2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨市九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）若，则的值为　　
A． B．5 C． D．
2．（4分）在一个不透明的盒子中有1个白球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是　　
A． B． C． D．
3．（4分）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为　　
A． B． C． D．
4．（4分）如图，在中，，，，，则的长为　　

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（4分）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为，则水面的宽度为　　

A． B． C． D．
6．（4分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为　　

A． B． C． D．
7．（4分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心　　

A． B． C． D．
8．（4分）如图，半径为10的扇形中，，为弧上一点，，，垂足分别为，．若图中阴影部分的面积为，则　　

A． B． C． D．
9．（4分）如图，是斜边上的高，，，点是上的动点，以为圆心作半径为1的圆，若该圆与重叠部分的面积为，则的最小值为　　

A． B． C． D．
10．（4分）已知为直角三角形，且，若的三个顶点均在双曲线上，斜边经过坐标原点，且点的纵坐标比横坐标少3个单位长度，点的纵坐标与点横坐标相等，则　　

A．4 B． C． D．5
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中横线上）
11．（5分）正五边形每个内角的度数为 　　．
12．（5分）在一个有10万人的小镇随机调查了1000人，其中有100人看中央电视台的早间新闻．在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是　　．
13．（5分）如图，已知上三点，，，切线交延长线于点，若，则　　．

14．（5分）已知：如图，正方形的顶点在矩形的边上，矩形的顶点在正方形的边上，正方形的边长为4，的长为5，则的长为 　　．

15．（5分）如图，已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③若点和在该图象上，则，④设，是方程的两根，若，则．其中正确的结论是　　（填入正确结论的序号）．

16．（5分）如图，直角的直角边长，是中点，线段在边上运动，，则四边形面积的最大值为 　　，周长的最小值为 　　．

三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）计算：．
（2）已知线段，，求线段，的比例中项．
18．（8分）在一个不透明的盒子中有3个颜色、大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有1，2，3这3个号码．
（1）搅匀后从中随机抽出1个小球，抽到1号球的概率是　　．
（2）搅匀后先从中随机抽出1个小球（不放回），再从余下的2个球中随机抽出1个球，求抽到的2个小球的号码的和为奇数的概率．
19．（8分）如图，某海防哨所发现在它的北偏西，距离哨所的处有一艘船，该船向正东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的处，求该船的航速．（精确到

20．（8分）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：．
（2）若，的面积是25，求的面积．

21．（10分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表：
销售单价（元千克）
55
60

70
销售量（千克）
70

50
40
（1）求（千克）与（元千克）之间的函数表达式．
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．（12分）如图，在中，点是中点，以为圆心，为直径作圆刚好经过点，延长于点，连接．已知．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若，，求的半径．

23．（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“好点”．

（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）边上的“好点”；
（2）中，，，，点是边上的“好点”，求线段的长；
（3）如图3，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．若点是中边上的“好点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
24．（14分）如图，已知中，，，点坐标为，点坐标为，抛物线的顶点记为，且经过的三个顶点、、（点在点左侧，点在轴下方）．抛物线也交轴于点、，其顶点为．
（1）求点的坐标和抛物线的顶点的坐标．
（2）当的值最小时，求抛物线的解析式．
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若是与相似的三角形，求抛物线的顶点的坐标．


2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）若，则的值为　　
A． B．5 C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
2．（4分）在一个不透明的盒子中有1个白球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为袋中共有个球，白球有1个，
摸出的球是白球的概率为，
故选：．
3．（4分）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为　　
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是，
故选：．
4．（4分）如图，在中，，，，，则的长为　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，
，
即，
解得：，
故选：．
5．（4分）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为，则水面的宽度为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，过点作交于点交于．

，
，
，，
，
，
，
故选：．
6．（4分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接、．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：．

7．（4分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心　　

A． B． C． D．
【解答】解：从点出发，确定点分别到，，，，的距离，只有，
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
点是的外心，
故选：．
8．（4分）如图，半径为10的扇形中，，为弧上一点，，，垂足分别为，．若图中阴影部分的面积为，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
，，，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．

9．（4分）如图，是斜边上的高，，，点是上的动点，以为圆心作半径为1的圆，若该圆与重叠部分的面积为，则的最小值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
圆的半径为1，且圆与重叠部分的面积为，
此圆全部在内，如图，

在中，，，
，
若取最小值时，与相切，
设切点为，连接，则，
，
，
，
，
同理可证，
，
，
，
又，
，
故选：．
10．（4分）已知为直角三角形，且，若的三个顶点均在双曲线上，斜边经过坐标原点，且点的纵坐标比横坐标少3个单位长度，点的纵坐标与点横坐标相等，则　　

A．4 B． C． D．5
【解答】解：连接．

反比例函数图象是中心对称图形，
，
为直角三角形，且，，
，
反比例函数关于直线对称，，
、关于直线对称，
点的纵坐标与点的横坐标相同，
，则，
，
，整理得，
点的纵坐标比横坐标少3个单位长，
，
，
点在双曲线上，
．
故选：．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中横线上）
11．（5分）正五边形每个内角的度数为 　　．
【解答】解：方法一：，
；

方法二：，
，
所以，正五边形每个内角的度数为．
故答案为：．
12．（5分）在一个有10万人的小镇随机调查了1000人，其中有100人看中央电视台的早间新闻．在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是　0.1　．
【解答】解：随机调查了1000人，其中100人看某电视台的早间新闻，
在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是：；
故答案为：0.1．
13．（5分）如图，已知上三点，，，切线交延长线于点，若，则　　．

【解答】解：连接，

切线交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
14．（5分）已知：如图，正方形的顶点在矩形的边上，矩形的顶点在正方形的边上，正方形的边长为4，的长为5，则的长为 　　．

【解答】解：在正方形和矩形中，
，，
，
，
，
则有，
，，
．
故答案为：．
15．（5分）如图，已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③若点和在该图象上，则，④设，是方程的两根，若，则．其中正确的结论是　③④　（填入正确结论的序号）．

【解答】解：图象于轴的交点在轴上方，
，
对称轴为，
，即，
，
，
，
①不合题意，
当时，，
当时，不能确定的值，
②不合题意，
根据图象可知，离对称轴越远的函数越小，
到1的距离大于2到1的距离，
，
③符合题意，
若，则，，，
，
若，则，，，
，
若，则，，，
，
，
④符合题意，
故答案为③④．
16．（5分）如图，直角的直角边长，是中点，线段在边上运动，，则四边形面积的最大值为 　　，周长的最小值为 　　．

【解答】解：设，
直角的直角边长，
，
，
，
，
点到的距离为，
是的中点，
点到的距离为，
四边形面积，
，
当时，四边形面积有最大值；
作关于的对称点，连接、，过点作，且，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长，
当、、三点共线时，四边形的周长最小，
此时四边形的周长，
，，是的中点，
，
过作，交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
四边形的周长的最小值为，
故答案为：，．

三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）计算：．
（2）已知线段，，求线段，的比例中项．
【解答】解：（1）原式，
（2）设比例中项为，则，
解得：．
18．（8分）在一个不透明的盒子中有3个颜色、大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有1，2，3这3个号码．
（1）搅匀后从中随机抽出1个小球，抽到1号球的概率是　　．
（2）搅匀后先从中随机抽出1个小球（不放回），再从余下的2个球中随机抽出1个球，求抽到的2个小球的号码的和为奇数的概率．
【解答】解：（1）随机抽出1个小球，抽到1号球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有6个等可能的结果，抽到的2个小球的号码的和为奇数的结果有4个，
抽到的2个小球的号码的和为奇数的概率为．
19．（8分）如图，某海防哨所发现在它的北偏西，距离哨所的处有一艘船，该船向正东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的处，求该船的航速．（精确到

【解答】解：设与正北方向线交于点，
在中，
，米，
米，米，
中，
，
，
，
米，
（米，
该船的航速为（千米时），
即该船的航速约为每小时14千米．

20．（8分）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：．
（2）若，的面积是25，求的面积．

【解答】解：（1），，
，，．
．
．
（2），
，．
．
，
．
．
．
的面积是25，
．
21．（10分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表：
销售单价（元千克）
55
60

70
销售量（千克）
70

50
40
（1）求（千克）与（元千克）之间的函数表达式．
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，
解得：．
与之间的函数表达式为．
（2）由题意得：，
整理得：，
解得，．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元千克或80元千克．
（3）设当天的销售利润为元，则：

，
，
当时，．
答：当销售单价定为70元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
22．（12分）如图，在中，点是中点，以为圆心，为直径作圆刚好经过点，延长于点，连接．已知．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若，，求的半径．

【解答】（1）①证明：连接，

是直径，
，
，
，
，
．
，
，
是的切线；
②证明：，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
半径．
23．（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“好点”．

（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）边上的“好点”；
（2）中，，，，点是边上的“好点”，求线段的长；
（3）如图3，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．若点是中边上的“好点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
【解答】解：（1）如图：

即为边上的“好点”；
（2）如答图

过作于，
，，
，，
设，则，，
，
，解得，
，，
设，则，，
中，，
而点是边上的“好点”，有，
，
解得或，
或；
（3）①，，
，
，
，
点是中边上的“好点”，
，
，
；
②如答图

连接，
，，
，
是直径，
，
设，则，，
中，，
，
中，，
点是中边上的“好点”，
，
，
．
24．（14分）如图，已知中，，，点坐标为，点坐标为，抛物线的顶点记为，且经过的三个顶点、、（点在点左侧，点在轴下方）．抛物线也交轴于点、，其顶点为．
（1）求点的坐标和抛物线的顶点的坐标．
（2）当的值最小时，求抛物线的解析式．
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若是与相似的三角形，求抛物线的顶点的坐标．

【解答】解：（1），，，，
，
，
点的坐标为，
抛物线的图象经过点、、，
设抛物线的方程为，则，
，
，
顶点的坐标是；
（2）抛物线与抛物线与轴交点相同，
抛物线的对称轴为，是与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，则
，解得：，
直线的解析式为：，
点坐标为，
设，则，
，
抛物线的解析式为：；
（3）点在抛物线的对称轴右侧图象上，
点不是直角顶点，
设点，则
点到对称轴的距离为：，
，
是与相似的三角形，，
①当时，
当，时，，，
，
解得：（舍或，
，，
点的纵坐标为，
，
当，时，，，
，
解得：（舍或，
，，
点的纵坐标为，
；
②当时，
当时，，
，
解得：（舍或，
，
；
当时，，
，
解得：（舍或，
，
，
综上所述：点的坐标为或或或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/2 14:28:23；用户：初中数学2；邮箱：jse033@xyh.com；学号：39024123