2020-2021学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期末数学试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项
1．（3分）反比例函数的图象经过点，则的值为　　
A．3 B． C． D．
2．（3分）下列式子正确的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是　　

A．左视图发生改变
B．俯视图发生改变
C．主视图发生改变
D．左视图、俯视图、主视图都发生改变
4．（3分）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为　　度．
A．30 B．45 C．60 D．90
5．（3分）关于的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为　　

A． B． C． D．
7．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如表的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是　　
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．抛一枚硬币，出现正面
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，，向上的面点数是5
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
8．（3分）已知，点为射线上一固定点，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点，；
②作直线交射线于点，连接；
③以为圆心，长为半径画弧，交射线于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是　　

A． B． C． D．
9．（3分）现有下列命题：
①若，则一元二次方程有实数根；
②有两条边长比值是的两个直角三角形相似；
③有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；
④若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是．
其中真命题的个数为　　
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．（3分）如图，在矩形中，是边的中点，于，连接，若，，则　　

A．4 B．3 C． D．
11．（3分）如图，直线与双曲线交于，，，，直线交轴于，，下列命题：①；②当时，；③若为线段的中点，则，其中正确的命题有　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
12．（3分）如图，在矩形中，．，把矩形绕点旋转，得到矩形且点恰好落在上，连接交于点．则点的坐标是　　

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．
13．（3分）在中，若，则的度数为　　．
14．（3分）一个不透明的口袋中装有4个除颜色外，其他都一样的小球，其中有2个黄球，2个蓝球，现从中随机摸出2个球，则这2个球为同色的概率是　　．
15．（3分）关于的方程有实数根，其中为非正整数，则满足条件的的代数和为　　．
16．（3分）一个几何体的三视图如图所示，其中从上面看的视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为　　．

17．（3分）如图，点在钝角的边上连接，，，，则的余弦值为　　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点是反比例函数图象上一点，，交轴于点，，则的值为　　．

19．（3分）如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为　　．

20．（3分）如图，在中，，在的外部和内部（不包括边）分别取点，，若，，，的补角等于，则下列结论：
①点在线段的垂直平分线上；
②；
③；
④的最大值是14．
其中正确的结论是　　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（共6小题，共60分）
21．（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中　　，　　，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况，请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．
学习时间分组
频数
频率
组
9

组
18
0.3
组
18
0.3
组

0.2
组
3
0.05

22．（8分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地和人工智能科技馆参观学习如图，学校在点处，位于学校的东北方向，位于学校南偏东方向，在的南偏西方向处．学生分成两组，第一组前往地，第二组前往地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．

23．（10分）如图，在中，于点，交于点，，交于点，连接，点为线段上一点，连接，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求证：．

24．（10分）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有，两家商贸公司（以下简称，公司）．去年下半年，公司营销区域面积分别为平方千米，平方千米，其中，公共营销区域面积与公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，公司营销区域面积比去年下半年增长了，公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是公司的4倍，公共营销区域面积与公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与，两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了个百分点．
问题：
（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且公司每半年每平方千米产生的经济收益均为公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
25．（12分）已知矩形中，，．
（1）如图1，点从点开始沿以每秒1个单位的速度移动，同时另一个点从点开始在线段上以每秒3个单位的速度往返移动．设，运动时间为秒，当时，是否存在这样的时刻，四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，将矩形折叠，使点与点重合，点与点重合，展平后折痕为．一动点从点出发，沿，以每秒1个单位的速度移动一周，设运动的时间为秒．请直接写出当为直角三角形时的值．

26．（12分）如图，矩形的顶点，分别落在轴，轴的正半轴上，顶点，，反比例函数的图象与，分别交于，，．
（1）求反比例函数关系式和点的坐标；
（2）写出与的位置关系并说明理由；
（3）点在直线上，点是坐标系内点，当四边形为菱形时，求出点的坐标并判断点是否在反比例函数图象上．


2020-2021学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项
1．（3分）反比例函数的图象经过点，则的值为　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，解得，
故选：．
2．（3分）下列式子正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：．，因此选项符合题意；
．，因此选项不符合题意；
．，因此选项不符合题意；
．，因此选项不符合题意；
故选：．
3．（3分）如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是　　

A．左视图发生改变
B．俯视图发生改变
C．主视图发生改变
D．左视图、俯视图、主视图都发生改变
【解答】解：主视图发生变化，上层的小正方体由原来位于左边变为右边；
俯视图和左视图都没有发生变化，
故选：．
4．（3分）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为　　度．
A．30 B．45 C．60 D．90
【解答】解：水库的拦水坝斜坡的坡度为，
设这个拦水坝的坡角为，则，
这个拦水坝的坡角为：．
故选：．
5．（3分）关于的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：，，
关于的一元二次方程的两根分别为，，
，，
当时，，，则，
故选：．
6．（3分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：，
则，
故，
即，
解得：，
则，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
，
解得：，
故选：．
7．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如表的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是　　
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．抛一枚硬币，出现正面
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，，向上的面点数是5
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
【解答】解：、抛一枚硬币，出现正面的概率为，不符合题意；
、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
、抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，，向上的面点数是5的概率是，不符合题意，
、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是，符合题意；
故选：．
8．（3分）已知，点为射线上一固定点，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点，；
②作直线交射线于点，连接；
③以为圆心，长为半径画弧，交射线于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：由作图可知，垂直平分，，
垂直平分，
，
，
，
，故正确；
，
，
又，
，故正确；
，
，
，故正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，故错误．
故选：．
9．（3分）现有下列命题：
①若，则一元二次方程有实数根；
②有两条边长比值是的两个直角三角形相似；
③有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；
④若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是．
其中真命题的个数为　　
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解答】解：①若，则一元二次方程有实数根，是真命题；
②有两条边长比值是的两个直角三角形不一定相似，原命题是假命题；
③有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
④若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是，是真命题；
故选：．
10．（3分）如图，在矩形中，是边的中点，于，连接，若，，则　　

A．4 B．3 C． D．
【解答】解：如图，连接，交于，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
故选：．

11．（3分）如图，直线与双曲线交于，，，，直线交轴于，，下列命题：①；②当时，；③若为线段的中点，则，其中正确的命题有　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：点，，，在双曲线上，
，
，所以①正确；
当时，直线在双曲线上方，
，所以②正确；
为线段的中点，
，
，
，
，
把，代入得，
，
，
，所以③正确．
故选：．
12．（3分）如图，在矩形中，．，把矩形绕点旋转，得到矩形且点恰好落在上，连接交于点．则点的坐标是　　

A． B． C． D．
【解答】解：过作于，于，则，
在矩形中，．，
，，
把矩形绕点旋转，得到矩形且点恰好落在上，
，，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即点坐标是，
，，
，
，
，
解得：，，
，
即点的坐标是，，
设直线的解析式是，
把，代入得：，
解得：，，
直线的解析式是，
设直线的解析式是，
把，代入得：，
解得：直线的解析式是，
解方程组得：，
即点的坐标是，，
故选：．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．
13．（3分）在中，若，则的度数为　　．
【解答】解：，
，，
即：，，
，，
，
故答案为：．
14．（3分）一个不透明的口袋中装有4个除颜色外，其他都一样的小球，其中有2个黄球，2个蓝球，现从中随机摸出2个球，则这2个球为同色的概率是　　．
【解答】解：画树状图如图：

从中随机摸出2个球，共有12个等可能的结果，这2个球为同色的结果有4个，
从中随机摸出2个球，则这2个球为同色的概率是；
故答案为：．
15．（3分）关于的方程有实数根，其中为非正整数，则满足条件的的代数和为　　．
【解答】解：①当时，原方程化为：，
解得：，故符合题意；
②当时，原方程为关于的一元二次方程，
有实数根，
△，
解得：，
为非正整数，，
．
满足条件的的代数和为．
故答案为：．
16．（3分）一个几何体的三视图如图所示，其中从上面看的视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为　　．

【解答】解：有三视图可得：此几何体为三棱柱，
这个几何体的表面积为：，
故答案为：．
17．（3分）如图，点在钝角的边上连接，，，，则的余弦值为　　．

【解答】解：如图作于，设，，

，，
，设，
在中，
，
，
解得或（舍弃与钝角三角形矛盾），
当时，
，，
，
．
故答案为．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点是反比例函数图象上一点，，交轴于点，，则的值为　　．

【解答】解：点，的坐标分别为，，
，，
，
过作于，
，
，
，
，，
，，，四点共圆，
连接，
，
在第二象限角平分线上，
作轴于，轴于，
则四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
过作轴于，
，
，
，
，
把代入得，
点坐标为，，
点是反比例函数图象上一点，
，
故答案为．

19．（3分）如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为　　．

【解答】解：过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．

20．（3分）如图，在中，，在的外部和内部（不包括边）分别取点，，若，，，的补角等于，则下列结论：
①点在线段的垂直平分线上；
②；
③；
④的最大值是14．
其中正确的结论是　①②　．（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：，
点在线段的垂直平分线上，故①正确；
，，，
，
但题中并没有，
不一定相似于，故③错误；
延长至，如图：

在中，，
，
，，
，
，
，
，故②正确；
，，
，
不能确定的最大值，故④错误．
正确的结论是①③．
故答案为：①②．
三、解答题（共6小题，共60分）
21．（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中　0.15　，　　，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况，请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．
学习时间分组
频数
频率
组
9

组
18
0.3
组
18
0.3
组

0.2
组
3
0.05

【解答】解：（1）根据频数分布表可知：
，
（人，
（人，
补充完整的频数分布直方图如下：

故答案为：0.15，12；

（2）根据题意可知：
（名，
答：估计全校需要提醒的学生有450名；

（3）设2名男生用，表示，1名女生用表示，
根据题意，画出树状图如下：

根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，
所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：．
22．（8分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地和人工智能科技馆参观学习如图，学校在点处，位于学校的东北方向，位于学校南偏东方向，在的南偏西方向处．学生分成两组，第一组前往地，第二组前往地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．

【解答】解：作于．

依题意得，
，，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，，
第一组用时：；第二组用时：，
，
第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
23．（10分）如图，在中，于点，交于点，，交于点，连接，点为线段上一点，连接，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求证：．

【解答】解：（1）四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2），，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
24．（10分）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有，两家商贸公司（以下简称，公司）．去年下半年，公司营销区域面积分别为平方千米，平方千米，其中，公共营销区域面积与公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，公司营销区域面积比去年下半年增长了，公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是公司的4倍，公共营销区域面积与公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与，两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了个百分点．
问题：
（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且公司每半年每平方千米产生的经济收益均为公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
【解答】解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与公司营销区域面积的比？
，
；
（2）依题意有，
，
解得，（舍去），
设公司每半年每平方千米产生的经济收益为，则公司每半年每平方千米产生的经济收益为，
今年上半年两公司总经济收益为，
去年下半年两公司总经济收益为，
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为．
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为．
25．（12分）已知矩形中，，．
（1）如图1，点从点开始沿以每秒1个单位的速度移动，同时另一个点从点开始在线段上以每秒3个单位的速度往返移动．设，运动时间为秒，当时，是否存在这样的时刻，四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，将矩形折叠，使点与点重合，点与点重合，展平后折痕为．一动点从点出发，沿，以每秒1个单位的速度移动一周，设运动的时间为秒．请直接写出当为直角三角形时的值．

【解答】解：（1）四边形为平行四边形，
，
当时，则，得；
当，则，得；
当时，则，得；
综上，存在这样的时刻，使得四边形为平行四边形，的值为：2或4或6；
（2）根据折叠的性质得，，，
矩形中，
，
，
，
，
设，则，
，
，即，
解得，，
，，
①过作于点，如图1，则，
当点与点重合时，中，此三角形为直角三角形，
此时；

②过点作，与交于点，如图2，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
故当点与点重合时，中，此三角形为直角三角形，
此时；

③过作于点，如图3，则，
故当点与点重合时，中，此三角形为直角三角形，
此时；

④过点作，与交于点，如图4，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
故当点与点重合时，中，此三角形为直角三角形，
此时；

综上，当为直角三角形时的值为3或9.5或15或21.5．
26．（12分）如图，矩形的顶点，分别落在轴，轴的正半轴上，顶点，，反比例函数的图象与，分别交于，，．
（1）求反比例函数关系式和点的坐标；
（2）写出与的位置关系并说明理由；
（3）点在直线上，点是坐标系内点，当四边形为菱形时，求出点的坐标并判断点是否在反比例函数图象上．

【解答】解：（1），，则，
而，
，故点，，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，
故反比例函数表达式为，
当时，，故点；

（2）由（1）知，，，点，点，，
则，，
故，，
；

（3）①当点在点的下方时，
当点在点的右方时，如下图，

过点作轴于点，
四边形为菱形，则，
在中，，，
则，故，
则，，
故点，则点，
当时，，故点在反比例函数图象上；
②当点在点的上方时，
同理可得，点，，
同理可得，点在反比例函数图象上；
综上，点的坐标为或，都在反比例函数图象上．
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日期：2021/12/10 18:33:46；用户：初中数学2；邮箱：jse033@xyh.com；学号：39024123