2020-2021学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（3分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

2．（3分）的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件　　

A． B． C． D．无法确定

3．（3分）在中，，，，，则的长为　　

A．2 B．3 C． D．

4．（3分）点，，点，，在反比例函数的图象上，且，则　　

A． B． C． D．不能确定

5．（3分）如图，在中，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

6．（3分）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是　　

A．4 B．5 C．6 D．7

7．（3分）在大力发展现代化农业的形势下，现有、两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：

下面有三个推断：

①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以、两种新玉米种子出芽的概率一样；

②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.97；

③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．其中合理的是　　

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

8．（3分）如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．如图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据，、，、，，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足　　

A． B． C． D．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）如图：在中，，，，则　　．

10．（3分）如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为，则该二次函数表达式可以为　　．（任意写出一个符合条件的即可）

11．（3分）在中，，，，则　　．

12．（3分）如图，圆心角为，半径为4的弧，则这条弧的长度是　　．

13．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则　　．（点，，，是网格线交点）

14．（3分）正方形的边长是，则其外接圆的半径为　　．

15．（3分）抛物线沿轴向上平移3个单位长度后的抛物线的表达式为　　．

16．（3分）如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为，三角形与正方形重叠部分的面积为，在下面的平面直角坐标系中，线段表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象，点表示的是停止运动后图象的结束点，下面有三种补全图象方案，正确的方案是　　．

三、解答题（本题共52分，第17～21题每小题5分，第22题每小题5分，第23～25题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（5分）计算：．

18．（5分）在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：

已知：如图1，在中，，请在图中的内（含边），画出使的一个点（保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步骤找到了点

（1）以为直径，作，如图2；

（2）过点作的垂线，交于点；

（3）以点为圆心，为半径作，分别交、边于、，在劣弧上任取一点即为所求点，如图3．

问题：

在（2）的操作中，可以得到　　（依据：　　．

在（3）的操作中，可以得到　　（依据：　　．

19．（5分）已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；

（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．

20．（5分）如图，点是反比例函数的图象上的一点．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）设直线与双曲线的两个交点分别为和，当时，直接写出的取值范围．

21．（5分）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为．室外测量组测得的长度为5米，求旗杆的高度．

22．（6分）如图，已知是的直径，点在的延长线上，，切于点，交于点，连接，点在上．

（1）求证：；

（2）连接，如果，，求的长．

23．（7分）已知：抛物线经过点和．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设点关于对称轴的对称点为，抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

24．（7分）在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：　　．

25．（7分）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，我们给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们成为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”；若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．

已知：点，点

（1）在点，，中，与点，为等距点的是　　；

（2）点为轴上一动点，若，，三点为等距点，的值为　　；

（3）已知点，有一半径为1，圆心为的，若上存在点，使得，，三点为等距点，直接写出的取值的范围．

2020-2021学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（3分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：是抛物线的顶点式，

抛物线的顶点坐标为．

故选：．

2．（3分）的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件　　

A． B． C． D．无法确定

【解答】解：点在外，

．

故选：．

3．（3分）在中，，，，，则的长为　　

A．2 B．3 C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

，

，即，

解得，，

故选：．

4．（3分）点，，点，，在反比例函数的图象上，且，则　　

A． B． C． D．不能确定

【解答】解：中，

函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内，随的增大而减小，

点，，点，，在反比例函数的图象上，且，

，

故选：．

5．（3分）如图，在中，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，

，，

，

，

故选：．

6．（3分）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：设所求正边形边数为，

则，

解得．

故正多边形的边数是6．

故选：．

7．（3分）在大力发展现代化农业的形势下，现有、两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：

下面有三个推断：

①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以、两种新玉米种子出芽的概率一样；

②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.97；

③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．其中合理的是　　

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

【解答】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，实验种子为100，数量太少，出现的频率不能作为、两种新玉米种子出芽的概率，故①错误；

随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.97，故②正确；

在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．故③正确；

故选：．

8．（3分）如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．如图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据，、，、，，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意知，抛物线经过点、、，

则，

解得：，

所以．

此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足．

故选：．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）如图：在中，，，，则　9　．

【解答】解：，

，

．

故答案为9．

10．（3分）如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为，则该二次函数表达式可以为　（答案不唯一）　．（任意写出一个符合条件的即可）

【解答】解：一个二次函数图象开口向下，对称轴为，

该函数的解析式可以为，

故答案为：（答案不唯一）．

11．（3分）在中，，，，则　　．

【解答】解：在中，，．

12．（3分）如图，圆心角为，半径为4的弧，则这条弧的长度是　　．

【解答】解：圆心角为，半径为4的弧的长度是．

故答案为：．

13．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则　45　．（点，，，是网格线交点）

【解答】解：如图，连接并延长到点，使，连接、，

则是的垂直平分线，

，

．

，，

，

是等腰直角三角形，

，

．

故答案为：45．

14．（3分）正方形的边长是，则其外接圆的半径为　　．

【解答】解：如图，连接，，

四边形是正方形，

，

是等腰直角三角形，

，即，解得．

故答案为：．

15．（3分）抛物线沿轴向上平移3个单位长度后的抛物线的表达式为　　．

【解答】解：抛物线沿轴向上平移3个单位长度后的抛物线的表达式为．

故答案为：．

16．（3分）如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为，三角形与正方形重叠部分的面积为，在下面的平面直角坐标系中，线段表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象，点表示的是停止运动后图象的结束点，下面有三种补全图象方案，正确的方案是　乙　．

【解答】解：设正方形的边长为，直角三角形的面积为，

①如下图，当三角形从图①的位置开始，匀速向右平移到②的位置时，如下图：

设重叠的图形为，，

则，，

则，该函数的表达式为开口向上的抛物线，

②当直角三角形在正方形内部时，

则为常数，即为直角三角形的面积，对应函数图象段；

③当三角形通过正方形内部，匀速向右平移到②的位置时，

同理可得：，该函数的表达式为开口向下的抛物线，

故答案为：乙．

三、解答题（本题共52分，第17～21题每小题5分，第22题每小题5分，第23～25题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（5分）计算：．

【解答】解：原式

．

18．（5分）在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：

已知：如图1，在中，，请在图中的内（含边），画出使的一个点（保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步骤找到了点

（1）以为直径，作，如图2；

（2）过点作的垂线，交于点；

（3）以点为圆心，为半径作，分别交、边于、，在劣弧上任取一点即为所求点，如图3．

问题：

在（2）的操作中，可以得到　90　（依据：　　．

在（3）的操作中，可以得到　　（依据：　　．

【解答】解：（1）连接，

是直径，

（直径所对的圆周角等于，

（2），

（同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半），

故答案为：90，直径所对的圆周角等于，45，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

19．（5分）已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；

（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．

【解答】解：（1）；

（2）顶点，

当时，，

，

，，

与轴交点为、，

20．（5分）如图，点是反比例函数的图象上的一点．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）设直线与双曲线的两个交点分别为和，当时，直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）把代入得，

所以反比例函数的解析式为；

（2）直线与双曲线的两个交点分别为和，，

的坐标为，

当时，的取值范围为或．

21．（5分）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为．室外测量组测得的长度为5米，求旗杆的高度．

【解答】解：如图所示：

由题意可得，米，，

为，

是等腰直角三角形，

米，

，

解得：，

则旗杆米．

22．（6分）如图，已知是的直径，点在的延长线上，，切于点，交于点，连接，点在上．

（1）求证：；

（2）连接，如果，，求的长．

【解答】证明：连接，

，

，

，

，

，

，

切于点，

，

；

（2）解：，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

23．（7分）已知：抛物线经过点和．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设点关于对称轴的对称点为，抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

【解答】解：（1）把和分别代入，

得：，解得：，

抛物线的表达式为：．

．

顶点坐标为．

（2）．

对称轴为直线，

，

点关于对称轴的对称点点坐标为，

当过点时，代入，则，

当过点时，代入，则，

所以的取值范围为．

24．（7分）在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：　　．

【解答】解：（1）补全图形，如图1所示：

（2）证明：连接，如图

四边形是菱形，

，，

．

是菱形的对角线，

，

又，，

由菱形的对称性可知，

，

，则，

．

，，

．

在与中，

．

．

（3）由（2）得，，，

，

在三角形中，，，

，

．

25．（7分）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，我们给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们成为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”；若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．

已知：点，点

（1）在点，，中，与点，为等距点的是　　；

（2）点为轴上一动点，若，，三点为等距点，的值为　　；

（3）已知点，有一半径为1，圆心为的，若上存在点，使得，，三点为等距点，直接写出的取值的范围．

【解答】解：（1）根据正方点的定义，可知点与、是等距点，

故答案为；

（2）由题意：或，

解得或，

故答案为或3；

（3）如图，

点，点，

与点，点成等距点的所有点所成的图形如图所示，

即在轴上方时，当时，是图象，当时，是图象，当，是的图象；

在轴下方时，当时，是图象，当时，是图象，当，是的图象；

当与上面图象有交点时，上存在点，使得，，三点为等距点，

或．

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日期：2021/12/6 11:48:29；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122