2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（3分）如图，在中，，，，则的值是　　

A． B． C． D．

2．（3分）若，则的值是　　

A． B．2 C． D．1

3．（3分）如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，．若，，，则的长是　　

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5

4．（3分）将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是　　

A． B． C． D．

5．（3分）如图，点是函数图象上的一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为，，则四边形的面积是　　

A．3 B．6 C．12 D．24

6．（3分）如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是　　

A．4 B． C．2 D．

7．（3分）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．下列说法正确的是　　

A． B． 

C． D．（其中

8．（3分）如图，是的直径，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：

①至少存在一点，使得；

②若，则；

③不是直角；

④．

上述结论中，所有正确结论的序号是　　

A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②④

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是　　．

10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线的交点，则与的大小关系为：　　（填“”，“ ”或“” ．

11．（3分）抛物线的顶点坐标是　　．

12．（3分）如图，在中，，，是边上的中线，则的值是　　．

13．（3分）若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积是　　（结果保留．

14．（3分）请你写出一个函数，使得当自变量时，函数随的增大而增大，这个函数的解析式可以是　　．

15．（3分）如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转，得到，点在上，交于点．如下结论中，

①平分；

②；

③；

④．

所有正确结论的序号是　　．

16．（3分）已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是　　．

三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．（5分）计算：．

18．（5分）已知抛物线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与轴的交点坐标．

19．（5分）下面是小青设计的“作一个角”的尺规作图过程．

已知：线段．

求作：，使得．

作法：

①分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于，两点；

②以点为圆心，的长为半径作；

③在优弧上任意取一点（点不与点，重合），连接，．

则就是所求作的角．

根据小青设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接，．

，

是等边三角形．

　　．

是优弧上一点，

　　（填写推理依据）．

．

20．（5分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点，测得树的顶端的仰角为，在，间选择一点，，三点在同一直线上），测得树的顶端的仰角为，间距离为，求这棵树的高度．（结果保留根号）．

21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．

（1）求，的值；

（2）点为图象上一点，过点作轴的平行线交直线于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标．

22．（6分）如图，在矩形中，点在对角线上，以为圆心，的长为半径的与，分别交于点，，且．

（1）求证：直线与相切；

（2）若，，求的半径．

23．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．

（1）用含有的代数式表示；

（2）求抛物线顶点的坐标；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作轴的平行线交抛物线于，两点．记抛物线在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为．

①当时，直接写出区域内整点的个数；

②若区域内恰有3个整点，结合函数图象，求的取值范围．

24．（7分）在中，，，是射线上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．

（1）如图1，当点在线段上时，连接，若，则线段，的数量关系是　　；

（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2．

①探究线段，的数量关系，并证明；

②直接写出线段，，之间的数量关系．

25．（7分）在平面直角坐标系中，已知线段和点，给出如下定义：若且点不在线段上，则称点是线段的等腰顶点．特别地，当时，称点是线段的非锐角等腰顶点．

（1）已知，

①在点，，，中，是线段的等腰顶点的是　　；

②若点在直线上，且点是线段的非锐角等腰顶点，求的取值范围；

（2）直线与轴交于点，与轴交于点．的圆心为，半径为，若上存在线段的等腰顶点，请直接写出的取值范围．

2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（3分）如图，在中，，，，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，，

则，

故选：．

2．（3分）若，则的值是　　

A． B．2 C． D．1

【解答】解：，

，

则．

故选：．

3．（3分）如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，．若，，，则的长是　　

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5

【解答】解：直线，

，

，，，

，

，

故选：．

4．（3分）将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原抛物线的顶点为，向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：．

可设新抛物线的解析式为，代入得．

故选：．

5．（3分）如图，点是函数图象上的一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为，，则四边形的面积是　　

A．3 B．6 C．12 D．24

【解答】解：矩形的面积．

故选：．

6．（3分）如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是　　

A．4 B． C．2 D．

【解答】解：，

，

在中，，

，

．

故选：．

7．（3分）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．下列说法正确的是　　

A． B． 

C． D．（其中

【解答】解：抛物线开口向下，

，

抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，

，

，所以选项错误；

抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，

抛物线与轴的另一个交点坐标为，

△，所以选项错误；

时，，

，所以选项错误；

时，有最大值，

，

即，所以选项正确．

故选：．

8．（3分）如图，是的直径，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：

①至少存在一点，使得；

②若，则；

③不是直角；

④．

上述结论中，所有正确结论的序号是　　

A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②④

【解答】解：①至少存在一点，使得，错误．不存在．

②若，则，错误，应该是．

③不是直角，正确．

④．正确．

故选：．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是　　．

【解答】反比例函数图像在第二、四象限，

10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线的交点，则与的大小关系为：　　（填“”，“ ”或“” ．

【解答】解：连接，，

根据勾股定理得到，，

，，

和都是等腰直角三角形，

．

故答案为：．

11．（3分）抛物线的顶点坐标是　　．

【解答】解：，

抛物线顶点坐标为，

故答案为：．

12．（3分）如图，在中，，，是边上的中线，则的值是　2　．

【解答】解：是边上的中线，

．

，

．

在中，

．

故答案为：2．

13．（3分）若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积是　　（结果保留．

【解答】解：，，

．

故答案为．

14．（3分）请你写出一个函数，使得当自变量时，函数随的增大而增大，这个函数的解析式可以是　（答案不唯一）　．

【解答】解：当自变量时，函数随的增大而增大，

只要反比例函数比例系数就符合题意，

（答案不唯一）．

故答案为：．

15．（3分）如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转，得到，点在上，交于点．如下结论中，

①平分；

②；

③；

④．

所有正确结论的序号是　①②③　．

【解答】解：①由旋转的性质知：，．

，

．

，即平分．

故①符合题意；

②，，

．

故②符合题意；

③，，

．

故③符合题意；

④不一定等于，，，

不能证明全等于，

故不一定等于．

不一定成立，即无法证明．

故④不符合题意．

故答案是：①②③．

16．（3分）已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是　　．

【解答】解：抛物线经过，两点，

该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上，

点关于直线的对称点为，

，

，

故答案为．

三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．（5分）计算：．

【解答】解：原式

．

18．（5分）已知抛物线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与轴的交点坐标．

【解答】解：（1）抛物线经过点，，

，解得，

抛物线解析式为；

（2）当，则．解得，，

抛物线与轴的交点坐标是，．

19．（5分）下面是小青设计的“作一个角”的尺规作图过程．

已知：线段．

求作：，使得．

作法：

①分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于，两点；

②以点为圆心，的长为半径作；

③在优弧上任意取一点（点不与点，重合），连接，．

则就是所求作的角．

根据小青设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接，．

，

是等边三角形．

　60　．

是优弧上一点，

　　（填写推理依据）．

．

【解答】解：（1）补全的图形如图所示：

（2）证明：如图，连接，．

，

是等边三角形．

．

是优弧上一点，

（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．

．

故答案为：60；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

20．（5分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点，测得树的顶端的仰角为，在，间选择一点，，三点在同一直线上），测得树的顶端的仰角为，间距离为，求这棵树的高度．（结果保留根号）．

【解答】解：如图，作，垂足为，

在中，

，，，

．

，

．

．

是的外角，

，，

．

在中，

，

．

．

在中，，

．

答：这棵树的高度是．

21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．

（1）求，的值；

（2）点为图象上一点，过点作轴的平行线交直线于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标．

【解答】解：（1）将点代入中，得，

，

将点代入中得；

（2）①当点在点下方时，

过点作轴，交直线于点，

平行于轴，

，

，

，

点，

点纵坐标为1．

，

．

点坐标为．

②当点在点上方时，

过点作轴，交直线于点．

平行于轴，

．

，

，

点，

点纵坐标为3．

代入得，，

点坐标为，

点坐标为或，．

22．（6分）如图，在矩形中，点在对角线上，以为圆心，的长为半径的与，分别交于点，，且．

（1）求证：直线与相切；

（2）若，，求的半径．

【解答】（1）证明：连接．

，

．

四边形是矩形，

．

又，

，

，

．

．

于．

直线与相切；

（2）解：，，

．

，

．

，

，

．

又四边形是矩形，

．

又，，

．

．

设的半径为，在中，．

．

即．

解得．

的半径为．

23．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．

（1）用含有的代数式表示；

（2）求抛物线顶点的坐标；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作轴的平行线交抛物线于，两点．记抛物线在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为．

①当时，直接写出区域内整点的个数；

②若区域内恰有3个整点，结合函数图象，求的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线．

，

；

（2）把代入得：，

配方得：．

顶点；

（3）①当时，，

抛物线与轴的交点为，此点关于对称轴的对称点为，如图1，

由图象可知，区域内整点有个；

②由①得，时，区域内有1个整点．

（Ⅰ）当抛物线过时，区域内恰有3个整点．如图2，

将代入，

得，

结合图象可得，；

（Ⅱ）当抛物线过时，区域内恰有3个整点．如图3，

将代入，

得．

综上所述，的值范围是或．

24．（7分）在中，，，是射线上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．

（1）如图1，当点在线段上时，连接，若，则线段，的数量关系是　　；

（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2．

①探究线段，的数量关系，并证明；

②直接写出线段，，之间的数量关系．

【解答】解：（1）．

将线段顺时针旋转，得到线段，

，，

为等边三角形，

，

，

，

，

，

是的垂直平分线，

；

故答案为：．

（2）依题意补全图形：

①．

如图3，过点作于．

将线段顺时针旋转，得到线段，

，，

，

，

．

在与中，

，

．

．

在中，，，

．

．

垂直平分．

．

②．

，

，

，

，

，

，

，

．

25．（7分）在平面直角坐标系中，已知线段和点，给出如下定义：若且点不在线段上，则称点是线段的等腰顶点．特别地，当时，称点是线段的非锐角等腰顶点．

（1）已知，

①在点，，，中，是线段的等腰顶点的是　，　；

②若点在直线上，且点是线段的非锐角等腰顶点，求的取值范围；

（2）直线与轴交于点，与轴交于点．的圆心为，半径为，若上存在线段的等腰顶点，请直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）①如图1中，

根据图象结合点是线段的等腰顶点的定义可知，点，是线段的等腰顶点．

故答案为：，．

②（Ⅰ）当点在直线上时，，．

（Ⅱ）当点在直线上时，，．

（Ⅲ）当点在直线上时，，．

结合图象可知满足条件的的值为：且．

（2）如图3中，作线段的垂直平分线，当与线段的垂直平分线有交点（线段的中点除外）时，满足条件．

当与线段的垂直平分线相切时，和，

观察图像可知，满足条件的的值为：．

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日期：2021/12/6 11:48:10；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122