2020-2021学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模）

2020-2021学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】

1．（4分）如果实数，，，满足，下列四个选项中，正确的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）在平面直角坐标系中，已知点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值是　　

A． B． C． D．3

3．（4分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

4．（4分）已知单位向量与非零向量，，下列四个选项中，正确的是　　

A． B． C． D．

5．（4分）在中，，，，垂足为，下列四个选项中，不正确的是　　

A． B． C． D．

6．（4分）二次函数的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是　　

A．， B．， C．， D．，

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

7．（4分）正方形的边长与它的对角线的长度的比值为　　．

8．（4分）已知点是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为　　．

9．（4分）如图，点在的边上，当　　时，与相似．

10．（4分）已知向量关系式，那么向量　　（用向量与向量表示）．

11．（4分）如图，飞机在目标的正上方，飞行员测得目标的俯角为，那么的度数为　　．

12．（4分）已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是　 　度．

13．（4分）如果抛物线的开口向下，那么实数的取值范围是　　．

14．（4分）二次函数的图象与轴的交点坐标为　　．

15．（4分）如果抛物线的顶点在轴上，那么常数为　　．

16．（4分）如果抛物线的对称轴是直线，那么　　0．（从，，中选择）

17．（4分）如图，正方形和正方形的边长相等，点、、在同一条直线上，联结、，那么的值为　　．

18．（4分）已知在中，，，（如图），把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点，，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为　　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：．

20．（10分）我们已经知道二次函数的图象是一条抛物线，研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿轴的正方向看）．

已知一个二次函数的大致图象如图所示．

（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）

（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．

21．（10分）如图，已知与相交于点，联结．

（1）如果，，，求：；

（2）分别将、、记为、、，如果是与的比例中项，求证：．

22．（10分）如图，在中，，．

（1）求边的长度；

（2）求的值．

23．（12分）如图，已知矩形的边在的边上，顶点，分别在边、上，的高交于点．

（1）求证：；

（2）设为正实数），求证：．

24．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，如果抛物线恰好经过这三个点之中的两个点．

（1）试推断抛物线经过点、、之中的哪两个点？简述理由；

（2）求常数与的值；

（3）将抛物线先沿与轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿轴平行的方向向右平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点，设这个新抛物线的顶点是，试探究的形状．

25．（14分）在矩形中，，，点在边上，．点是线段上一点，联结，．

（1）如图1，如果，求线段的长；

（2）如图2，如果，

①求证：；

②求线段的长．

2020-2021学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】

1．（4分）如果实数，，，满足，下列四个选项中，正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，，故选项正确；

、当时，等式不成立，故选项错误；

、当时，等式不成立，故选项错误；

、无法得到，故选项错误．

故选：．

2．（4分）在平面直角坐标系中，已知点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值是　　

A． B． C． D．3

【解答】解：如图，过点作轴于，

则，

点的坐标为，

，，

，

即．

故选：．

3．（4分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线，

抛物线顶点坐标为，

故选：．

4．（4分）已知单位向量与非零向量，，下列四个选项中，正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．

、等式成立，故本选项符合题意．

、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．

、当单位向量与非零向量的方向相同时，等式才成立，故本选项不符合题意．

故选：．

5．（4分）在中，，，，垂足为，下列四个选项中，不正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，

，

，

，

设，则，，

，，

，

不合题意；

，

符合题意；

，

不合题意；

，

不合题意；

故选：．

6．（4分）二次函数的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：二次函数

顶点为，

顶点在第四象限，

，，

，，

故选：．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

7．（4分）正方形的边长与它的对角线的长度的比值为　　．

【解答】解：四边形是正方形，

，，，

，

；

故答案为：．

8．（4分）已知点是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为　　．

【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，

，

，

故答案为：．

9．（4分）如图，点在的边上，当　　时，与相似．

【解答】解：，

当时，与相似，

故答案为：．

10．（4分）已知向量关系式，那么向量　　（用向量与向量表示）．

【解答】解：，

，

故答案为：．

11．（4分）如图，飞机在目标的正上方，飞行员测得目标的俯角为，那么的度数为　60　．

【解答】解：根据题意可知：

，，

．

故答案为：60．

12．（4分）已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是　30　度．

【解答】解：，

坡角．

13．（4分）如果抛物线的开口向下，那么实数的取值范围是　　．

【解答】解：抛物线的开口向下，

，

即．

故答案为．

14．（4分）二次函数的图象与轴的交点坐标为　　．

【解答】解：，

当时，，

即二次函数的图象与轴的交点坐标为，

故答案为．

15．（4分）如果抛物线的顶点在轴上，那么常数为　2　．

【解答】解：抛物线的顶点在轴上，

，

解得：，

故答案为：2．

16．（4分）如果抛物线的对称轴是直线，那么　　0．（从，，中选择）

【解答】解对称轴为，

，

，

故答案为．

17．（4分）如图，正方形和正方形的边长相等，点、、在同一条直线上，联结、，那么的值为　3　．

【解答】解：连接交于，

设正方形的边长为，

，

，

，

，

，

，

故答案为：3．

18．（4分）已知在中，，，（如图），把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点，，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为　或　．

【解答】解：分两种情况：

①当点在线段上时，△为直角三角形，

，，，

，

，，

；

②当点在线段的延长线上时，△为直角三角形，

同理可得，，，

；

综上所述，点与点的距离为或．

故答案为：或．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：．

【解答】解：原式

．

20．（10分）我们已经知道二次函数的图象是一条抛物线，研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿轴的正方向看）．

已知一个二次函数的大致图象如图所示．

（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）

（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．

【解答】解：（1）由图象可得，

该函数图象的对称轴是直线；

抛物线开口向下；

抛物线有最高点，最高点的坐标为；

当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；

（2）依据目前的信息，不可以求出这个二次函数的解析式，

补充条件，点的坐标为，

设该函数解析式为，

则，

解得，

即该函数解析式为．

21．（10分）如图，已知与相交于点，联结．

（1）如果，，，求：；

（2）分别将、、记为、、，如果是与的比例中项，求证：．

【解答】（1）解：，

，

，即，

解得，，

，即，

解得，；

（2）证明：是与的比例中项，

，

，

．

22．（10分）如图，在中，，．

（1）求边的长度；

（2）求的值．

【解答】解：（1）如图，过点作于点，

，

，

在中，，

，

，

则；

（2）如图，过作于，

，

，

，

．

23．（12分）如图，已知矩形的边在的边上，顶点，分别在边、上，的高交于点．

（1）求证：；

（2）设为正实数），求证：．

【解答】（1）证明：四边形是矩形，

，，，

，

，

，，

，

，

，

，

，

；

（2）证明：，

，

，

，

，

，

，

．

24．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，如果抛物线恰好经过这三个点之中的两个点．

（1）试推断抛物线经过点、、之中的哪两个点？简述理由；

（2）求常数与的值；

（3）将抛物线先沿与轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿轴平行的方向向右平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点，设这个新抛物线的顶点是，试探究的形状．

【解答】解：（1）抛物线与轴的交点记作点，

针对于抛物线，

当时，，

抛物线与轴的交点的坐标为，

点，点，

轴，

抛物线经过点、两点中其中的一点，

而点，，，

点，，从左到右，横坐标依次增加1，纵坐标也依次增加1，

点，，再同一条直线上，

点不在物线上，

即抛物线经过点、、之中的、两个点；

（2）将点、代入抛物线中，得，

，

即，的值分别为1，2；

（3）由（2）知，，，

抛物线的解析式为，

由平移得，平移后新抛物线的解析式为，

即新抛物线的解析式为，

抛物线经过点，

，

（舍或，

新抛物线的解析式为，

顶点，

点、，

，．，

，，

是等腰直角三角形．

25．（14分）在矩形中，，，点在边上，．点是线段上一点，联结，．

（1）如图1，如果，求线段的长；

（2）如图2，如果，

①求证：；

②求线段的长．

【解答】解：（1）如图1，

四边形是矩形，

，

过点作于，

，

，

，

，

在中，，

设，则，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

，

，，

根据勾股定理得，；

（2）①如图2，

四边形是矩形，

，，，，

在中，，

，

，

延长，相交于点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

②如图3，

过点作于，

，

，

，

，

在中，，

设，则，

由①知，，

，

在中，，根据勾股定理得，，

，

（舍或，

，，

根据勾股定理得，．

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日期：2021/12/13 14:05:11；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125