2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）已知，，，是成比例线段，其中，，，则的长度为　　

A． B． C． D．

2．（4分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 

C．斐波那契螺旋线 D．科克曲线

3．（4分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

4．（4分）如图，在平行四边形中，是上的点，，连接交于点，则与的面积之比为　　

A． B． C． D．

5．（4分）把的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的的图象，则和的值分别为　　

A．1，3 B．3， C．1， D．3，

6．（4分）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知相似　　

A． B． 

C． D．

7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为1，则的值为　　

A．1 B．2 C． D．

8．（4分）如图，内接于，是的直径，，则的度数为　　

A． B． C． D．

9．（4分）如图，一次函数与二次函数图象在同一坐标系下如图所示，则函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

10．（4分）如图，在与中，，，连接、，若，则为　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

11．（5分）已知：，则锐角的度数为　　．

12．（5分）反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数的取值范围是　　．

13．（5分）如图，内接于，，，于点，若的半径为4，则的长为　　．

14．（5分）如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为．

（1）点恰好为中点时，的值为 　　；

（2）点在上且、、在同一条直线上时，的值为 　　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算：．

16．（8分）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．△与是以点为位似中心的位似图形．

（1）请画出点的位置，并写出点的坐标　　；

（2）以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形△，使相似比为，若点为内一点，则点在△内的对应点的坐标为　　．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）反比例函数的图象经过点．

（1）求这个函数的解析式；

（2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．

18．（8分）二次函数的图象与轴交于点．

（1）求出的值，并求出它与轴的交点和抛物线顶点的坐标；

（2）取什么值时，抛物线在轴的上方？

（3）取什么值时，的值随的值增大而减小？

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）已知：为的中线，是的中线，．

（1）判断与是否相似并说明理由；

（2）求证：．

20．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为57米，求教学楼的高度．（注：点，，，都在同一平面上．参考数据：，，

六、（本题满分12分）

21．（12分）已知，正方形内接于，点是弧上一点．

（1）如图1，若点是弧的中点，求证：；

（2）如图2，若图中，求的值．

七、（本题满分12分）

22．（12分）某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量（盒与售价（元之间的关系为：；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒．售价每提高1元，少销售5盒．

（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？

（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？

八、（本题满分14分）

23．（14分）已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．

（1）如图1，若．

①求证：；

②连接，求证：．

（2）如图2，若，求的值．

2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）已知，，，是成比例线段，其中，，，则的长度为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，，是成比例线段，

可得：，

故选：．

2．（4分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 

C．斐波那契螺旋线 D．科克曲线

【解答】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；

、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：．

3．（4分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线，

则抛物线的顶点坐标为．

故选：．

4．（4分）如图，在平行四边形中，是上的点，，连接交于点，则与的面积之比为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

，

，

，

与高相同，对应底之比为，

故面积之比为．

故选：．

5．（4分）把的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的的图象，则和的值分别为　　

A．1，3 B．3， C．1， D．3，

【解答】解：抛物线的顶点坐标是，则向左平移个单位，再向下平移个单位后的坐标为：，

平移后抛物线的解析式为．

又平移后抛物线的解析式为．

，，

，，

故选：．

6．（4分）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知相似　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意得：，，，

，

、三边之比为，选项符合题意；

、三边之比，选项不符合题意；

、三边之比为，选项不符合题意；

、三边之比为，选项不符合题意．

故选：．

7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为1，则的值为　　

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：轴，

，

三角形的面积，

，

，

，

，

故选：．

8．（4分）如图，内接于，是的直径，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

是的直径，

，

．

故选：．

9．（4分）如图，一次函数与二次函数图象在同一坐标系下如图所示，则函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：一次函数与二次函数图象的交点在第二象限，

两个交点的横坐标都是负数，

函数的图像与轴的交点的横坐标都为负数，

函数的图像与轴的负半轴有两个交点，

故选：．

10．（4分）如图，在与中，，，连接、，若，则为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

，，

，

即，

，

，

，

，，

，

，

故选：．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

11．（5分）已知：，则锐角的度数为　　．

【解答】解：，

，

锐角的度数为．

故答案为：．

12．（5分）反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数的取值范围是　　．

【解答】解：反比例函数的图象有一支位于第一象限，

，

解得：．

故答案为：．

13．（5分）如图，内接于，，，于点，若的半径为4，则的长为　　．

【解答】解：如图，连接，．

，

在中，根据勾股定理得：，

，，

．

故答案为：．

14．（5分）如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为．

（1）点恰好为中点时，的值为 　2　；

（2）点在上且、、在同一条直线上时，的值为 　　．

【解答】解：（1）四边形是矩形，

，

点恰好为中点时，，则，

由题意知，，

，

，

和的高都是，

设，

，

故答案为：2；

（2）点在上，且、、在同一直线上时，设，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，

，

．

故答案为：．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算：．

【解答】解：．

，

．

故答案为：．

16．（8分）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．△与是以点为位似中心的位似图形．

（1）请画出点的位置，并写出点的坐标　　；

（2）以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形△，使相似比为，若点为内一点，则点在△内的对应点的坐标为　　．

【解答】解：（1）如图所示：点；

（2）如图所示：△即为所求，点对应点的坐标为：．

故答案为：（1）；（2）．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）反比例函数的图象经过点．

（1）求这个函数的解析式；

（2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．

【解答】解：（1）把代入中得

，

，

函数的解析式是；

（2）把代入中得，

点在此函数的图象上．

18．（8分）二次函数的图象与轴交于点．

（1）求出的值，并求出它与轴的交点和抛物线顶点的坐标；

（2）取什么值时，抛物线在轴的上方？

（3）取什么值时，的值随的值增大而减小？

【解答】解：（1）二次函数的图象与轴交于点，则，

故抛物线的表达式为，

函数的对称轴为，当时，，

故抛物线的顶点坐标为；

令，解得或，

故抛物线与轴的交点坐标为或；

（2）由函数的性质知，当时，抛物线在轴的上方；

（3），故抛物线开口向下，

当时，的值随的值增大而减小．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）已知：为的中线，是的中线，．

（1）判断与是否相似并说明理由；

（2）求证：．

【解答】（1）解：为的中线，是的中线，

，，

，；

又，

，，

，，

；

（2）证明：由（1）知，，

，

．

20．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为57米，求教学楼的高度．（注：点，，，都在同一平面上．参考数据：，，

【解答】解：过点作于点，过点作于点．

由题意得，，，，．

在中，，

．

，

，

四边形是矩形，

．

在中，，

．

，

．

答：教学楼高约13米．

六、（本题满分12分）

21．（12分）已知，正方形内接于，点是弧上一点．

（1）如图1，若点是弧的中点，求证：；

（2）如图2，若图中，求的值．

【解答】（1）证明：如图1，连接，

四边形是正方形，

，，

，，

，

点是弧的中点，

，

，

，

，

；

（2）解：如图2，连接，，

四边形是正方形，

，，

，

，，

，

，由（1）知，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

．

七、（本题满分12分）

22．（12分）某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量（盒与售价（元之间的关系为：；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒．售价每提高1元，少销售5盒．

（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？

（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？

【解答】解：（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为元，元，由题意得：

，

解得：．

甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元，30元；

（2）设乙口罩的销售利润为元，由题意得：

，

当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元．

当售价为45元时，（盒；

甲口罩的销售利润为：（元，

此时两种口罩的销售利润总和为：（元．

当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．

八、（本题满分14分）

23．（14分）已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．

（1）如图1，若．

①求证：；

②连接，求证：．

（2）如图2，若，求的值．

【解答】解：（1）在矩形中，

．

．

，

．

，

，

．

，

，

即．

②如图，延长，交于点．

在矩形中，

．

．

在和中，

，

．

．

中，

．

，

．

．

（2）在矩形中，

，

，

，

，

，

．

．

，

且，

．

，

且，．

．

．

．

设，

则．

解得或（舍．

．

故答案为：．

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日期：2021/12/6 11:28:51；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124