b>c．故选D．
考点冲关

1．【答案】C
【解析】由题意得：a+1≥0，且a–2≠0，
解得，且．
故选C．
2．【答案】D
【解析】∵分式的值为零，
∴x2-9=0且x+3≠0．
解得：x=3．
故选D．
3．【答案】C
【解析】A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、=6，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意，
故选C．
4．【答案】B
【解析】∵正确的解题步骤是：，
∴开始出现错误的步骤是．去括号是漏乘了．
故选B．
5．【答案】1
【解析】∵x>4，∴x-4>0，
∴原式==1，
故答案为：1．
【名师点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．【答案】D
【解析】，故选D．
7．【答案】D
【解析】，解得，故选D．
8．【答案】A
【解析】，∴a=1，故选A．
9．【答案】B
【解析】∵x<1，∴x-1<0，∴=|x-1|=1-x．故选：B．
10．【答案】B
【解析】A．原式=×=，所以A选项的计算正确；
B．2和3不能合并，所以B选项的计算错误
C．原式=，所以C选项的计算正确；
D．原式==4，所以D选项的计算正确．
故选B．
11．【答案】A
【解析】∵分式的值为0，∴|x|−1=0，且x+1≠0，解得：x=1．故选A．
12．【答案】B
【解析】=（−）•（x−3）=•（x−3）−•（x−3）=1−=．故选B．
13．【答案】B
【解析】∵，∴．∴．故选B．
14．【答案】A
【解析】∵，∴，即x+2+=a²，∴x+=a²−2，故选A．
15．【答案】
【解析】根据二次根式的乘法法则进行计算可得：，故答案为．
16．【答案】4
【解析】∵，
∴最接近的整数是，
=4，
故答案为：4．
17．【答案】<
【解析】将两式进行平方可得：=12，=18，因为12<18，所以<．
18．【答案】-16
【解析】原式=-（2+2）（2-2）=-（20-4）=-16．
故答案为：-16．
19．【答案】1
【解析】对待求值的代数式进行化简，得
，
∵a，b互为倒数，∴ab=1，∴原式=1．故答案为：1．
20．【答案】–
【解析】∵，
∴a−b=−2ab．
∴原式=−=−2+=−．
故答案为：−．
21．【解析】（1）原式=
=
=4a2．
（2）原式=
=
=3．
22．【解析】


，
当，时，原式=．
23．【解析】原式=
=，
根据分式有意义的条件可知：m=-1，
∴原式=．
24．【解析】原式=
=
=
=
=
=．
由m是方程的根，得到，
所以原式=．
25．【解析】原式=
=，
=．
∵a=2，
∴原式=．
直通中考

1．【答案】D
【解析】∵代数式有意义，∴x-3≠0，∴x≠3．故选D．
2．【答案】C
【解析】由题意，得x-1≥0，解得x≥1，故选C．
3．【答案】A
【解析】依题意，得x-1≥0且x-200，解得x≥1且x≠2．故选A．
4．【答案】D
【解析】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．故选D．
5．【答案】D
【解析】x-1=0，∴x=1，经检验：x=1是原分式方程的解，故选D．
6．【答案】B
【解析】．故选B．
7．【答案】D
【解析】分式可变形为：．故选D．
8．【答案】B
【解析】原式·（-a2）=-a，故选B．
9．【答案】A
【解析】原式=，故选A．
10．【答案】B
【解析】原式．故选B．
11．【答案】D
【解析】原式=·（m+n）（m-n）=·（m+n）（m-n）=3（m+n），
当m+n=1时，原式=3．故选D．
12．【答案】B
【解析】∵，
又∵x为正整数，∴≤x<1，故表示的值的点落在②，故选B．
13．【答案】C
【解析】=2+6=2+，又因为4<<5，所以6<2+<7，故选C．
14．【答案】x>8
【解析】代数式有意义时，x-8>0，解得x>8．故答案为：x>8．
15．【答案】3
【解析】，故答案为：3．
16．【答案】
【解析】原式=．故答案为：．
17．【答案】
【解析】·，故答案为：．
18．【答案】2
【解析】原式=3-1=2．故答案为：2．
19．【答案】x+1
【解析】=，故答案为：x+1．
20．【答案】
【解析】原式．
故答案为：．
21．【解析】原式=3+4-426
=3+4-422
=7．
22．【解析】原式=
=．
23．【解析】原式
=x+2，
将x=-1代入得：
原式=x+2=1．
24．【解析】原式=
=
=，
当x=时，原式==．
25．【解析】（x+3）
=（）
·
，
当x=1时，原式．
26．【解析】原式
=，
解不等式组得-2 ∴其整数解为-1，0，1，2，3，
∵要使原分式有意义，
∴x可取0，2．
∴当x=0时，原式=-3，
（或当x=2时，原式=）．