2019-2020学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）一元二次方程的一根是1，则的值是　　

A．3 B． C．2 D．

2．（3分）把图1的正方体切下一个角，按图2放置，则切下的几何体的主视图是　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为　　

A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米

5．（3分）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，则的值是　　

A．8 B．4 C．2 D．1

6．（3分）如图，是抛物线的图象，根据图象信息分析下列结论：其中正确的结论是　　

①；

②；

③；

④．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

7．（5分）二次函数的顶点坐标是　 　．

8．（5分）九年级8班第一小组名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则的值是　　．

9．（5分）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，，则的值为　　．

10．（5分）如图，在菱形中，，，分别是边，对角线与边上的动点，连接，，若，，则的最小值是　　．

11．（5分）如图，矩形中，，，点是边上一点，交于点，则长的取值范围是　　．

12．（5分）中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是　　．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.）

13．（6分）（1）；

（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．

14．（6分）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，．

（1）求的取值范围；

（2）若，求方程的两个根．

15．（6分）如图，平行四边形中，点是的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．

（1）在图1中，作边上的中点；

（2）在图2中，作边上的中点．

16．（6分）垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按：可回收物，：有害垃圾，：餐厨垃圾，：其它垃圾四类分别装袋，投放．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）．

（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；

（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．

17．（6分）如图，在中，，，夹边的长为6．求的面积．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，直线与双曲线交于另一点，作轴于点，轴于点，连接，．

（1）求的值；

（2）若，求直线的解析式；

（3）若，其它条件不变，直接写出与的位置关系．

19．（8分）2019年10月1日，是新中国70周年的生日，在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵，接受国家主席习近平的检阅，令国人振奋，令世界瞩目．在李克强总理庄严的指令下，56门礼炮，70响轰鸣，述说着56个民族，70载春华秋实的拼搏！下图1是礼炮图片，图2是礼炮抽象示意图．已知：是水平线，，，、的仰角分别是和，，，且．

（1）求点的铅直高度；

（2）求，两点的水平距离．

（结果精确到，参考数据：，，

20．（8分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个与销售单价（元符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出与的函数关系式．

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

22．（9分）已知二次函数，是常数）．

（1）当，时，求二次函数的最小值；

（2）当，函数值时，以之对应的自变量的值只有一个，求的值；

（3）当，自变量时，函数有最小值为，求此时二次函数的表达式．

六、（本大题共12分）

23．如图1，在平行四边形和平行四边形中，顶点是它们的公共顶点，，，．

【特例感悟】（1）当顶点与顶点重合时（如图，与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；

【探索论证】（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；

【拓展应用】（3）试探究：当等于多少度时，以点，，，为顶点的四边形是矩形？请给予证明．

2019-2020学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）一元二次方程的一根是1，则的值是　　

A．3 B． C．2 D．

【解答】解：把代入方程得，解得．

故选：．

2．（3分）把图1的正方体切下一个角，按图2放置，则切下的几何体的主视图是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：三棱锥的主视图为选项中的图形，

故选：．

3．（3分）华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：剩余两位数的可能组合如图，

共100种情况，故他一次按对的概率是．

故选：．

4．（3分）如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为　　

A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米

【解答】解：节目主持人应站在舞台的黄金分割处，

距前沿较近的距离（米，

故选：．

5．（3分）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，则的值是　　

A．8 B．4 C．2 D．1

【解答】解：四边形是矩形，

与的交点是、的中点．

点坐标是，

点的坐标是．

反比例函数的图象经过点，

．

故选：．

6．（3分）如图，是抛物线的图象，根据图象信息分析下列结论：其中正确的结论是　　

①；

②；

③；

④．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

【解答】解：①，

，

即，故此选项正确．

②图象开口向下，则，

对称轴经过轴正半轴，则，异号，

，

图象与轴交于负半轴，则，

故②正确；

③图象与轴有两个交点，，故此选项正确；

④，可得图象与轴右侧的交点小于2，

时，对应点的值小于零，即．故此选项正确；

故选：．

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

7．（5分）二次函数的顶点坐标是　　．

【解答】解：二次函数，

此函数的顶点坐标是．

故答案为：．

8．（5分）九年级8班第一小组名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则的值是　6　．

【解答】解：依题意，得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

故答案为：6．

9．（5分）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，，则的值为　　．

【解答】解：在直角三角形中，是斜边上的高，

又，

，，

．

．

．

．

在中，

．

故答案为：

10．（5分）如图，在菱形中，，，分别是边，对角线与边上的动点，连接，，若，，则的最小值是　　．

【解答】解：作于．作点关于直线的对称点，连接．

四边形是菱形，

，

点在直线上，

，

根据垂线段最短可知，当，，共线且时，的值最小，

在中，，，

，

的最小值，

故答案为

11．（5分）如图，矩形中，，，点是边上一点，交于点，则长的取值范围是　　．

【解答】解：如图所示：

，

，

又，

，

又四边形是矩形，

，

又，

，

，

，

又，，，

，

解得：，

又，

，

故答案为．

12．（5分）中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是　3.6或4.32或4.8　．

【解答】解：在中，，，，

，．

沿过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：

①当时，如图①所示，

；

②当，且在上时，如图②所示，

作的高，则，

，

，

；

③当时，如图③所示，

．

综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．

故答案为3.6或4.32或4.8．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.）

13．（6分）（1）；

（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．

【解答】解：（1）原式，

     （2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．

，

几何体的体积是60．

14．（6分）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，．

（1）求的取值范围；

（2）若，求方程的两个根．

【解答】解：（1）一元二次方程有两实数根，，

△，

；

（2），，

而，

，解得，

方程为，

解得，，

即方程的两根是和1．

15．（6分）如图，平行四边形中，点是的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．

（1）在图1中，作边上的中点；

（2）在图2中，作边上的中点．

【解答】解：如图，

（1）在图1中，点即为边上的中点；

（2）在图2中，点即为边上的中点．

16．（6分）垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按：可回收物，：有害垃圾，：餐厨垃圾，：其它垃圾四类分别装袋，投放．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）．

（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；

（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．

【解答】解：（1）甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率为；

（2）画树状图如下：

由树状图知共有48种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的有24种结果，

所以乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率为．

17．（6分）如图，在中，，，夹边的长为6．求的面积．

【解答】解：如图，作于点．

，，

，

，

，

在中，，

，

，

，

的面积是．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，直线与双曲线交于另一点，作轴于点，轴于点，连接，．

（1）求的值；

（2）若，求直线的解析式；

（3）若，其它条件不变，直接写出与的位置关系．

【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，

；

（2）如图，作轴于，延长交的延长线于，则，

，

，

，

点的纵坐标为，

把代入得：

点的坐标是；

设：，则

直线的解析式是：；

（3）连接．

设点的坐标为，

点，在反比例函数的图象上，

，，

轴，轴，

，，，，

，

，

，

、点到的距离相等，

．

19．（8分）2019年10月1日，是新中国70周年的生日，在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵，接受国家主席习近平的检阅，令国人振奋，令世界瞩目．在李克强总理庄严的指令下，56门礼炮，70响轰鸣，述说着56个民族，70载春华秋实的拼搏！下图1是礼炮图片，图2是礼炮抽象示意图．已知：是水平线，，，、的仰角分别是和，，，且．

（1）求点的铅直高度；

（2）求，两点的水平距离．

（结果精确到，参考数据：，，

【解答】解：（1）如图，作，，，垂足分别为点，，．

在中，，，

，

，

在中，，

，

，

点的铅直高度是．

（2）在中，，

，

在中，，

，

，

，两点的水平距离约为．

20．（8分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个与销售单价（元符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出与的函数关系式．

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

【解答】解：（1）设，为常数）

将点，代入得

解得

与的函数关系式为：

（2）由题意得：

化简得：

解得：，

（不符合题意，舍去）

答：销售单价为80元．

（3）设每天获得的利润为元，由题意得

，抛物线开口向下

有最大值，当时，

答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

【解答】（1）证明：四边形为正方形，且，

，

，，

，

；

（2），为的中点，

，

在中，，

由（1）知，，

，即：，

，

．

22．（9分）已知二次函数，是常数）．

（1）当，时，求二次函数的最小值；

（2）当，函数值时，以之对应的自变量的值只有一个，求的值；

（3）当，自变量时，函数有最小值为，求此时二次函数的表达式．

【解答】解：（1）当，时，，

当时，；

  （2）当，函数值时，，

，

对应的自变量的值只有一个，

△，；

 （3）当时，

抛物线对称轴为：

①时，在自变量的值满足的情况下，随的增大而增大，当时，最小．

，；

②，当时，最小．

，（舍去）

③时，在自变量的值满足的情况下，随的增大而 减小，

当时，最小．

，（舍去）

综上可得：或

二次函数的表达式：或．

六、（本大题共12分）

23．如图1，在平行四边形和平行四边形中，顶点是它们的公共顶点，，，．

【特例感悟】（1）当顶点与顶点重合时（如图，与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；

【探索论证】（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；

【拓展应用】（3）试探究：当等于多少度时，以点，，，为顶点的四边形是矩形？请给予证明．

【解答】（1）证明：四边形和四边形是平行四边形，

，，，，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

四边形是菱形．

 （2）解：当时，四边形是正方形．理由如下：

连接交于，在上取一点，使得，如图2所示：

，，

，

，

，

，．

在和中，，

，

，

，

，

，

设，则，，

在中，，

解得，

，，

，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

四边形是矩形，

，

四边形是正方形．

（3）解：分两种情况：

①由（2）得：当时，四边形是正方形；

②当时，以点，，，为顶点的四边形是矩形．理由如下：

当时，点与点重合．如图3所示：

，

，

．

四边形和四边形是平行四边形，

，，，，

，，

四边形是平行四边形．

，

四边形是矩形；

综上所述，当等于或时，以点，，，为顶点的四边形是矩形．

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日期：2021/12/3 18:41:06；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124